We veronderstellen een simultaneïteitsinterval met infimum q en supremum <<>>. De algemene uitdrukking hiervan, noemen we U, is de mogelijks zeer uitgebreide totale ordening <<<x1>x2><<x2>x3>...<<xi>xi+1>...<<xn>q>>. We kunnen nu veronderstellen dat voor elke i xi niet verschillend is van <<>>. De uitdrukking U heeft dan waarde <>, onafhankelijk van de waarde van q. Dat betekent dat elke eenheid q, een welgevormde haakuitdrukking, een totaal geordende intensiteit kan krijgen op voorwaarde dat de waarde van elk aspect in de ordening niet anders dan <<>>. Dat betekent ook dat de laatst toegevoegde onderscheiding waarde <<>> heeft aangezien de totale ordening dan voorgesteld wordt door (<>⊗q)<<>>. Inderdaad, dit is niet anders dan <<<>><<>>><<><q>> en dit is <>. De laatst toegevoegde onderscheiding heeft dus dezelfde waarde (hier <<>>) als de andere uit het interval, en q hoeft geen waarde te hebben. Wat we hier dus modelleren is een totale ordening die afgebeeld kan worden op gehele getallen die staan voor het aantal bijkomende niveaus (en dus ook onderscheidingen) in een universum waarin q een welgevormde haakuitdrukking is. Het grootste onderscheidingen universum is dan de grootste waarde, stel n, van <<>>. Dit kunnen we als welgevormde haakuitdrukking ook schrijven als het creatief kwadraat (<<>>⊗<<>>)n.
We veronderstellen nu dat q een toestand is. Het verschil met <<>> is <<<>>>⊕q of <>⊕q. Dit is een nieuwe eenheid. Deze gecollapste haakuitdrukking heeft in bitstring overal don’t cares behalve op de ene bit van q die verschillend is en er voor zorgt dat q een toestand is. Deze ene bit kan dus een intensiteit hebben gelijk aan de inwendige discriminatie en kan dus in plaats van 1 aangeduid worden met het getal van de intensiteit. Op zijn beurt kan deze intensiteit de totale ordening van het bedoelde interval representeren (en het aantal niveaus tussen q en <<>>) aangezien q voor elke grootte van een universum, gemeten als <<>>, een referentiepunt zal zijn.
Het verschil <>⊕q heeft, behalve de karakteristieken van een projector, dus ook alle karakteristieken van een afstand en het kwadraat ervan geeft de inwendige discriminatie, die alle karakteristieken heeft van een getal.
Aangezien elke welgevormde haakuitdrukking, bijvoorbeeld q, kan geschreven worden als een 3&1 som van welgevormde haakuitdrukkingen zal een afstand tussen een toestand en een laatst toegevoegde onderscheiding (resulterend in de intensiteit van een simultaneïteitsinterval met de toestand als eenheid van de intensiteit) geschreven kunnen worden als een som van drie kwadraten met hetzelfde teken en één kwadraat met tegengesteld teken.
Zoals altijd in het haakformalisme moeten we dit inzicht nu verder doortrekken in zijn abstractie. De waarde <<>> was slechts een voorbeeld, essentieel voor dit inzicht is dat we de intensiteit kunnen verbinden met het aantal welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde, daarvan zijn er een onbeperkt aantal in tegenstelling met het aantal welgevormde haakuitdrukkingen met tegengestelde waarde waarvan er maar twee zijn.
Hieronder is de tralie in twee onderscheidingen a en b grafisch weergegeven. De lijnen tussen de punten stellen de relaties van simultaneïteit voor, enkel met de onmiddellijke buren van een punt.
Neem de welgevormde haakuitdrukkingen als eenheden. Veronderstel dat AND-atoom <<a><b>> waarde <> heeft, dan moet gelden dat zowel <<a>b>, <a<b>> als <ab> waarde <<>> hebben (anders sluiten ze elkaar niet uit). Hun disjuncties hebben dus ook waarde <<>>. Dat zijn dus de vier punten <a<b>><<a>b>, <a>, <b> en <a><b>.
We onderscheiden nu drie simultaneïteitsintervallen tussen infimum en supremum. Voor elk interval is er een alternatieve weg en telkens is er maar één tussenliggende eenheid op de buur-afstand (de minimale afstand in deze tralie):
Tussen <a><b> en <<a>b>: (<a><b>→<a<b>><<a>b>→<<a>b>) en (<a><b>→<b>→<<a>b>)
Tussen <a><b> en <a<b>>: (<a><b>→<a<b>><<a>b>→<a<b>>) en (<a><b>→<a>→<a<b>>)
Tussen <a><b> en <ab>: (<a><b>→<a>→<ab>) en (<a><b>→<b>→<ab>)
Dit modelleert de metrische afstand zoals ze zich voordoet ingebouwd in een tralie: symmetrisch rond het centraal niveau.
Een metrische afstand die niet ingebouwd wordt in een tralie kunnen we modelleren met verschillen van AND-atomen. We volgen ze met hun binaire voorstelling: <<a><b>>∼(1110); <<a>b>∼(1011); <a<b>>∼(1101); <ab>∼(0111).
We nemen (1110) als referentie en berekenen nu drie verschillen telkens met (1110), dat is niet anders dan drie sommen telkens met (0001):
(1011)+(0001)=(x1x0)
(1101)+(0001)=(xx10)
(0111)+(0001)=(1xx0)
De drie resultaten kunnen we afbeelden op een atoom in een één onderscheiding universum, waarbij enkel de meest rechtse positie gemeenschappelijk is. Voor de hoogbit zien we dus drie verschillende eenheden omdat elke hoogbit zich op een andere positie bevindt in een twee onderscheidingen universum. Dit zijn drie eenheden die, onafhankelijk van elkaar, een intensiteit kunnen krijgen. Bijvoorbeeld: (xqx0), (xxr0) en (pxx0). Indien we zouden willen om de resultaten bij elkaar te kunnen optellen dan moeten we elk resultaat eerst vermenigvuldigen met (111x). De binaire string (111x) drukt uit dat <<a><b>> niet te onderscheiden is van <<>>. Bijvoorbeeld: (xqx0)(111x)+(xxr0)(111x)+(pxx0)(111x)=(pqrx).