Het vector dot product definiëren we als een vectorproduct van twee gecollapste haakelementen. Het verschil met de vectorvermenigvuldiging p•q ligt niet in de operatie die uitgevoerd wordt maar in de aard van de termen van het product: in plaats van welgevormde haakuitdrukkingen zijn het haakelementen met minimaal een don't care in de binaire voorstelling ervan.
Een algemeen gecollapst haakelement kunnen we voorstellen als een som van twee welgevormde haakelementen, noem ze nu p1 en p2.
We merken op dat altijd geldt dat
(p1⊕p2)=<p1>•(<>⊕<p1•p2>)
Hierbij herkennen we (<>⊕<p1•p2>) als een projector en deze uitdrukking kunnen we dus een klassieke vector noemen.
Neem nu het vector product van twee gecollapste haakelementen:
(p1⊕p2)•(q1⊕q2)=p1•q1⊕p2•q1⊕p1•q2⊕p2•q2
We herkennen een som van vier vectorvermenigvuldigingen (transformaties) van vier verschillende welgevormde haakuitdrukkingen. In deze vorm kan dit nooit een welgevormde haakuitdrukking zijn omdat het niet het patroon van het creatief product volgt. We hebben hier het product van twee gecollapste vectoren en niet het (creatief) product waarbij er sprake is van een basis en zijn duale basis. Bij het creatief product worden de beide basissen eveneens door twee gecollapste vectoren opgespannen zoals bij het vector dot product maar ze zijn verstrengeld met elkaar.
We zullen nu aantonen dat het vector dot product een projector is in een overkoepelend universum.
We kunnen het vector dot product in functie van de projectoren als volgt noteren:
<p1>•(<>⊕<p1•p2>)•<q1>•(<>⊕<q1•q2>)=p1•q1⊕p2•q1⊕p1•q2⊕p2•q2
Noem nu:
(<>⊕<p1•p2>)=e1
(<>⊕<q1•q2>)=e2
Dus <p1>•(<>⊕<p1•p2>)•<q1>•(<>⊕<q1•q2>)=p1•q1•e1•e2
Maar al evengoed geldt:
<p2>•(<>⊕<p1•p2>)•<q2>•(<>⊕<q1•q2>)=p2•q2•e1•e2
Hieruit volgt (beide leden vermenigvuldigen met welgevormde haakuitdrukkingen):
p1•q1•e1•e2=p2•q2•e1•e2 en
p1•q1•p2•q2•e1•e2=e1•e2
Wat is nu e1•e2?
e1•e2 = (<>⊕<p1•p2>)•(<>⊕<q1•q2>) en dit is niet verschillend van <<>>⊕p1•p2⊕q1•q2⊕p1•p2•q1•q2. Deze laatste uitdrukking is een vector gebaseerd op een atoom in het overkoepelend universum en dus geen welgevormde haakuitdrukking. Namelijk <<>>⊕p1•p2⊕q1•q2⊕p1•p2•q1•q2=<>⊕(<>⊕p1•p2⊕q1•q2⊕p1•p2•q1•q2). We merken op dat (<>⊕p1•p2⊕q1•q2⊕p1•p2•q1•q2) overeenkomt met de welgevormde haakuitdrukking <p1•p2.q1•q2> waarbij we de nevenschikking aangeven met een typografisch punt.
Dus: p1•q1⊕p2•q1⊕p1•q2⊕p2•q2=p1•q1•e1•e2=p2•q2•e1•e2 is een projector in het overkoepelend universum.
QED
Wanneer we een toegevoegd product zouden willen definiëren van het vector dot product naar analogie met het toegevoegd product van een creatief product zouden we dit als volgt kunnen doen:
(p1⊕p2)•(q1⊕q2)=p1•q1⊕p2•q1⊕p1•q2⊕p2•q2=p1•p2•q1•q2•(p2•q2⊕p1•q2⊕p2•q1⊕p1•q1)
We zien dat een toegevoegd product van een vector dot product niet verschillend is van het vector dot product zelf.
Als we een van de welgevormde haakvectoren inbedden worden altijd twee van de vier termen uit de som ingebed, en bekomen we de inbedding van het vector dot product als toegevoegd product.
De lengte van een vector wordt gedefinieerd als het vectordot product met zichzelf en dit beschouwt men als een scalair, een getal. Als we dit vertalen in het haakformalisme is de lengte (<>⊕x)•(<>⊕x) en dit is niet onderscheiden van (<>⊕x), elke projector is immers idempotent. Dit pleit ervoor om ook de scalairen te beschouwen als een “soort vector” of “soort projector”, en inderdaad is er een klassiek benadering bekend die exact dit uitvoert: de “eenvorm” of “one-form” of “differentiaalvorm”. In het haakformalisme moet men beide benaderingen dus niet uit elkaar houden en is er van meet af aan een overkoepelend formalisme beschikbaar.
De binaire vertaling van het haakformalisme maakt de lengte van een vector op de volgende manier inzichtelijk: als men aanneemt dat elke vector gebaseerd is op een andere welgevormde haakuitdrukking, en dat het universum waarin deze welgevormde haakuitdrukking functioneert niet op voorhand gekend is dan zou de som van het aantal bits dat gebruikt wordt om de gecollapste haakuitdrukking als vector voor te stellen isomorf zijn met de grootte van het betrokken gecollapste universum (het aantal atomen dat in de collaps overblijft). In het totale universum, waarin dus de relatie van relevantie zijn rol speelt, geeft dit de niveaudiepte van de potentieel overgebleven tralie. Het is die twee zichten op dezelfde werkelijkheid die door de bits van het binair isomorfisme gecodeerd wordt.