Studie van het vector dot product maakt duidelijk dat dit product geconstrueerd wordt op basis van gecollapste haakelementen, die op hun beurt altijd aanleiding geven tot het definiëren van projectoren. Het is immers altijd mogelijk om het universum van één gecollapste vector te verlaten door deze te vermenigvuldigen met een andere gecollapste vector en zo een nieuw universum op te spannen op basis van al de onderscheidingen van de termen van het vector product. Dat nieuwe universum is terug gesloten.

We vragen ons nu af onder welke voorwaarden een product te definiëren is zonder dat een bepaald standpunt daarvoor moet verlaten worden. Met andere woorden: wat moet men veronderstellen om een product te definiëren, niet alleen zonder dat een universum verlaten wordt (zoals bij het vector product •), maar evenzeer zonder dat een standpunt verlaten wordt.

Dat is nu juist wat vanuit het creatief product kan afgeleid worden.

Elke welgevormde haakuitdrukking kan uitgedrukt worden als een som van vectorproducten op twee manieren:

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•(q⊕<p>)⊕s•(<p>⊕<q>)

H=r•q⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•p>=q•(r⊕<s>)⊕p•(<s>⊕<r>)

Elk van deze twee uitdrukkingen schrijven we nu op twee manieren

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<<>>•(r•q⊕<r•p>)⊕r•s•(<r•p>⊕<r•q>)

H=r•q⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•p>=<<>>•(q•r⊕<q•s>)⊕q•p•(<q•s>⊕<q•r>)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•r•(s•q⊕<s•p>)⊕<<>>•(<s•p>⊕<s•q>)

H=r•q⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•p>=p•q•(p•r⊕<p•s>)⊕<<>>•(<p•s>⊕<p•r>)

Dus elk van de vier welgevormde haakuitdrukkingen die de som vormen kan een standpunt functie innemen waarin dezelfde H dus kan uitgedrukt worden. De standpunten zijn met elkaar verbonden als vectorproduct: wanneer een ervan kan begrepen worden als het standpunt dat in het creatief product toegevoegd wordt, dan kan het andere begrepen worden als een standpunt waarnaar de reeds beschikbare onderscheidingen kunnen collapsen. In de onderstaande tabel lichten we de standpunten expliciet uit die kunnen ingenomen worden. Een ervan noemen we een intern standpunt omdat het de coëfficiënt is van elke basis vector, het andere noemen we een extern standpunt omdat het kan gezien worden als een coëfficiënt die aanleiding geeft tot een 1-splitsing met een extern punt. In de laatste kolom wijzen we erop dat ze er slechts drie producten (welgevormde haakuitdrukkingen) betrokken zijn in de betrokken expressie van H.

Met enkel deze drie welgevormde haakuitdrukkingen als gecollapste vectoren kunnen we nu een tralie opspannen. We nemen als voorbeeld de benadering met het extern standpunt s en het intern standpunt r. We berekenen het vector product van de drie gecollapste vectoren twee-aan-twee, en dit is dus een toepassing van het vector dot product:

(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•p>)=<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q=<>⊕(<>⊕r•q⊕r•p⊕p•q)

(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•q⊕r•s⊕s•q=<>⊕(<>⊕r•q⊕r•s⊕s•q)

(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•p⊕r•s⊕p•s=<>⊕(<>⊕r•p⊕r•s⊕p•s)

Alle drie zijn ze gecollapste vectoren op basis van atoomburen in drie verschillende deeltralies van het vier-onderscheidingen universum: r,p,q; r,s,q en r,p,s. Dat vector dot product is terug een gecollapste vector waarbij het interne standpunt een externe rol inneemt ten opzichte van de tralie opgespannen door de twee overblijvende welgevormde haakuitdrukkingen. Dit nieuwe externe standpunt is een vectorproduct r•<<>>. Het gedraagt zich als een vectorproduct dat enkel met de twee zelfduale welgevormde haakelementen uitgevoerd wordt.

<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q=<<>>•(<<>>⊕p•q)⊕r•(p⊕q)=<>•(<>⊕<p•q>)⊕<r•p>•(<>⊕<p•q>)=(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<p•q>)

<<>>⊕r•q⊕r•s⊕s•q=<<>>•(<<>>⊕q•s)⊕r•(q⊕s)

<<>>⊕r•p⊕r•s⊕p•s=<<>>•(<<>>⊕p•s)⊕r•(p⊕s)

Maar evenzeer is het een vector dot product dat opgespannen wordt door twee andere gecollapste vectoren, waarvan een, namelijk (<>⊕<p•q>) of (<>⊕<r•s>), de functie inneemt van “eenheid” of “soort”.

<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q=(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<p•q>)=(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<p•q>)

<<>>⊕r•q⊕r•s⊕s•q=(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•s>)=(<>⊕<s•q>)•(<>⊕<r•s>)

<<>>⊕r•p⊕r•s⊕p•s=(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<r•s>)=(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<r•s>)

Besluit

Drie welgevormde haakuitdrukkingen zijn het maximum dat nodig is om een product te definiëren dat vanuit één standpunt kan begrepen worden. Dit komt overeen met het klassiek vector kruisproduct dat eveneens voor maximaal drie dimensies gedefinieerd kan worden. Het klassiek kruisproduct blijkt dus een vectorproduct te zijn vanuit één gekozen standpunt, standpunt dat éénmaal naar een intern standpunt kan gewijzigd worden.

Het vector kruisproduct komt overeen met het creatief product, een product dat geen verschil maakt tussen vectorproduct en nevenschikking.

Zoals duidelijk wordt met een voorbeeld: <<>>•(r•q⊕<r•p>)⊕r•s•(<r•p>⊕<r•q>)=r•(q⊕<p>)⊕s•(<p>⊕<q>) is het vector kruisproduct de som van het vectorproduct van een intern standpunt (r) met een ruimte en een extern standpunt (s) met de orthogonale ruimte.

Verdere observaties

Het product van de drie gecollapste vectoren

(<>⊕<r•s>)•(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•p>)=(<>⊕<r•s>)•(<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q)=<>⊕<r•q>⊕<r•p>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•s•p•q>

(<>⊕<q•r>)•(<>⊕<q•s>)•(<>⊕<q•p>)=(<>⊕<q•r>)•(<<>>⊕s•q⊕s•p⊕p•q)=<>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<p•q>⊕<r•q>⊕<s•r>⊕<r•p>⊕<r•s•p•q>

(<>⊕<s•p>)•(<>⊕<s•q>)•(<>⊕<s•r>)=(<>⊕<s•p>)•(<<>>⊕s•q⊕s•r⊕r•q)=<>⊕<s•q>⊕<s•r>⊕<r•q>⊕<s•p>⊕<p•q>⊕<r•p>⊕<r•s•p•q>

Het resultaat is identiek, dus de som van de drie drie-dubbel gecollapste vectoren is de al-nul vector. Het is een gecollapste vector gebaseerd op een welgevormde haakuitdrukking die een atoombuur is in het vier-onderscheidingen universum.

Gecollapste dubbelvectoren met coëfficiënt

r•s•(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•p>)=r•s•(<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q)=r•s⊕s•q⊕s•p⊕r•s•p•q

r•p•(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•s>)=r•p•(<<>>⊕r•q⊕r•s⊕s•q)=r•p⊕p•q⊕s•p⊕r•s•p•q

r•q•(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<r•s>)=r•q•(<<>>⊕r•p⊕r•s⊕p•s)=r•q⊕p•q⊕s•q⊕r•s•p•q

Som: r•s⊕<s•q>⊕<p•s>⊕r•p⊕<p•q>⊕r•q (1)

We nemen nu andere coëfficiënten

r•s•r•p=s•p

r•s•r•q=s•q

r•p•r•q=p•q

p•q•(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•p>)=p•q•(<<>>⊕r•q⊕r•p⊕p•q)=p•q⊕p•r⊕r•q⊕<<>>

s•q•(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•s>)=s•q•(<<>>⊕r•q⊕r•s⊕s•q)=s•q⊕r•s⊕r•q⊕<<>>

s•p•(<>⊕<r•p>)•(<>⊕<r•s>)=s•p•(<<>>⊕r•p⊕r•s⊕p•s)=s•p⊕r•s⊕p•r⊕<<>>

Som: p•q⊕<p•r>⊕<r•q>⊕s•q⊕<r•s>⊕s•p (2)

(2) is de inbedding van (1) en identiek met de som zonder coëfficiënten <r•q>⊕<r•p>⊕p•q⊕<r•s>⊕s•q⊕p•s

De betekenis hiervan is nog niet duidelijk.