We bespreken aan de hand van een aantal voorbeelden een aantal gekende paradoxen. Al deze paradoxen zijn veroorzaakt door de veronderstelling dat waarnemingen een absoluut karakter hebben en niet zouden gebaseerd zijn op een verschil waarneming in een bepaalde context en dus niet zouden afhangen van de waarnemingsmethode zelf. De verschil waarneming wordt onvermijdelijk beperkt door een zekere resolutie die in een bepaalde setting mogelijk is. Waarnemingen zijn met andere woorden gebonden aan een schaal (in zijn fractale betekenis) of, zoals we operationeel kunnen aantonen, aan een bepaald gekozen onderscheidingen universum dat slechts een bepaalde resolutie mogelijk maakt. Een onderscheidingen universum is altijd een “indien... dan...” constructie (dus een hypothese) en dit conflicteert fundamenteel met het uitgangspunt dat een absoluut standpunt kan ingenomen worden, standpunt dat geen “indien...” kan zijn. Een verandering van schaal of onderscheiding betekent het toevoegen of wegnemen van mogelijke toestanden en dus informatie. Dit wordt in het haakformalisme perfect gemodelleerd door het creatief product en dus het operationeel goed onderbouwd gegeven dat elke haakuitdrukking h in een groter universum kan functioneren als (h⊗h)ℵ. Alhoewel we altijd de veronderstelling kunnen maken, moet in actie blijken wat eigenlijk het minimum aantal onderscheidingen is dat een welgevormde haakuitdrukking ervaren kan maken. Niet alle onderscheidingen universa zijn zomaar in elkaar vertaalbaar.
Continuüm hypotheses zijn typische paradoxen die ontstaan wanneer men geen rekening houdt met de invloed van de waarnemingscontext op wat men waarneemt, anders gezegd: een meting zal de entiteit die gemeten wordt “beïnvloeden”, “bepalen”, “definiëren”. Immers: we moeten operationeel specificeren hoe een entiteit of aspect waargenomen kan worden door een agens-in-context.
Neem een eenheidsvierkant en twee tegenoverliggende punten. We kunnen beide punten verbinden met een rechte lijn, de diagonaal met lengte 21/2 maar we kunnen beide punten ook verbinden door een aantal lijnstukken parallel met een zijde en een aantal lijnstukken parallel met de andere zijde. De som van de de lengte van de lijnstukken is 2. Het aantal lijnstukken kunnen we zo groot maken dat we nog nauwelijks een visueel verschil kunnen maken met de rechte diagonaal, en de som van de lengte van die zeer korte lijnstukken blijft 2. Hierbij kunnen we fantaseren dat we “in de limiet” de rechte lijn van de diagonaal bereiken maar dat operationeel is dat niet mogelijk zonder de waarnemingsprocedure zelf te wijzigen.
We kunnen dit verklaren als een gevolg van het creëren van twee verschillende entiteiten, dus gebaseerd op verschillende onderscheidingen die dezelfde ervaringswaarde hebben. Immers voor de afstand tussen beide punten hanteren we twee verschillende modellen die niet in elkaar vertaalbaar zijn. Beide modellen zijn op andere onderscheidingen gebaseerde benaderingen van een (fysisch) gegeven. Het eerste model geeft een beschrijving van een uit te voeren test, een ervaring, en als zodanig voegt het slechts een onderscheiding toe. Het tweede model geeft een beschrijving die eveneens uit te voeren is, maar voegt daartoe meerdere onderscheidingen toe, en “in de limiet” een onbekend aantal. Maar in zijn uiterste limiet is het tweede model niet meer uitvoerbaar, het tweede model blijft dus een hypothese. Voor het ervaren is de lengte van de diagonaal van een eenheidsvierkant die met één meetlat kan gemeten worden dus 21/2 en van een vierkant met zijde a is de lengte van de diagonaal 21/2a en niet 2a.
Dit is een voorbeeld van het falen van commensurabiliteit: de zijde a van een vierkant en de diagonaal d zijn incommensurabel aangezien de verhouding d/a=21/2 irrationaal is en er dus geen gemeenschappelijke eenheid voor beide kan geconstrueerd worden.
Waarnemingen die met getallen gemeten worden zijn steeds complexe waarnemingscontexten die als telbare onderscheidingen beschouwd worden maar die dit enkel kunnen zijn in DIE waarnemingssetting. Het is niet onbelangrijk om vast te stellen dat een waarneming altijd lokaal gebeurt: het is een waarneming in die gekozen of zo ingerichte waarnemingscontext. Inderdaad: effectief gemeten of ervaren afstanden tussen aandachtspunten zijn afhankelijk van de meetcontexten, de waarnemingssetting, in concreto voor een fysische afstand, de meetlat die gebruikt wordt.
Dit werd voor het eerst overduidelijk bewezen door Lewis Fry Richardson (1881-1953) die de lengte van een kustlijn wou bepalen. Hoe korter de meetlat die gebruikt wordt, hoe meer de kronkels van de effectieve waterlijn kunnen gevolgd worden en hoe groter de kustlengte wordt. Wanneer men de logaritme van de lengte van de kustlijn uitzet tegenover de logaritme van de lengte van de meetlat krijgt men een lineair verband en de helling hiervan geeft de fractal dimensie van de kustlijn (in dit geval een getal tussen 1 en 2). Een lineair verband wijst op een constante verhouding en dat men dat vindt na het nemen van de logaritme is niet verwonderlijk omdat het verband enkel in een binair universum kan beschreven worden waarbij het aantal simultane punten door een exponent van 2 gegeven wordt.
De lengte van een gemeten vector volgt dus uit een bepaalde meetsetting die als invariant aangenomen wordt. De lengte zal verschillen naargelang men een andere meetsetting aanneemt (vanuit een andere waarnemingspositie, met andere meetprocedure, met een andere schaal enz…).
Wanneer is een hoop geen hoop meer, bijvoorbeeld bij een hoop zand: is één korrel een hoop zand, wanneer wordt het een hoop, bij de hoeveelste korrel? Bij het verdwijnen van welk haartje wordt een man kaal? Bij welke concentratie aan suiker wordt een glas water zoet? Is dat dezelfde concentratie als bij het aanlengen van een glas zoet water met niet gezoet water?
Een onderscheiding toevoegen hangt af van een willekeurige beslissing.
Een klassieker is de paradox van Bertrand (Joseph Bertrand, Calcul des probabilités 1889).
Bertrand stelt het volgende, op het eerste gezicht duidelijk geformuleerde probleem: beschouw een gelijkzijdige driehoek en zijn omschreven cirkel. Wat is de kans dat een willekeurig gekozen koorde van de cirkel groter is dan de zijde van de driehoek? Bertrand gaf dan drie oplossingsmethoden voor het probleem, die alle drie een andere uitkomst geven.
In het onderzoek naar dynamiek kunnen gemakkelijk vooronderstellingen binnensluipen die dan aanleiding geven tot het vaststellen van paradoxen.
Stel dat men gedrag wil onderzoeken. Per definitie moet men dus waarnemingen doen in de tijd. "De waarneming nu" sluit "de voorbije waarneming" uit en sluit ook "de waarneming straks" uit. Aan de voorwaarde om te kunnen tellen is dus voldaan. Wat dus geteld wordt zijn elkaar uitsluitende toestanden. De grote onbekende is het onderscheidingen universum, bijvoorbeeld: kan men er van uitgaan dat wat men telt de elkaar uitsluitende toestanden zijn van éénzelfde universum? Met een voorbeeld wordt dit duidelijk.
Stel dat je 1000 mensen hebt en kiest voor een eerste meetopstelling waarin je 1000 metingen op één uur kan verzamelen. Je kan zo hun gedrag onderbrengen in twee categorieën: A en B. Het is mogelijk te vinden dat er a% gedrag A vertonen en b% gedrag B. Het is mogelijk te vinden dat dit een stabiel gemiddelde is, de volgende week herhaal je de waarneming en binnen de foutmarge vind je dezelfde verdeling. Je herhaalt dit nogmaals tot je gesterkt bent in jouw anticipatie dat dit ook zal gelden binnen een maand of twee.
Stel dat je nu in een tweede meetopstelling in staat bent slechts één individu in de loop van de tijd te volgen gedurende twee weken, het is niet ongewoon dat niemand in a% van de metingen in de tijd gedrag A vertoont en in b% van de metingen gedrag B en het is goed mogelijk dat sommige mensen nooit gedrag A vertonen en andere nooit gedrag B. In beide meetopstellingen sluiten de toestanden elkaar inderdaad uit en kan er geteld worden maar de onderscheidingen universa zijn zeer verschillend. In het eerste geval stabiel en in het tweede geval kunnen ze van moment tot moment verschillen.
Dit heeft enorme praktische gevolgen voor onze omgang met elkaar in de huidige tijd waarbij zeer veel statistische informatie beschikbaar is en waarbij enkel de getallen meegedeeld worden die gemeten zijn bij groepen mensen. Individuele mensen zouden daar hun eigen verwachtingen kunnen op afstemmen alhoewel de meetopstelling voor hen totaal irrelevant kan zijn. Evenzeer heeft dit enorme invloed op de duale situatie: men gebruikt waarnemingen aan een individu (typisch de eigen ervaring) om relevante metingen te selecteren die men dan in een grote groep probeert terug te vinden om de inzichten te kunnen generaliseren en om zo wetenschappelijk verantwoorde conclusies te trekken.
Deze paradox heeft een naam gekregen: de veronderstelling van ergodiciteit. Dit is de eigenschap van een dynamisch systeem dat de gemiddelde intensiteit van gedrag over de tijd gezien niet anders is dan het gemiddelde over de intensiteit van alle toestanden waarin het systeem kan verkeren. Dit is niet anders dan zeggen dat alle mogelijke toestanden ooit eens zullen voorkomen in de loop van de evolutie van een systeem. De term is geïntroduceerd in de thermodynamica door Boltzmann toen hij op een exacte manier een evenwicht wilde beschrijven. Het wordt gebruikt in de statistiek als een hypothese als men geen benul heeft van de toestandsruimte en men enkel toegang heeft tot het volgen van gedrag in de tijd. Die hypothese die zeer nuttig is voor deeltjes leidt voor menselijk gedrag tot paradoxen in een wereldbeeld dat ervan uitgaat dat alle onderscheidingen gekend en relevant zijn.
Met het werpen van een dobbelsteen is een zeer eenvoudig voorbeeld beschikbaar om aan te tonen hoe sterk entiteiten afhankelijk zijn van de verwachte waarnemingen die men zal uitvoeren. Indien de ene waarnemer W1 tijdens het experiment kijkt naar het aantal ogen die geworpen zijn, en de andere waarnemer W2 kijkt naar de richting van de ribben na de worp, dan zullen ze andere besluiten trekken, zelfs in het zeer eenvoudig te communiceren geval “ja” of “neen”. Als beide waarnemingsprocedures onafhankelijk van elkaar kunnen uitgevoerd worden, dan zal elke Wi perfect kunnen aantonen dat de andere waarnemer volledig willekeurige beslissingen neemt en niet “waarheidsgetrouw” is, terwijl ze ook zouden kunnen toegeven dat ze elkaars werkelijkheid, namelijk de constructie van de waar te nemen entiteit, niet kunnen waarnemen.
Waarnemen dat je iets niet waarneemt is niet erg, je kan altijd creatief op zoek gaan. Niet waarnemen dat je iets niet waarneemt maakt communicatie hopeloos.