Door de intensiteit van een toestand op twee verschillende stappen (“in de tijd”, “in de ruimte”) aan elkaar te relateren door het model (x-x0)(t+Δt)=k(x-x0)(t) met -1<k<1, anticiperen we dat de intensiteit van “het verschil dat een verschil maakt” verandert en dat de verandering gemodelleerd wordt met een factor k die, in een eerste benadering, een nieuwe constante is naast de constante (x-x0). Daardoor hebben we een nieuwe entiteit gecreëerd, namelijk de soort k(x-x0). Aangezien k=±1 overeenkomt met enerzijds geen, anderzijds een spontaan proces, kunnen we de entiteiten die gekarakteriseerd worden door k(x-x0) deelentiteiten (of telbare deelsystemen, telbare deelaspecten) noemen van het spontaan proces. We hebben dan ook onderzocht hoe de deelprocessen kwantitatief hun invloed zullen doen gelden binnen het totaal spontaan proces. Sommen van processen leiden tot S-curves en U-curves en door een selectie van de getallen in de exponenten kunnen we hiermee “catastrofale” gebeurtenissen modelleren, gebeurtenissen die gedurende een groot aantal processtappen amper van intensiteit wisselen om dan plots exponentieel gedrag te vertonen. Dit is een gedrag dat veelvuldig waargenomen wordt in de natuur (fase overgangen tussen vast en vloeibaar, zelfontbranding, het plots instorten van een zandhoop, aardbevingen enz…). De processtappen waarbij dat gebeurt worden de kritische punten genoemd: de specifieke combinatie van parameters waarbij het nieuw gedrag (de catastrofe) optreedt. Dit wordt dikwijls toegeschreven aan schaaleffecten en fractale organisatie en dat is nu onze focus. We merken immers op dat de intensiteit k(x-x0) op een bepaalde stap kan geïnterpreteerd worden als “van de constante (x-x0)” maar evenzeer “van de constante k”, beide factoren van de intensiteit kunnen dezelfde rol spelen, maar dat is niet volledig zo, wat zich uit in schaaleffecten (en dus verhoudingen).
Het model (x-x0)(t+Δt)=k(x-x0)(t) is gebaseerd op de klassieke hypothese dat verhoudingen zin hebben, maar ook op de vaststelling dat er niets absoluut is aan de stappen “in de tijd” of “in de ruimte”, ze zijn agens-in-context afhankelijk en de stappen zijn het gevolg van toestanden die elkaar uitsluiten, waarneembaar door de geproduceerde sporen die elkaar uitsluiten. Dus kunnen we ook de mogelijke <<intensiteit of eenheid>> dus <<k of (x-x0)>> beschouwen bij een gekozen aantal elkaar uitsluitende stappen n. We hebben met het algemeen product model inderdaad begrepen dat het product (x-x0)Πν(1+κ) kan modelleren dat sommige (1+k)m constanten zijn naast de constante (x-x0).
Het aantal processtappen dat we kiezen is gerelateerd met de intensiteit van de eenheid (x-x0) die we gekozen hebben om waar te nemen. We hebben immers al opgemerkt dat n als een verdubbelingstijd (of halveringstijd) kan geïnterpreteerd worden van de eenheid onder focus. Dat we n als alternatief voor k kunnen zien is gemakkelijk met een voorbeeld te illustreren.
Veronderstel de n (processtap of aantal toestanden) waarvoor geldt in positieve feedback: (x-x0)(1+k)n=2(x-x0). Dit is een verdubbeling van (x-x0). Hieruit volgt dat n=(log2(1+k))-1 en die n zal evenzeer als k het proces karakteriseren. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel k=0,1) bekomen we een verdubbeling tussen de processtappen 7 en 8 want n=(log2(1,1))-1=7,2725408973.
Veronderstel de n (processtap of aantal toestanden) waarvoor geldt in negatieve feedback: (x-x0)(1-k)n=2-1(x-x0). Dit is een halvering van (x-x0). Hieruit volgt dat: (1-k)n=2-1 waaruit volgt n=-(log2(1-k))-1. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel k=0,1) bekomen we een halvering tussen de processtappen 6 en 7 want n=-(log2(0,9))-1=6,578813479. Het is altijd goed om zich hierbij expliciet te herinneren dat dit in werkelijkheid zin moet hebben (denk aan het voorbeeld: een halve koe is geen koe maar een kadaver en het proces waarbij we na één koe waargenomen te hebben ook een tweede koe waarnemen is het proces waarvan we de stappen veronderstellen, en dit heeft uiteraard niet alleen met tijd te maken maar met een bepaalde agens-in-context die zeer complexe toestanden kan meemaken).
Het inzicht om de eigenwaarde te interpreteren als een aantal stappen waarbij verdubbeling optreedt kan gemakkelijk uitgebreid worden. Bijvoorbeeld voor dezelfde kleine k (stel k=0,1) bekomen we een verdrievoudiging tussen de processtappen 11 en 12 want n=(log3(1,1))-1=11,5267046072476. Dus een ver-m-voudiging voor dezelfde kleine k zal op treden rond stap n=(logm(1,1))-1. Hierin is n een reëel positief getal dat zich altijd tussen twee gehele getallen bevindt (het zijn gehele getallen die geteld worden). Voor m en een positieve feedback is het kleinste getal m=2, één stap waarbij dus één extra eenheid gemaakt wordt en dit komt overeen met een eigenwaarde k=1, want 1=(log2(1+1))-1. Voor m en een negatieve feedback is het grootste getal: m=2-1, één stap waarbij dus de helft van alle eenheden verloren gaat en dit komt overeen met een eigenwaarde k=-2-1, want 1=-(log2(1-2-1))-1. We tellen, discontinu dus, entiteiten en dat hangt af van de processtappen die we eveneens discontinu kunnen tellen. Het aantal stappen waarbij verdubbeling of halvering optreedt is een alternatieve maat voor de eigenwaarde. Dus naarmate n toeneemt (afneemt) kunnen er ook meer entiteiten ontstaan (verdwijnen) en dat is waar te nemen als gerelateerd tot de intensiteit van het gekozen verschil dat een verschil maakt, de intensiteit van de eenheid (x-x0). “De entiteit” vullen we niet specifieker in met een a priori interpretatie, het is iets dat telbaar is (bijvoorbeeld: we kunnen drie ruimtelijke dimensies onderscheiden, “drie” is de intensiteit van “ruimtelijke dimensie” als entiteit, dus als we van één dimensie naar twee dimensies gaan, verdubbelen we de intensiteit). We kunnen ons dat voorstellen als een mogelijke constante (1+k)n’.
De tijd is hierbij een gemakkelijke metafoor voor gebeurtenissen die elkaar uitsluiten als stappen in een proces en deze metafoor zullen we nu gebruiken om op een didactische manier het inzicht aan te brengen (en niet telkens weer te verwijzen naar de meer abstracte interpretatie).
Hieronder geven we de grafiek die de relatie geeft tussen m, de intensiteit van de eenheid op de abscis, en n, het aantal processtappen op de ordinaat, voor twee verschillende positieve k (vierkant datapunt voor k=0,1 en ruit datapunt voor k=0,3). Het eerste relevante aantal m is 2, het grootste in deze grafiek is 20. Dit illustreert duidelijk dat een ver-m-voudiging (bijvoorbeeld een verdubbeling voor m=2) van een gekozen (x-x0) voor een grotere eigenwaarde “sneller” bereikt wordt (dus bereikt wordt binnen een kleiner aantal stappen van het verder niet gespecificeerde proces).
De
m wordt gegeven op de x-as en zoals elke logaritmische curve kunnen
we n uitdrukken als een gewogen natuurlijke logaritme en de
vergelijking is opgenomen als f(x) in de grafiek. De minimale waarde
m, de verdubbeling, geeft dus aan binnen hoeveel stappen n van het
proces een tweede eenheid “ontstaat” naast de waargenomen
eenheid, namelijk het gekozen verschil (x-x0).
Dit is een zeer verhelderende grafiek voor het geval we zouden vergeten wat we juist hiermee modelleren. De n die gemodelleerd wordt heeft slechts zijdelings iets met tijd te maken. Het is de minimum (maximum) intensiteit (“in de tijd” van het proces of “in de ruimte” van het proces) waarbij een bepaalde soort uitsluiting optreedt (en dus waarneembaar en dus telbaar wordt als een aantal). Immers: de invariante entiteit die in een toestand kan waargenomen worden zal zich op een bepaalde diepte bevinden in de tralie zodanig dat elke mogelijke atomaire toestand die entiteit kan realiseren. Zijn er meer mogelijke toestanden dan zal de entiteit zich metrisch verder bevinden dan het niveau van die toestanden en dat is afhankelijk van de relevante tralie. Een tralie met één onderscheiding kan wederzijdse uitsluiting modelleren van maar twee toestanden, een tralie met twee onderscheidingen kan wederzijdse uitsluiting modelleren van maximaal vier toestanden, een tralie met n onderscheidingen kan wederzijdse uitsluiting van maximaal 2n toestanden uitdrukken. Aangezien entiteiten atoomburen zijn voor een bepaald onderscheidingen universum, zal het aantal entiteiten dat een bepaald gedrag vertoont ook deze distributie volgen. De waarschijnlijkheid van waarnemen van een soort (dus de waarschijnlijkheid van één toestand) zal dus gegeven worden door de fractie 2-n.
We kunnen dan onderzoeken welke relaties tussen k en (x-x0) mogelijk zijn voor dezelfde n. Dat betekent dus dat we een aantal processtappen doorlopen (en dus een zeker verschil of afstand in het proces en a fortiori dus een zekere tijd-afstand (tijdsverschil) of ruimte-afstand (ruimteverschil)) waarbij een onderscheidingen universum monotoon toeneemt (of afneemt) zodanig dat er meer (of minder) even niveaus kunnen ontstaan en we gaan onderzoeken wat de relatie is tussen eigenwaarden en de soort eenheden die mogelijks kunnen ontstaan als het proces lang genoeg loopt.
We veronderstellen eerst de meest eenvoudige situatie: er zijn maar twee elkaar uitsluitende toestanden, er is dus maar één stap. Dit is de enige tralie waarvan de modellering van gedrag zich bevindt op centraal niveau. Dan is n in (x-x0)(1±k)n gelijk aan 1 en de intensiteit is recht evenredig met (x-x0) of (1±k), en de mogelijke k is dan 1 minder of meer dan de verhouding van de intensiteit (x-x0)(1±k) met (x-x0)(1±0). De dubbelgetallen (x-x0) of (1±k) spelen dezelfde rol. De enige stap die mogelijk is in een tralie met slechts twee toestanden a en <a> is het product (of ingebed product, of creatief product niet verschillend van disjunctie enz...) van beide toestanden en dit heeft de waarde <> (of <<>>) en dit heeft de karakteristieken van een eenheid die een gedrag vertoont als intensiteit. Dat is dus de entiteit <<(x-x0) of (1±k)>> die ervaren is en dan een bepaalde intensiteit heeft. Er zijn twee toestanden, dus voor positieve feedback (1+k) komt k overeen met 1 en voor negatieve feedback (1-k) komt k overeen met 2-1. Dit is niet anders dan de enige mogelijkheden van waardetoekenning: voor positieve feedback hebben beide toestanden dezelfde waarde die niet gekend is (allebei ofwel <<>>, ofwel <>), voor negatieve feedback hebben de toestanden tegengestelde waarde en dat is niet anders dan ofwel <>, ofwel <<>>, en tegengestelde waarde hebben is enkel mogelijk voor twee aspecten. Het meest primitieve ervaren is dus een negatieve feedback: een waarde toekennen aan een eenheid die een toestand is en de intensiteit van die toestand staat voor het aantal toestanden met dezelfde maar ongekende waarde. Dat betekent dus dat er geen potentiële toestanden moeten verondersteld worden (toestanden zonder waarde die enkel in een groter universum elkaar kunnen uitsluiten). We kunnen dit ook als volgt uitdrukken: toestanden met dezelfde waarde kunnen ons niet verrassen. Kiezen we voor <<>> als waarde dan sluiten die toestanden elkaar allemaal uit en de ordening die hen met elkaar verbindt is de ordening van de gehele getallen. Er kunnen dus zeer veel toestanden zijn of zeer weinig en deze uitspraak kunnen we variëren door het aantal van de eenheid te variëren (in plaats van 1 als intensiteit van <<(x-x0) of (1±k)>> nemen we bijvoorbeeld m als aantal voor de eenheid, of ook 1/m) en dat functioneert dus als een schaalfactor. In het bitmodel is m dan het aantal bits met dezelfde waarde. Het bitmodel van een toestand is dus bijvoorbeeld «m(hoogbit), m(laagbit)» met als tweede zicht op hetzelfde «m(laagbit), m(hoogbit)», wat de verdubbeling illustreert. Het bitmodel van een toestand is dus bijvoorbeeld ook «(1/4)m(hoogbit), (1/4)m(laagbit)» met als tweede zicht op hetzelfde «(1/4)(laagbit), (1/4)m(hoogbit)», wat de halvering illustreert.
We kunnen nu die ene stap (de waarde van n, die we nu gelijk aan 1 nemen) als een maximum beschouwen en onderzoeken wat de relatie is tussen (x-x0) en (1±k) voor een vaste n met 0<n<1. Daartoe beschouwen we het getal (x-x0)(1±k)n en de variabelen zijn dus (1±k) en (x-x0). Dat zijn drie aspecten. Dit maakt heel duidelijk dat er een verschil is tussen beide termen: de exponent n komt slechts bij één van de producttermen voor. Stel nu dat we (1±k) als variabele kiezen en dus (x-x0) als constante (het verschil dat een verschil maakt veranderen we niet) dan kunnen we veronderstellen dat “op een bepaald moment of positie of mogelijkheid van uitsluiting”, namelijk n, een “foto” gemaakt wordt van (het spoor van) de intensiteiten van twee variabelen, namelijk (x-x0)(1±k)n en (1±k). Noem de constante (x-x0) nu C, noem het getal (x-x0)(1±k)n nu de variabele z, en noem het getal (1±k) nu de variabele y, dan zien we het machtsverband z=Cyn. De intensiteit z is dus recht evenredig met een macht (n met bereik tussen 0 en 1) van y. De symmetrische situatie is dus het patroon met een machtsverband y=(z/C)1/n (want wanneer we de vaste n met 0<n<1 nemen dan geldt dat ∞>1/n>1). Dit maakt duidelijk dat we onder deze veronderstellingen gelijk welke positieve waarde voor n kunnen veronderstellen. De positieve waarden van n kunnen we interpreteren als geanticipeerde monotoon toenemende processtappen in de toekomst, de duale anticipatie (processtappen in de “re”constructie van het verleden) wordt gemodelleerd door negatieve n.
De variabele y (dit is het dubbelgetal (1±k)) kunnen we voor het gemak ook een eigenwaarde en resolutie noemen met bereik tussen 1 en 2 voor positieve feedback bij variërende n en tussen 1 en 0 voor negatieve feedback bij variërende n.
Hieronder is een voorbeeld gegeven van drie vaste exponenten n en de keuze C=1. Met vierkant datapunt is n=0,5 wat betekent dat de abscis de variabele z geeft en de ordinaat de variabele y, met ruit datapunt is n=1 wat betekent dat er een vrije keuze is of de abscis de variabele z geeft en de ordinaat de variabele y of omgekeerd, met driehoek datapunt is n=1,5 wat betekent dat de abscis de variabele y geeft en de ordinaat de variabele z.
We
hebben de vrije keuze welke variabele we als abscis of ordinaat
kiezen.
We merken nu op dat ook y niet anders is dan een verhouding, een schaalfactor, een processnelheid. Dus als we y vermenigvuldigen met een getal (een nieuwe “schaalfactor”) dan blijft het patroon behouden, het patroon dat de intensiteit van de verschillende deelaspecten van het totale proces met elkaar relateert. Immers neem als de schaalfactor de constante D, verschillend van 1, als een andere factor voor de resolutie (1±k), dan is z=C(Dy)n=(CDn)yn. Het patroon van de verschillende eigenwaarden wordt gewoon met een nieuwe factor vermenigvuldigd, wat zich uit in een andere lokale helling van de curve. Hieronder een voorbeeld met een positieve k (dus positieve feedback bij variërende n) en met n=0,25 constant (niet variërend dus) en een schaalfactor 1 voor de datapunten met vierkant en 0,5 voor de datapunten met ruit.
We kunnen z=CDnyn natuurlijk anders schrijven om meer expliciet naar de klassieke hypothese te verwijzen:(z/C)1=(y/D-1)n of dus (z/z0)1=(y/y0)n en hiermee drukken we twee dimensieloze verhoudingen uit die expliciet de betrokken eenheden van de klassieke hypothese en, hierdoor, de schaalfactoren introduceren. Dit kunnen we natuurlijk ook schrijven als (y/y0)=(z/z0)1/n als we van een exponent groter dan 1 willen veranderen naar een exponent kleiner dan 1. Voor anticipaties naar het verleden (die we “mogelijke reconstructies” noemen) gebruiken we dan een negatieve n.
Het machtsverband herkennen we ook wanneer we een logaritme nemen: log(z)-log(z0)=n(log(y)-log(y0)), een lineair verband, dat we dus zien verschijnen als de eenheden van de assen van de grafiek logaritmisch verdeeld zijn. Merk op dat y afwijkt van 1, wat zorgt dat log(y) verschillend is van nul. De verhouding y=(1±k) kunnen we altijd schrijven als (k0±k0k)/k0 en dus kunnen we altijd een k0 kiezen als de relevante en waargenomen resolutie.
We kunnen dit als volgt interpreteren: het verband (z/z0)1=(y/y0)n drukt de voorwaarde uit waaronder het proces met stappen n en eigenwaarde y waarneembare entiteiten genereert van de soort z0. Dit betekent ook dat niet alle processen waarneembare entiteiten genereren. Een waarneembare entiteit wordt discontinu geteld. Een eenvoudig voorbeeld hiervan wordt geboden door de Gulden Snede. Er zullen dus ook slechts sommige schaalfactoren y0 zijn die dezelfde entiteiten genereren, en sommige waarneembare entiteiten zullen slechts na “lang genoeg wachten” ontstaan.
Twee processen kunnen interageren. Een typisch voorbeeld hiervan is de “waarneming door monstername” of “meten van sporen” (dit is een proces a) van een proces b. Als we het onbekende proces b willen leren kennen, dan kunnen we dat enkel door een proces a dat we monotoon moeten laten verlopen. In het tweede proces (b) worden de sporen gegenereerd die in het eerste proces (a) verzameld worden in categorieën en daar als entiteiten die elkaar uitsluiten geteld worden. We kunnen altijd minstens één categorie kiezen. Zelfs al is het onmogelijk om a priori de relevante categorieën te kennen, toch is altijd een categorie te maken die alle sporen kan bevatten die niet in de gekozen categorie(ën) kunnen belanden. Het totaal aantal monsternames is altijd relevant, hoe meer tijd er is (hoe groter n, het aantal processtappen van de monstername, namelijk de relevante elkaar uitsluitende toestanden) hoe meer monsters. Er is minstens ook altijd één eenheid-met-intensiteit m(x-x0) waarbij de intensiteiten m geordend kunnen worden want een grotere m impliceert ook altijd een kleinere m, ook als m niet continu verdeeld is.
Een machtsverband van het type z=Cyn wordt dikwijls waargenomen bij spontane processen waarbij de deelaspecten yi, dus eigenwaarden (1±ki), sporen zijn die achtergelaten worden en dus waargenomen worden.
Al deze machtsverbanden herkennen we nu als effecten die ontstaan bij de interactie van processen met ofwel een positieve feedback ofwel een negatieve feedback waarbij de interactie zelf als een som van feedback processen kan gemodelleerd worden. Essentieel voor een machtsverband is dat het getal dat tot de macht verheven wordt verschillend is van 1, en dit is juist wat bereikt wordt met een 1-splitsing: gelijk welke bitstring kan slechts éénmaal op een willekeurige plaats in twee delen gesplitst worden. We hebben daarenboven ook aangetoond dat alle bits als verhouding moeten gemodelleerd worden wanneer men een a priori keuze maakt voor de grootte van het universum.
Bij de studie van de schaaleffecten zijn we uitgegaan van een maximum van één stap (n=1). De veronderstelling dat een verhouding zinvol is leidt tot de benadering van een minimum van één stap (1/n=1). Zuiver wiskundig kunnen we dan inzien dat het patroon (de symmetrie) ook geldt voor een n groter dan 1 en dat dit bereikt wordt door een verschaling. Dit kunnen we dan niet anders interpreteren dan dat er meerdere toestanden moeten zijn met dezelfde waarde en dat we die kunnen afbeelden in een groter universum. Dat betekent dat we dan uitgaan van een toestand in minimaal een twee onderscheidingen universum, dat we de tweede stap uitvoeren door een vectorproduct met een andere toestand en dan als resultaat een atoombuur bereiken, niet een waarde zoals in het geval van één stap. Veronderstel nu dat we vertrokken van een AND-atoom dan bereiken we na een eerste stap het centraal niveau en na een tweede stap genereert dit een OR-atoom. Pas na de derde stap bereiken we een toestand met waarde. Bij de eerste stappen die uitsluiting (in meer dan één onderscheiding) uitdrukken vinden we dan de drie dimensies terug enkel door betekenis te geven aan schaaleffecten.
Die dimensies kunnen we ook ruimtelijke interpreteren. Dit is gemakkelijk te illustreren door in de ruimte een lijnstuk, een vierkant en een kubus met elkaar te vergelijken, met respectievelijke dimensies 1, 2 en 3. Wanneer we de lengte van een ribbe van de kubus verdubbelen (factor 21) dan verviervoudigen we een zijde (factor 22) en verachtvoudigen we het volume (factor 23). De maximale stap die uitsluiting uitdrukt is hierbij dan 3, de 3 ruimtelijke dimensies, zodat we ook kunnen spreken van fracties van de maximale eigenwaarde. Dit is hier de driedimensionale ruimte waarin sporen van processen waargenomen worden. Hierbij is er steeds een volume betrokken, zelfs als we alleen geïnteresseerd zijn in het deelaspect “lengte”, of als enkel een lengte kan gemeten of waargenomen worden. Dus: als we het volume verachtvoudigen, dan verdubbelen we de lengte, immers 81/3=2 en dus is de fractie gelijk aan 1/3 voor de lengte, en is de fractie 2/3 voor het oppervlak en dat geldt voor elke factor f, aangezien f1/3 en f2/3 goed gedefinieerd zijn.
Deze schaal is onvermijdelijk, elke welgevormde haakuitdrukking is immers als creatief product in twee onderscheidingen uit te drukken. Elke entiteit zal dus een volume innemen. Geometrie veronderstellen we niet in het haakformalisme, we leiden het af.
De stijfheid van een ingeklemde balk met rechthoekige doorsnede onder invloed van een kracht in de richting van de dikte zal altijd evenredig zijn met de verhouding dikte D tot lengte L tot de derde macht, dus (D/L)3. Dit is een relatie die gerelateerd is aan de vorm van de balk. Daardoor zullen niet alle denkbare sporen van processen waargenomen worden maar zijn ze afhankelijk van de vorm, die een schaaleffect introduceert. Bijvoorbeeld: de vorm van grote dieren is niet zomaar een vergrote versie van de vorm van kleine dieren, de vorm van het dier is geen symmetrie.
Uiteraard kunnen meerdere onderscheidingen een rol spelen en dus kunnen hogere dimensies bereikt worden en nieuwe symmetrieën onderscheiden worden in die hogere dimensies. Bijvoorbeeld: het oppervlaktetraagheidsmoment van een object is eigen aan zijn vorm en is evenredig met een lineaire maat tot de vierde macht. Vorm kunnen we modelleren als een structuur, als een organisatie van posities die leidt tot coördinatie van processen die beperkt worden door de vorm. Vorm maakt het mogelijk om symmetrie te onderscheiden en de mechanische symmetrie van het oppervlaktetraagheidsmoment is inderdaad gerelateerd met deze evenredigheid in de vierde macht.
Deze dimensies kunnen we ons voorstellen als bijkomende relaties die op elk punt van de onvermijdelijke ruimte-tijd kunnen onderscheiden worden en die iets kwantificeren van een bijkomende structuur. Bijvoorbeeld: in dezelfde toestand worden minstens twee verschillende entiteiten gerealiseerd. Bijvoorbeeld: we kunnen enkel spreken van “de eigenfrequentie van een fysische trilling” wanneer voldoende stappen in de tijd onderscheiden kunnen worden, op een eerder punt van die ordening is van dat aspect geen sprake. Orde (mogelijkheid tot anticiperen) versus chaos (onmogelijkheid tot anticiperen) wordt waargenomen als de sporen die zich afscheiden op verschillende schalen al dan niet anticipeerbaar met elkaar gerelateerd zijn (door positieve of negatieve feedback) en hierdoor symmetrieën ontstaan. Symmetrie is te herkennen wanneer sommige verhoudingen niet veranderen en dus wanneer sommige onderscheidingen die meetbaar zijn niet onafhankelijk van elkaar kunnen variëren. Bijvoorbeeld binnen het ruimte-tijd repertorium: in het gedrag van een fysische slinger kunnen de periode T en de lengte L niet onafhankelijk van elkaar veranderd worden, ze zijn gebonden door de verhouding T/√L.
Eerst veronderstellen we dat het machtsverband kan vastgesteld worden in een evenwichtssituatie. Evenwichten ontstaan slechts als de negatieve feedback overheerst voor de invarianten die ontstaan. Een evenwicht kunnen we bijvoorbeeld niet vanaf de “eerste” waarnemingen vaststellen, waarbij de invariante aspecten (de eenheden die waargenomen zouden kunnen worden) nog niet echt duidelijk zijn. De sporen kunnen wel gebruikt worden voor anticipaties naar het verleden (die we “mogelijke reconstructies” noemen).
Diffusie en convectie zijn processen die als het verschil van een intensiteit tussen twee plaatsen in een driedimensionale ruimte met een centraal punt kunnen gemodelleerd worden. Dit betekent dat dit model relevant wordt bij het eerste evenwicht dat mogelijk is bij veranderende parameters, evenwicht dat slechts mogelijk is vanaf drie toestanden, het samenspel van dynamiek in drie dimensies. Elk drievoud van toestanden die dezelfde waarde hebben modelleert een voorwaarde voor stabiliteit, zoals de som van drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde, som die onvermijdelijk gelijk is aan nul.
Bijvoorbeeld in het patroon y=Cz1/n: het metabolisme van een levende entiteit (y1) is recht evenredig met de lichaamsmassa (z1) tot de macht ¾ (de wet van Kleiber), en de levensduur ervan (y2) verschaalt met de lichaamsmassa (z1) tot de macht ¼ . Pas na een voldoend groot aantal processtappen hebben deze aspecten een evenwicht bereikt en zijn deze aspecten invariant.
Ook de logaritme herkennen we in de respons van veel waarnemingsorganen die logaritmisch verandert met een veranderende intensiteit die waargenomen wordt. Voor sommige waarnemingen duurt het een tijd voor een evenwicht bereikt wordt.
Als er geen evenwicht situatie bereikt wordt, dan zullen we op een bepaald moment moeten stoppen met het verzamelen van waarnemingen, dus we hebben een “vaste n” bereikt, een aantal stappen. Dus de “vaste n” maakt het mogelijk om te onderzoeken welke entiteiten (x-x0), gerelateerd met hun intensiteit m, in het vizier komen. We stoppen het gedrag, de dynamiek, de tijd en kijken naar de diffusie of convectie op een bepaald moment in de toestandsruimte waarin we geïnteresseerd zijn met behulp van de verzamelde sporen. Hoeveel van de veronderstelde entiteiten (categorieën) vinden we dan?
Wanneer we nu het aantal sporen uitzetten per categorie construeren we een histogram, een kwantitatieve verdeling of distributie over de categorieën. Wanneer de categorieën onafhankelijk van elkaar gegenereerd worden door het repetitief doorlopen van een proces dan vindt men typisch een Gauss curve. Telkens weer wordt het proces met dezelfde onderscheidingen doorlopen. Wanneer de categorieën ontstaan zijn als gevolg van het vinden van sporen die aspecten zijn binnen één lopend proces dan vindt men typisch een machtsverband. Er zijn al veel voorbeelden van machtsverbanden bekend.
Een voorbeeld van een Gauss verdeling is de lengte van volwassen mensen. De lengte ontstaat als gevolg van een proces dat op een bepaald ogenblik een evenwicht bereikt. Hoe lang we daarna ook zouden wachten, na een bepaalde leeftijd worden mensen niet groter. Voor de lengte kunnen we verschillende categorieën onderscheiden en de aantallen in die categorieën verschillen van elkaar, maar dat verschil is beperkt en wordt goed beschreven door de spreiding van de verdeling. We vinden mensen met lengte van het gemiddelde plus of min drie maal de spreiding, maar geen mensen met lengte van het gemiddelde plus of min (bijvoorbeeld) tien maal de spreiding.
Een voorbeeld van een machtsverband is de intensiteit van aardbevingen. Het proces van wrijving van tektonische platen kan energie bufferen tot een bepaald moment. Dan genereert dit schokken en schokken genereren andere schokken en dit is een proces met een zekere ver-m-voudiging. Het proces blijft lopen, we weten niet of we de grootst mogelijke schokken al gehad hebben en we nemen voortdurend kleine schokken waar. Evenwicht wordt niet bereikt. Aardbevingen worden ondergebracht in categorieën waarmee we aan elke aardbeving een soort toekennen. De soorten zijn de intensiteiten van schokken. Een grotere schok impliceert een kleinere schok en er is een grootste schok te vinden in de verzamelde sporen. We kunnen van een gemiddelde schok spreken in een bepaalde regio maar dat zegt helemaal niets over de grootte van mogelijke schokken in die regio. Typisch zijn schokken exponentieel groter (of kleiner) en wijken niet zo maar een fractie af van het gemiddelde. Gelijk welke klok kunnen we gebruiken om de aardbevingen te ordenen in een bepaalde regio, zo komen we tot een frequentie van aardbevingen (z). Het blijkt dat dit evenredig is met hun intensiteit (y) (de soort aardbeving) tot de macht -1. Hier zien we een negatieve macht. De processtappen kunnen we negatief kiezen om processen in het verleden te modelleren waarvan we voldoende stabiele sporen kunnen terugvinden. Ook voor distributies geldt dat er voldoende waarnemingen moeten mogelijk zijn omdat dan pas de eenheden duidelijk zijn die waargenomen zouden kunnen worden (voor aardbevingen hebben we ooit moeten beslissen welke schokken nu nog relevant zijn en hoe ze zouden gemeten worden, en het interpreteren van mogelijke sporen van aardbevingen in het verre verleden in de bestaande categorieën is al helemaal moeilijk, denk aan de impact die we moeten veronderstellen van een asteroïde 66 miljoen jaar geleden, impact die verbonden wordt met het verdwijnen van de laatste niet vliegende dinosauriërs).
Het is opvallend dat de distributie z=Cy-1 (die we kunnen vaststellen bij aardbevingen) voor andere processen veralgemeend kan worden tot z=Cy-n, maar dat we dikwijls vinden dat de schaal parameter n begrensd is: 2<n<3.
Het is opvallend dat voor veel distributies de machtsverbanden voornamelijk in de “staart” van de grafiek waargenomen worden, wat betekent dat een machtsverband slechts gevonden wordt eens een bepaalde waarde overschreden wordt. Dit is uiteraard een gevolg van het feit dat een onderscheidingen universum groot genoeg moet zijn om nieuwe vormen van coördinatie mogelijk te maken (en dus om nieuwe entiteiten te kunnen onderscheiden).
De verschillende distributies kunnen we daarom verklaren binnen de structuur van een tralie.
Entiteiten zijn op verschillende schalen waar te nemen, te meten en dus te beschrijven en sommige schalen zijn aan elkaar gerelateerd als ze aspecten zijn van eenzelfde proces. “Dezelfde” entiteit kan zich dan anders voordoen, waarbij elke schaal sommige onderscheidingen naar voor brengt die op een andere schaal niet kunnen onderscheiden worden of, anders gezegd, niet binnen de waarnemingsresolutie vallen, of die expliciet niet beschouwd worden. Schaal is een noodzakelijk begrip om gedrag te beschrijven en impliceert dus elkaar uitsluitende aspecten van dat gedrag. Iets anders kunnen we niet tellen en tellen gebeurt altijd discontinu. Interagerende entiteiten “vertonen emergent gedrag”, gedrag dat enkel op het niveau van de interactie of de “coördinatie van de entiteiten” kan beschreven worden. Door coördinatie ontstaat orde. Dat is dus gedrag “op een grotere schaal”, er zijn meer entiteiten en meer interacties mogelijk. Dat gedrag kan spontaan zijn (“zelforganiserend”) en kan ook patronen vertonen die dan enkel in een groter universum te beschrijven zijn. De patronen worden dan beschreven in een universum waarin de individuele entiteiten niet relevant zijn. Dus een gedrag dat kan vertoond worden door levenloze entiteiten kan ook vertoond worden door levende cellen en hele maatschappijen.