Elke welgevormde haakuitdrukking kan uitgedrukt worden als een som van vectorproducten:
H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>
We zien hier een som in het gepaste patroon van de afgeleiden naar ℵ van de volgende vier mogelijke primitieven (r⊗q)ℵ, (r⊗p)ℵ, (s⊗p)ℵ, (s⊗q)ℵ.
Dus meer dan afgeleiden hebben we niet nodig om een tralie op te spannen.
Maar we hebben ook al bewezen dat diezelfde welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als H=<<>>•(r•q⊕<r•p>)⊕r•s•(<r•p>⊕<r•q>) waarbij we r en s de interne of externe standpunten genoemd hebben. In deze uitdrukking verschijnen slechts drie vectorproducten: r•q, r•p en r•s met een gemeenschappelijke factor r en dus zijn er slechts de afgeleiden naar ℵ van drie mogelijke primitieven nodig en voldoende (r⊗q)ℵ, (r⊗p)ℵ, (r⊗s)ℵ en uiteindelijk dus slechts drie welgevormde haakuitdrukkingen p, q en s.
Uiteindelijk zijn slechts twee onderscheidingen nodig en voldoende om een tralie in zijn meest primitieve vorm op te spannen.
We noteren eerst het atoom als creatief product
(x⊗y)y=<x>⊕<y>⊕<x>•y⊕y•y=<x>⊕<y>⊕<x•y>⊕<<>>∼xy
(x⊗y)<y>=<x>⊕<y>⊕<x>•<y>⊕y•<y>=<x>⊕<y>⊕x•y⊕<>∼<<x><y>>
In beide gevallen is de afgeleide x•y.
Als x en y elkaar uitsluiten dan is (x⊗y)y=x•y∼xy. De afgeleide naar y van x•y is dan x•y.
We leiden dat af van de berekening van de afgeleide van een atoom en vinden:
(x⊗<>)<>=<x>⊕<<>>⊕<x>•<>⊕<>•<>=<x>⊕<<>>⊕<x•<>>⊕<<>>∼x<>∼<>
Dus de afgeleide van <> naar <> is <x> en dit wordt bepaald door de component zonder waarde van het creatief product, inderdaad:
(x⊗y)<>=<x>⊕<y>⊕<x>•<>⊕y•<>=<x>⊕<y>⊕x⊕<y>∼y
Dus de afgeleide van y naar <> is x•y
We noteren eerst de welgevormde haakuitdrukking als creatief product
(<<>>⊗x)x=<>⊕<x>⊕<>•x⊕x•x=<>⊕<x>⊕<x>⊕<<>>∼x
De afgeleide van x naar x is dus niet anders dan x.
Wanneer we nu x interpreteren als de intensiteit van de eenheid <<>>, dan herkennen we deze afgeleide als een eigenschap van de exponentiële getaleenheid e met zijn intensiteit x, genoteerd als ex. Inderdaad: de afgeleide naar x van ex is ex.
Onderscheidingen bevinden zich in elke tralie op centraal niveau. In een twee onderscheidingen universum (opgespannen door x en y) zijn dat x, y en x•y.
Er geldt dat y=(x⊗y)x•y=<x>⊕<y>⊕<x>•x•y⊕y•x•y=<x>⊕<y>⊕<y>⊕x=y
(x⊗y)<x•y>=<x>⊕<y>⊕<x>•<x•y>⊕y•<x•y>=<x>⊕y⊕<y>⊕<x>=x
Dus de afgeleide van y naar x•y is gelijk aan de afgeleide van x naar <x•y> en is dus x•y.
We hebben al berekend dat (x⊗y)y=x•y enkel als x en y elkaar uitsluiten.
Noteer:
x•y is niet verschillend van de conjunctie en tevens niet verschillend van de disjunctie als x en y dezelfde waarde hebben, namelijk <<>>. Dit is dus de veronderstelling die aan de basis ligt van het rekenen met reële getallen en afgeleiden van functies van getallen.
x |
y |
x•y |
<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y |
<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
Er geldt dat x=(x⊗y)<>⊕x•y=<x>⊕<y>⊕<x>•(<>⊕x•y)⊕y•(<>⊕x•y)=<x>⊕<y>⊕x⊕<y>⊕<y>⊕x=x
Dus de afgeleide van x naar <>⊕x•y is x•y.
Ook hier zal de inbedding zijn rol vervullen om één van beide eenheden te selecteren.