Wiskundig gaat men er van uit dat een getal altijd kan verschaald worden. Dit betekent dat het altijd mogelijk is een getal g₁ met een ander getal g₂ te vermenigvuldigen zodanig dat een derde getal g₃ ontstaat, in formulevorm: g₁×g₂=g₃. Links en rechts van het gelijkheidsteken wordt dezelfde eenheid gebruikt. Dat is veronderstellen dat een verhouding zin heeft, dus dat een invers kan gedefinieerd worden en dus dat er associativiteit moet verondersteld worden. Getallen die er voor zorgen dat langs beide zijden van een gelijkheidsteken dezelfde eenheid bedoeld wordt, worden dan “schaalfactoren” genoemd en ze definiëren een schaal: namelijk een “eenheid in situatie 1” en een “eenheid in situatie 2” worden één op één door een schaalfactor met elkaar verbonden. Een goed gekend voorbeeld is de schaal van een landkaart: 1×g cm op de landkaart komt (bijvoorbeeld) overeen met 25000×g cm in werkelijkheid. Dus: g_land×(1/25000)=g_kaart×1 of 25000×g_kaart=1×g_land. We kunnen nu kiezen om g₁×g₂=g₃ te interpreteren als g_land×(1/25000)=g_kaart×1 of g₁×g₂=g₃ te interpreteren als g_kaart×25000=1×g_land. Wat we dan doen is het aspect van de werkelijkheid beklemtonen dat invariant is van de schaal waarop we de werkelijkheid representeren: sommige relaties die beschreven zouden kunnen worden op schaal 1/1, kunnen ook beschreven worden op schaal 1/25000 en dan hebben ze “dezelfde waarde”, op de twee schalen zijn ze ofwel “ja”, ofwel “neen”. Andere relaties hebben duidelijk niet dezelfde waarde, of vallen zelfs buiten de waarnemingsresolutie.

Door een schaal te introduceren verklaart men eigenlijk dat men in werkelijkheid een verschil moet maken tussen een eenheid en zijn intensiteit en men drukt daarmee uit dat dit heel praktisch is: het zorgt voor zowel voordelen als nadelen. Als we dit beseffen zorgt dit ervoor dat we de werkelijkheid niet meer als absoluut behandelen maar ons ook afvragen of we een schaal kunnen vinden of creëren waarbij waargenomen intensiteiten zinvol worden omdat ze eigenschappen zijn van invariante eenheden. We tellen dus en dan vragen we ons af wat we eigenlijk geteld hebben. Dit is trouwens niet anders dan wat we doen om invariante eenheden op zeer grote schaal (kosmos) of invariante eenheden op zeer kleine schaal (kwantum) te creëren. De meetcontext bepaalt mee wat kan en zal waargenomen worden.

Een schaal is een getal en daarom ook altijd verbonden met een waarnemingsresolutie, de grens van ordening en de getal-nul. Een mooi voorbeeld hiervan is de schaal van gravitatie, een kracht die we wel kunnen veronderstellen maar die niet meer kan geordend worden (met onze huidige apparaten) voor afstanden kleiner dan een millimeter.

Typisch voor een schaal zal in werkelijkheid blijken dat niet alle aspecten kunnen weergegeven worden. Bijvoorbeeld, de afbeelding van een route op een landkaart kan niet alle details van de fysische werkelijke afstand weergeven. Maar dat deert ons niet omdat hiermee aspecten uitgesloten worden die we niet hoeven waar te nemen. Veel van die details zijn voor sommige gebruiken irrelevant terwijl de relevante aspecten van de regio die afgebeeld wordt zonder kaart (zelfs) niet voor te stellen zijn. Dus een landkaart is een heel nuttige beschrijving van de werkelijkheid, en een landkaart die toelaat om uit te vergroten (in te zoomen) of te verkleinen (uit te zoomen) is nog handiger. Een voorbeeld hiervan is te vinden met hedendaagse videospelletjes: details worden enkel gegeneerd wanneer de focus de details noodzakelijk maakt.

Schaal is daarom altijd gerelateerd aan een meetcontext die voor de eenheid zorgt van wat gemeten kan worden. Bijvoorbeeld: met een meetstok van 1 kilometer zal men de kleinere details van een landsgrens niet kunnen weergeven, details die wel kunnen weergegeven worden met een meetstok van 1 meter. De vraag wat dan de werkelijke lengte van de landsgrens is, wordt mee bepaald door de schaal van het meetmodel: de lengte is zeker niet willekeurig maar evenmin duidelijk gedefinieerd. Dit is een bekende “waarnemingsparadox”. Maar met een meetstok van 1 kilometer kan men vaststellen dat de aarde een bolvorm moet hebben, en dat dit zo moet zijn op alle plaatsen, wat al helemaal niet meer meetbaar is met een meetstok van 1 meter. Als we nu de vraag stellen wat de werkelijke bolvorm van de aarde is dan zijn we al veel minder geneigd om die vraag te relateren aan de meetcontext alhoewel de situatie exact dezelfde is: de kromming is zeker niet willekeurig maar evenmin duidelijk gedefinieerd, we twijfelen niet aan “de kromming” alhoewel niet iedereen de intensiteit van de kromming zou kunnen vaststellen. We twijfelen niet aan “de kromming” ondanks het feit dat de exacte maat ervan van locatie tot locatie verschilt. En als we dan met Einstein na jaren studie tot de conclusie moeten komen dat massa’s de ruimte-tijd krommen (en dat gravitatie dus een schaal heeft) dan “vergeten we” dat de situatie exact dezelfde is: de kromming is zeker niet willekeurig maar evenmin duidelijk gedefinieerd. En als we dan na Einstein proberen om afstand en tijd te meten dan komen we tot de conclusie dat de situatie exact dezelfde is: afstand en tijd zijn zeker niet willekeurig maar evenmin duidelijk gedefinieerd: we stellen ze a posteriori vast. In een meting zal altijd een resultaat bereikt worden, met een precisie die we maar willen, maar misschien is die meting zeer beperkt herhaalbaar. Maar dit zal ons zeker niet weerhouden om op zoek te gaan naar patronen in de waarschijnlijkheden (de “meetfouten”) die vastgesteld worden bij herhaalde waarnemingen en ons voordeel daarmee te doen.

Het veronderstellen dat een verhouding zin heeft, dus dat een invers kan gedefinieerd worden en dus dat er associativiteit verondersteld wordt is zeer ingrijpend. De veronderstelling van associativiteit en invers kan in het haakformalisme enkel gemodelleerd worden met een laatst toegevoegde onderscheiding en de intensiteit van het simultaneïteitsinterval <<<x₁>x₂><<x₂>x₃>...<<x_i>x_i+1>...<<x_n>T>> van een toestand T die voor elke i x_i niet verschillend is van <<>>. Daarom zullen we nu het getal 1 ten opzichte van het getal n de schaal van die toestand T noemen. In dat geval is het irrelevant of de toestand ervaren is of niet. De schaal is een maximaal (minimaal) getal dat goed gedefinieerd is door de totale ordening van het interval en indien de maximale schaal gelijk is aan n, dan is de minimale schaal gelijk aan 1/n. De minimale schaal zullen we ook een schaalfactor noemen waarbij de maximale schaal dan gelijk is aan “de eenheid 1” en we van een normalisatie kunnen spreken (elke intensiteit van een toestand T is dan het product van een geheel getal g met de schaalfactor 1/n). De schaalfactor is dan de kleinste eenheid van de schaal en functioneert in een verhouding g/n waarvoor geldt dat 0<g/n<1. Nul moeten we operationeel interpreteren als waarneembaar willekeurig klein en daarenboven onwaarneembaar nog kleiner.

Een schaal is altijd verbonden aan een eenheid en dit maakt het zinvol om het simultaneïteitsinterval als een (lineaire, strikt geordende) dimensie te beschouwen. Een toestand heeft een schaal in één dimensie. Een verschil van toestanden (“de afstand tussen toestanden”) kan niet meer in de ene dimensie van een van de toestanden gedefinieerd worden maar wel in twee dimensies. Meer dan twee dimensies hebben we niet nodig om gelijk de afstand tussen twee willekeurig gekozen haakuitdrukkingen te bepalen. We kunnen dan een eenheid met twee dimensies veronderstellen en dat noemen we een oppervlakte. Oppervlaktes kunnen we terug lineair ordenen. Alhoewel een oppervlakte een geometrisch begrip is, zijn er geen geometrische axioma’s hiervoor nodig, we hebben genoeg aan het ene axioma van het haakformalisme. Een willekeurige tralie is altijd af te beelden op een boloppervlak. De relaties die moeten bestaan tussen de punten op het oppervlak genereren een kromming. Een kromming is een onvermijdelijk gevolg van de traliestructuur en de resolutie (het aantal onderscheidingen). Sommige bollen zijn groter dan andere, grotere bollen hebben een minder gekromde oppervlakte dan kleinere bollen. De kromming kan dan gerelateerd worden aan een derde strikt geordende dimensie.

Wanneer we dus iets verschalen en het niet duidelijk zouden zijn wat de eenheid is en wat de intensiteit is, dan genereren we communicatieproblemen. Een schaal is een verhouding van twee getallen, een getal in de teller en een getal in de noemer. Impliciet veronderstelt dit dat de getallen (producten van) intensiteiten zijn van dezelfde eenheid (“de eenheden vallen ten opzichte van elkaar weg”). Dit leidt tot mogelijke problemen en mogelijke nieuwe inzichten en dit ligt aan de basis van de relativiteitstheorie. Om hierin duidelijkheid te verschaffen zullen we vier niveaus van waarnemingen kunnen onderscheiden.

We hebben ook begrepen dat afgeleiden, dus vectorproducten, voldoende zijn om een werkelijkheid op te spannen vanuit een laatst toegevoegde onderscheiding. Bijvoorbeeld: de afgeleide naar ℵ van (p⊗q)_ℵ is p•q. Als p en q toestanden zijn en waarde <<>> hebben kunnen ze getallen modelleren en is het product niet verschillend van de nevenschikking. De toestanden p en q kunnen toestanden zijn van volledig verschillende tralies die enkel in p•q en in de unieke toestand (p⊗q)_ℵ tot hetzelfde universum behoren en daardoor dus de eenheid vormen van een lokale werkelijkheid. Ook op deze manier zien we dat zeer grote getallen misschien enkel als een product van zeer grote priemgetallen kunnen voorgesteld worden en dat is een schaal die niet bereikbaar is met kleinere priemgetallen. Uiteraard betekent dit niet dat die schaal onbereikbaar zou zijn, een product van twee zeer grote priemgetallen blijft maar het product van twee getallen van dezelfde soort en is dus op een twee onderscheidingen universum af te beelden en patroononderzoek kan dit duidelijk maken. Schaal is dus een relatief gegeven en wordt beperkt door de resolutie van het aantal onderscheidingen en we moeten altijd duidelijkheid verschaffen welke eenheid we verschalen (heeft de eenheid één dimensie, twee dimensies, … n dimensies?). “Schaaleffecten” bij minimaal één stap tussen toestanden zijn onmiddellijk veel complexer en zullen we daarom afzonderlijk behandelen als eerst de noodzakelijke inzichten daarvoor ontwikkeld zijn.

Schaal is dus gedefinieerd voor relevant gedrag, namelijk elkaar uitsluitende elementen die de elementen zijn van een toestandsruimte waarin een niet veranderende entiteit zich blijkt te bevinden en dat hierdoor onderscheidingen modelleert die de entiteit niet karakteriseren, enkel zijn gedrag karakteriseren met de toestanden T en dus niet relevant zijn voor (de beschrijving van) de entiteit maar voor (de beschrijving van) zijn gedrag waarin we dan soorten gedrag zouden kunnen onderscheiden. Als we dan van schaal veranderen, veranderen we niet het gedrag maar de entiteit, het gedrag blijft relevant in het grootst mogelijke universum. Sommigen drukken dit uit door te zeggen dat niet alles verschaalbaar is (het gedrag van een atoom is niet het gedrag van een molecule, is niet het gedrag van een muis, is niet het gedrag van een olifant, is niet het gedrag van een ecosysteem).