Operationeel kan het niet anders dan dat een proces dat in werkelijkheid doorgaat gemodelleerd wordt door een wiskundig model waarin de kwantiteit in een volgende gebeurtenis niet op voorhand kan bepaald worden. Er zal altijd een afwijking zijn (die misschien niet relevant is). Dat is de essentie van feedforward met zijn noodzakelijke feedback. We kunnen de kwantiteit wel anticiperen omdat ze wel kan bepaald worden door en ten opzichte van de kwantiteit in de huidige stap.

We zullen nu een proces met constante k (met 0<k<1) illustreren door de opeenvolgende toestanden in een tabel weer te geven waarbij we de tijd als stap kiezen (en niet een andere parameter of andere abstractie):

Beide geanticipeerde feedback processen verlopen exponentieel zoals duidelijk geïllustreerd wordt in de tabel. De eerste kolom geeft vanaf een willekeurig gekozen startpunt (tijdstip 0) de opeenvolgende tijdstippen overeenkomend met het tijdsinterval Δt dat verbonden is met de procentuele toename k (tweede kolom) of afname k (vierde kolom) van het verschil (x-x₀). De waarden in de eerste kolom nemen toe, de waarden in de laatste kolom nemen af. Merk op dat hierdoor de intensiteit van maar één verschil gemodelleerd wordt (namelijk (x-x₀)) die als meeteenheid gebruikt wordt bij elke tijdstap. Noteer dat elke meeteenheid ook een dimensie heeft (het is een soort eenheid). Meerdere verschillen (telbare entiteiten) kunnen door een stelsel vergelijkingen gemodelleerd worden (een stelsel veeltermen modelleert een logische conjunctie).

De opbouw van de tabel kan als volgt gedetailleerd voorgesteld worden, waarbij we de positieve feedback tabel als voorbeeld gebruiken:

Cumulatie

De tabel wordt met de minste veronderstellingen opgebouwd: er komt bij elke tijdstap een hoeveelheid (het enige dat kan veranderen) van de constante eenheid bij. Die hoeveelheid is gelijk aan een reële fractie van de vorige stap (of er gaat een hoeveelheid van de eenheid af wat dan de tabel voor de negatieve feedback genereert). De eenheid zelf wordt niet veranderd. Men zou kunnen zeggen dat in deze tabel numeriek geïntegreerd wordt (sommatie van een speciaal soort kleine stappen), maar met een andere speciaal soort som. We zullen deze operatie een cumulatie noemen, omdat er iets accumuleert of decumuleert. Naar analogie met een klassieke sommatie waarvoor het Grieks sigma symbool gebruikt wordt (dat dan als speciaal soort som als het symbool ∫, een integraal, genoteerd wordt), zullen we hiervoor het “blackboard C” symbool gebruiken, dat is ℂ. Dit is het html karakter 8450 met code &#8450;

ℂ verwijst naar cumulatie, maar ook naar het onderliggend dubbelgetal, zoals bijvoorbeeld een complex getal (ℂ wordt gebruikt als symbool van de verzameling complexe getallen).

De betekenis van ℂ_ie_i is niet anders dan de bereikte intensiteit van de eenheid van e na i stappen. ℂ_ie_i is per definitie gelijk aan (e-e₀)(1+k_e)ⁱ met eenheid (e-e₀) en intensiteit “de speciale som” (1+k_e)ⁱ waarbii k_e de eigenwaarde is van het proces met e. Hierin is i een aantal processtappen. De relatie met de eenheid en de schaal kunnen we in zijn algemeenheid onderzoeken door de functie gⁿ=ng te onderzoeken voor een g verschillend van 1. Het besluit van dat onderzoek is dat elke processtap (dus elke i) een eigen normalisatie vereist om de schaal te kunnen modelleren die de niet commutatieve cumulatie gⁱ gelijkstelt aan de commutatieve cumulatie ig. De relatie met een klassieke som en numerieke integratie zullen we nog expliciteren en er de voorwaarden voor construeren.

De “speciale som”, de intensiteit van (x-x₀), is een product van n dezelfde termen, namelijk (1±k)ⁿ (met 0<k<1) bij stap n en dit is dus een som in de exponent. Dit is niet anders dan de exponent n van de enig mogelijke grondtallen voor de definitie van een logaritme, waarbij het grondgetal 0 (0=1-1) en het grondtal 2 (2=1+1) dan limietvormen zijn.

(1±k)ⁿ (met 0<k<1) bij stap n kunnen we berekenen als een som van gelijkwaardige producten, waarbij de “waardigheid” het binair begrip is dat centraal staat in het haakformalisme. Aangezien er maar twee mogelijke waarden zijn kan men van twee punten zeggen dat ze ofwel dezelfde waarde, ofwel tegengestelde waarde hebben, maar van drie of meer punten kan men wel zeggen dat ze dezelfde waarde hebben maar niet dat ze tegengestelde waarde hebben.

(x-x₀)(1±k)ⁿ kan ook geschreven worden als (x-x₀)e^n.ln(1±k). Dit betekent dat we hiermee het exponentieel getal e in het haakformalisme een plaats gegeven hebben. We merken op dat (met 0<k<1) de waarde ln(1±k) positief is voor (1+k) en negatief is voor (1-k). Stel nu (1+k)=k’ en (1-k)=k’’. Het proces komt dus overeen met een vaste k’ voor een intensiteit die in de loop van de stappen n verandert als (x-x₀)e^+n.k’ voor positieve feedback en met een vaste k’’ als (x-x₀)e^-n.k’’ voor negatieve feedback. Merk op dat de reciproque de soort feedback omkeert, dus (x-x₀)e^-n.k’ voor negatieve feedback met een vaste k’ en (x-x₀)e^+n.k’’ voor positieve feedback met een vaste k’’.

Voorbeelden van eigenwaarden

Is de eigenwaarde gelijk aan 0 voor de positieve of negatieve feedback, dan is er geen geanticipeerd proces, dan is er noch een geanticipeerde toename, noch een geanticipeerde afname, er is enkel het verschil dat een verschil maakt en dat niet verandert. Men zou kunnen zeggen dat een proces in zijn attractor beland is en daar niet meer uit weg kan. Merk op dat de verhouding k=(x-x₀)_(t+Δt)/(x-x₀)_(t) dan ook de waarde nul heeft en dat de mogelijke hypothese dat Δt dan niet verschillend is van nul duidelijk een andere hypothese is. De eigenwaarde gelijk aan nul doet de eenheid (x-x₀) niet verdwijnen.

Is de eigenwaarde gelijk aan 1 dan is er helemaal geen negatieve feedback, maar in de positieve feedback wordt de waargenomen eenheid (het oorspronkelijk verschil) vermenigvuldigd met gehele machten van 2 gegeven door de stap. De factoren 2ⁿ komen overeen met het aantal simultane punten in een tralie (zie de paragraaf “partiële orde”) bij het doorlopen van de tralie van niveau tot niveau. Juist dat is wat we een spontaan proces genoemd hebben dat gemodelleerd wordt door de toenemende disjunctie x_n van elkaar uitsluitende toestanden gelabeld met de stappen van de doorlopen tijd, dus bij een volgende tijdstap wordt een volgend niveau bereikt. Dat is natuurlijk een tautologie want de tijd wordt juist bepaald door de elkaar uitsluitende toestanden. Dus de kwantitatieve benadering met een eigenwaarde gelijk aan 1 simuleert een spontaan proces. Het geeft dus het aantal van de niet karakteriserende onderscheidingen die in de loop van een proces verloren gaan voor de entiteit die stabiel blijft in het proces (of toenemen voor de inbedding van die entiteit). Dit betekent dat de eigenwaarde gelijk aan 1 overeenkomt met de ene tijdstap die eigen is aan het proces en de maximale onzekerheid geeft in welke toestand het proces zich bevindt. Elk proces wordt immers gekarakteriseerd door het aantal toestanden die elkaar uitsluiten in dat proces en een positieve anticipatie, dus zonder actie die een controle kan uitvoeren, kan enkel maar een toenemende onzekerheid met zich meebrengen. Immers: veronderstel een spontaan proces dat waargenomen wordt met behulp van de sporen die het afscheidt. Het evolueert van toestand naar toestand en alle toestanden sluiten elkaar uit. Het is onbekend hoeveel onderscheidingen nodig zijn om de tralie op te spannen die momentaan het proces kan beschrijven maar het is onvermijdelijk dat het aantal te veronderstellen onderscheidingen exponentieel toeneemt tijdens het proces. Toch krijgt bij de waarneming zelf een onbekend universum een waarde “ja” (en dus “neen” voor iets anders). Wanneer we dit preciezer formuleren wordt duidelijk hoe contra intuïtief dit eigenlijk is voor mensen die opgeleid zijn om de werkelijkheid deterministisch te benaderen. Namelijk de zekerheid dat het proces NU dank zij het afgescheiden spoor waargenomen wordt is maximaal (inderdaad, het agens zegt “ja”), maar die zekerheid neemt exponentieel af naarmate het proces vordert en er geen nieuwe waarneming uitgevoerd wordt door het agens. Immers: de baan die gevolgd wordt in de toestandsruimte (de opspannende tralie) wordt exponentieel onzekerder. In een tralie is het aantal simultane punten immers een macht van 2, gegeven door het niveau van het punt. Bijvoorbeeld: in het ervaren NU bevinden we ons altijd op niveau 0 en dus is er één simultaan punt dat ervaren is en de zekerheid is maximaal (P(NU)=1), een niveau verder (bereikt door het vectorproduct van het huidige atoom met één ander atoom van de tralie) zijn er al 2¹ simultane punten, een niveau verder (bereikt door het vectorproduct van het vorig vectorproduct met een ander atoom van de tralie) zijn er al 2² simultane punten, en n niveaus verder is er al onzekerheid over 2ⁿ gebeurtenissen die hadden kunnen doorlopen worden. We merken dus dat de waarschijnlijkheid op het punt 0 in de tijd maximaal is en exponentieel afneemt zodanig dat deze na n stappen in de tijd 2^-n bedraagt, gemeten dus in het aantal gebeurtenissen die gebeurd zouden kunnen zijn. Dit is uiteraard een voorwaardelijke waarschijnlijkheid omdat op elk ogenblik in de tijd geldt dat een punt ervaren is, dus dat de waarschijnlijkheid een “waarschijnlijkheid is gegeven A₀”. Door het uitvoeren van een nieuwe waarneming reduceren we, discontinu, de onzekerheid weer tot nul en de waarschijnlijkheid wordt 1.

Dit is gemakkelijk met een voorbeeld operationeel (ervaarbaar) te maken. Sta recht, sluit je ogen en begin te stappen. Na een tijdje stappen wordt het moeilijker en moeilijker om de volgende stap te zetten zonder de feedback van een waarneming, en daarvoor kan je je ogen niet gebruiken. Je kan natuurlijk andere zintuigen gebruiken, maar schakel dan jouw oren uit of jouw tastzin en, doordat er minder input kan zijn, blijft de onzekerheid enkel maar toenemen.

Dat is dus wat we modelleren door de reële positieve eigenwaarde k van een spontaan proces. Positieve feedback wordt gegeven door (x-x₀)_(t+Δt)=k(x-x₀)_(t) en negatieve feedback door: (x-x₀)_(t+Δt)=-k(x-x₀)_(t). Is de eigenwaarde gelijk aan 1 dan is er helemaal geen negatieve feedback, maar in de positieve feedback neemt het oorspronkelijk verschil exponentieel toe met gehele machten van 2. Dit is het proces van maximale onzekerheid. Wanneer de eigenwaarde een fractie is van 1 dan modelleren we dat een kleiner aantal potentiële gebeurtenissen hadden kunnen gebeurd zijn (de waarneming zorgt voor een “gegeven A₀ op een niveau hoger dan een a priori verondersteld niveau 0” en de waarschijnlijkheid wordt dus P(E/A₀)) en dus modelleren we een grotere voorwaardelijke waarschijnlijkheid en dus een kleinere onzekerheid, een grotere k, kleiner echter dan 1, modelleert dus een grotere onzekerheid, een kleinere k, groter echter dan 0, modelleert dus een kleinere onzekerheid). Dit betekent dat binnen de opgespannen tralie niet alle gebeurtenissen onbekend zijn, slechts een gedeelte daarvan. Wanneer het waarnemend agens dan actie onderneemt (en de beslissing neemt “ja” te zeggen voor een bepaald spoor) dan verandert de prior waarschijnlijkheid in een posterior waarschijnlijkheid die altijd groter is en dus de onzekerheid verder verkleint. De waarde van de eenheid (x-x₀) is dus ook te interpreteren als een waarschijnlijkheid P gelijk aan 1, en dus is de verhouding (x-x₀)_(t+Δt)=k(x-x₀)_(t) ook in termen van waarschijnlijkheid te schrijven als P_(t+Δt)=kP_(t).

Dit wordt operationeel ook op de volgende manier duidelijk: hoe groter de onzekerheid aangroeit waarin het agens zichzelf vermoed te bevinden, hoe waarschijnlijker het is dat het agens actie (een waarneming) zal ondernemen en met zekerheid iets zal ervaren (waarbij met zekerheid ook altijd iets anders zal gebeuren). Dus naarmate het aantal potentiële sporen toeneemt, des te groter wordt de waarschijnlijkheid dat de waarneming van een van die sporen de input zal zijn van een actie om zich te vergewissen van een eventueel veranderd universum.

Het is dat proces dat gemodelleerd wordt door de tabel van de opeenvolgende stappen in de tijd van een spontaan proces, dus zonder dat een waarnemend agens een actie onderneemt.

We kunnen dat op een aantal manieren interpreteren

• De tabel anticipeert het aantal sporen dat zou kunnen gevonden worden in de toekomst (indien een bepaald soort spoor relevant zou bevonden worden).

• De tabel reconstrueert het aantal sporen dat zou kunnen waargenomen geweest zijn in het verleden (indien een bepaald soort spoor relevant zou bevonden worden).

• De tabel geeft de waarschijnlijkheid dat een waarnemend agens (die een bepaald soort spoor relevant vindt) actie zou ondernemen in de toekomst.

• De tabel geeft de waarschijnlijkheid dat een waarnemend agens (die een bepaald soort spoor relevant vindt) actie ondernomen heeft in het verleden.

De eigen klok van een proces

We merken nu op dat de maximale onzekerheid na één tijdstap bereikt wordt voor een positieve feedback bij een verdubbeling van de intensiteit. Immers: wanneer k=1 dan geldt na één tijdstap dat de intensiteit gegeven wordt door 2(x-x₀). We kunnen dus het aantal tijdstappen waarbij verdubbeling optreedt als een alternatieve maat gebruiken voor de eigenwaarde. Dit is dus de n (tijdstap of aantal toestanden) waarvoor geldt: (x-x₀)(1+k)ⁿ=2(x-x₀). Hieruit volgt dat n=(log₂(1+k))^-1 en die n zal evenzeer als k het proces karakteriseren. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel 0,1) bekomen we een verdubbeling tussen de tijdstappen 7 en 8 want n=(log₂(1,1))^-1=7,2725408973. Op een analoge manier zal de eigenwaarde bij een negatieve feedback gekarakteriseerd worden door de tijdstap waarbij een halvering optreedt. Dit is dus de n waarvoor geldt: (1-k)ⁿ=2^-1 waaruit volgt n=-(log₂(1-k))^-1. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel 0,1) bekomen we een halvering tussen de tijdstappen 6 en 7 want n=-(log₂(0,9))^-1=6,578813479.

Dit geeft dan ook aan dat uit de meting (aan sporen van een spontaan proces) van een intensiteitsverschil in een bepaald tijdsverschil de eigenwaarde van een spontaan proces kan afgeleid worden. Dus met behulp van een externe klok (een spontaan proces dat parallel loopt, zonder causale relatie dus, met het eerste spontaan proces) kan de eigen klok van een proces gemeten worden. Inderdaad: de soort feedback wordt gemodelleerd vanuit de toestand op moment t+Δt. Dat geeft dus de betekenis van het relevante tijdsinterval en aan Δt is er niets absoluut, het tijdsverschil tussen de verschillende stappen wordt bepaald door het proces zelf, namelijk het teloor gaan van de onderscheidingen die het gemeten telbare aspect (namelijk (x-x₀)) niet karakteriseren in het proces voor het waarnemend agens. Dat tijdsinterval kan kort zijn, maar voor sommige spontane processen ook zeer lang vergeleken met het kortste tijdsinterval dat meetbaar is in een ander parallel proces waarmee een verhouding kan gevormd worden. De stappen zijn dus de toestanden die elkaar uitsluiten voor het agens-in-context die het proces waarneemt. We drukken dit ook uit door te zeggen dat (de ervaring van) tijd gebonden is aan de waarnemingsresolutie van het ervarend agens voor gegenereerde sporen. Als we dus het verschil in waarnemingsresolutie expliciet in rekening willen brengen in relatie tot de eigenwaarde dan zouden we een “eenheid van uitsluitendheid” kunnen onderscheiden als k/h met 1≤h<∞ en n=ht met t een nieuwe eenheid, namelijk de tijdstap die men in deelintervallen kan onderscheiden, en dan wordt de telbare relatie (x-x₀)(1±k)ⁿ uitgedrukt als (x-x₀)(1±k/h)^ht. De operationele betekenis is best met een voorbeeld te begrijpen. Stel dat de kleinst waarneembare stap één uur zou zijn, dan is de tijdstap die in deelintervallen te onderscheiden is bijvoorbeeld één dag, bestaand uit 24 uren, en t is dus gelijk aan 1 (met “uur” als dimensie) en h is dan gelijk aan 24. Dit is een operationele definitie aangezien van de kleinst waarneembare stap (één uur) vertrokken wordt en alle stappen (uren) elkaar uitsluiten. Niet operationeel zou bijvoorbeeld zijn dat men vertrekt van een tijdstap (stel in dit voorbeeld één dag) die dan onderverdeeld wordt (in dit voorbeeld naar uren). Dit doet men indien men veronderstelt dat h onbeperkt groot kan gemaakt worden, dus men veronderstelt dan dat 1≤h<∞ naar boven niet begrensd is. Die veronderstelling kan men natuurlijk wel theoretisch maken, en zo wordt het getal e benaderd. Praktisch is dat natuurlijk niet mogelijk (en daarom spreekt men van een benadering), en er is bijvoorbeeld geen enkele bankier die het in zijn hoofd zou halen om een samengestelde intrest te berekenen per nano seconde, de winst wordt hoe dan ook door het getal e begrensd en zou zich enkel maar laten uitdrukken in fracties van de kleinste praktische waarde die uitbetaald kan worden (wat dus een operationele definitie is van geldelijke waarde).

Het verschil tussen theorie en praktijk kan ook geïllustreerd worden door een concrete tijdsmeting te onderzoeken op abstract niveau: men moet veronderstellen dat het mogelijk is om minimaal twee verschillende elkaar uitsluitende toestanden te onderscheiden, en dan kan men natuurlijk altijd veronderstellen dat het “innemen van de toestand” ook een tijdsinterval duurt, maar dat “innemen van de toestand” valt dus per definitie buiten de waarnemingsmogelijkheid, het blijft een niet te ervaren “indien... dan...” constructie.