De veronderstelling dat met één stap (in de tijd of in de ruimte of...), dus bij een volgende toestand, de intensiteit niet veel veranderd is (dus 0<k<1 of 0<(x-x0)<1), is exact de veronderstelling die gemaakt wordt bij de numerieke benadering van een (eerste orde) differentiaal vergelijking met behulp van minimaal de Euler methode, maar ook met andere methodes die daarvan afgeleid zijn en de stap nog eens onderverdelen in een gewogen som van kleinere stappen. We kunnen dat als volgt illustreren: stel dat we de baan (in de ruimte, in de tijd of ...) van een “ballistisch” object willen bepalen. De veronderstelling (anticipatie) impliceert dat er na enige tijd zal blijken dat er een baan gevolgd werd die niet op voorhand gekend kan worden. Dus dan kunnen we ook veronderstellen dat, achteraf, op elk punt van de baan de raaklijn aan de baan de richting gaf van de lokale verandering die spontaan doorging. A fortiori geldt deze veronderstelling ook voor het beginpunt S0, de waarde nu, de enige die nu waargenomen is, de waarde op ruimte-en-tijd-en-... nul. Dus kunnen we ervan uitgaan dat we het meetbaar punt dat volgt op S0, noem dit S1, kunnen berekenen door een raaklijn constructie. Een raaklijn is een verhouding en de meest eenvoudige veronderstelling is dus een lineair verband: de waarde van het volgende punt is de waarde van het beginpunt plus (of min) een fractie van diezelfde waarde, in formulevorm S1=S0 ± htS0 met 0<ht<1 en t=1, de ene stap (in de ruimte-tijd-...) die eigen is aan het spontaan proces en de toename h die we niet op voorhand kennen en enkel kunnen simuleren. We zullen daarbij een fout maken, de kleine afwijking ligt misschien niet meer op de geanticipeerde curve, maar de fout zal beperkt zijn. Een fout maken betekent operationeel dat "indien we dat in werkelijkheid zouden gedaan hebben, dan zouden we een ander punt waargenomen hebben". Een kleine fout maken betekent operationeel dat "indien we dat in werkelijkheid zouden gedaan hebben, dan zouden we een punt waargenomen hebben dat niet relevant verschilt van wat we anticipeerden". Dus een fout is duidelijk afhankelijk van de context en de waarnemingsresolutie van het agens. Zonder meer informatie nodig te hebben kunnen we dan veronderstellen dat het volgende punt op dezelfde manier kan berekend worden, dus S2=S1 ± htS1 met 0<ht<1 en de ± in dezelfde zin. Dus na elke stap (in de tijd) kunnen we een punt anticiperen waarbij we a priori weten dat in werkelijkheid iets anders zou gebeurd zijn, maar de afwijking zal beperkt zijn. Door de raaklijnconstructie vormen al deze geanticipeerde punten een polygoon die we kunnen aanduiden met (S0, S1, S2, S3, ...). In deze redenering hebben we ht genoteerd, maar t=1 gesteld, het is dus de eenheid van de toename die we als (x-x0) of k noteerden. Zo wordt het duidelijker dat, hoe kleiner we de stap (in de ruimte-tijd) kiezen, hoe kleiner de afwijking zal zijn van wat in werkelijkheid zou gebeurd zijn. Daarvoor is het uiteraard niet nodig tot op het niveau van de Planck tijd (5,391.10-44 s) en de gerelateerde Planck lengte (1,616.10-35m) of Planck energie (1,2209.1019GeV) af te dalen, maar een afwijking zal er altijd zijn, afwijking die voor de waarnemende agens misschien niet meer relevant is. Technisch zal ook gelden dat een extensie van de Euler methode een curve preciezer kan benaderen als de weegfactoren van verleden stappen zouden afgeleid worden, en inderdaad is ook die techniek als lineaire multistap methode bekend. Dus S1=S0 ± htS0 met 0<ht<1 kunnen we eigenlijk ook schrijven als S1=S0 ± kS0 met 0<k<1. Maar daar stopt de gelijkenis. In de numerieke benadering van bestaande continue curven veronderstelt men een absoluut kleinste (tijd)stap en een bestaande, perfect gekende, continue curve die a priori verondersteld wordt of waarvan men uitgaat dat een verleden vastgesteld patroon niet zal veranderen. Men kan zich natuurlijk inbeelden (indien... dan... constructie) dat voor sommige processen met zeer kleine waarnemingsdrempel de (ruimte-tijd-energie)intervallen waarop de eigenwaarden veranderen of de entiteiten die veranderen (en dus ook de intensiteiten die daarmee overeenkomen) willekeurig klein kunnen gemaakt worden. Hierbij zouden geen entiteiten meer gemodelleerd worden maar infinitesimalen of onderscheidingen. Inderdaad een welgevormde haakuitdrukking die ervaren is staat voor een infinitesimaal en is dus geen “indien... dan...” constructie meer die nog moet blijken in werkelijkheid. Een welgevormde haakuitdrukking waaraan een waarde toegekend is, is dus geen anticipatie meer en het begrip “feedback” is hierop dus niet van toepassing. In de benadering van het haakformalisme veronderstellen we dus een relevante stap (misschien in de “energie-ruimte-tijd”) die afhankelijk is van de toestanden die kunnen onderscheiden worden in het proces, die dus agens en context afhankelijk zijn. De waarde in vergelijking met een andere proces (dat als "absolute" referentie zou gebruikt worden) hoeft helemaal niet gedefinieerd te zijn. We kunnen nu ook een nieuwe entiteit introduceren, namelijk de “abstracte baan” B(k, (x-x0)) die in een grotere toestandsruimte (inclusief dus k) doorlopen wordt. Deze baan die dus een functie met naam B is, is een functie van k en van (x-x0). Ook voor deze entiteit moeten we niet veronderstellen dat die in het proces a priori zou gekend zijn. De inzichten van het haakformalisme functioneren dus ook voor niet differentieerbare functies, functies die aan belang gewonnen hebben door het werk van de wiskundige René Thom die als eerste onderzocht hoe het gedrag rond zo'n “begin” singulariteit x0 kan beschreven worden en die tot de conclusie kwam dat er processen zijn die “zeer gevoelig zijn voor de beginvoorwaarden”.
Dit leidt natuurlijk tot het inzicht onder welke veronderstellingen de klassieke integratie terug te vinden is, die als de exacte beschrijving van een gekende evolutie beschouwd wordt: het verschil dat een verschil maakt, dus bijvoorbeeld (x-x0), is dan niet meer een constante maar een functie van de stap, elke stap heeft zijn eigen infinitesimalen. We gebruiken voor zo'n stap da in plaats van Δa, bijvoorbeeld dt in plaats van Δt
Positieve feedback: (x-x0)(t+dt)=k(x-x0)(t) met 0<k<1 heeft als een klassieke oplossing x0(1+ekt)
Negatieve feedback: (x-x0)(t+dt)=-k(x-x0)(t) met 0<k<1 heeft als een klassieke oplossing x0(1-e-kt)
Er zijn uiteraard meerdere oplossingen die enkel verschillen door een constante term. Waarom we voor deze specifieke oplossingen kiezen (en niet voor x0ekt versus -x0e-kt) wordt verder nog duidelijk.
Analytisch noteert men dan de verhouding dx/dt=kx, wat uitdrukt dat de verandering van de waarde x evenredig is met de waarde x zelf. Er is hierbij geen verschil dat een verschil maakt want (x-x0) heeft bij de start van het proces de waarde nul en x0 wordt de “beginvoorwaarde” genoemd. Het is juist dit dat we moeten begrijpen om de klassieke veronderstellingen van de differentiatie en integratie te begrijpen.
De feedback processen (waarbij een niet a priori te kennen maar wel te anticiperen afwijking van een model gemodelleerd wordt) beschrijven de veranderingen van de intensiteit van een bestaande invariante entiteit of model, we geven hier het voorbeeld van (x-x0), entiteit die niet in vraag gesteld wordt en gedurende heel het proces invariant blijft. Wat er niet constant blijft is de intensiteit van die entiteit. Dit is heel duidelijk in het haakformalisme: na stap n wordt (x-x0)(1+k)n bereikt voor de positieve feedback en dus de intensiteit (1+k)n van de eenheid (x-x0). Na stap n wordt (x-x0)(1-k)n bereikt voor de negatieve feedback en dus de intensiteit (1-k)n van de eenheid (x-x0).
De klassieke integratie beschrijft echter de verandering van een veranderende entiteit, namelijk x, ten opzichte van de beginvoorwaarde x0, dit is te zien door de klassieke oplossing als x0(1+ekt) te schrijven en dus als -(0-x0)(1+ekt) waarbij x de waarde nul heeft. Het haakformalisme geeft nu de mogelijkheid tot een dieper begrip van de veronderstelling dat de entiteit zelf verandert. We hebben immers gezien dat de intensiteit van de eenheid (x-x0) verandert als (x-x0)e+n.k’ voor positieve feedback en als (x-x0)e-n.k’’ voor negatieve feedback, met k’=ln(1+k) en k’’=ln(1-k). Veronderstel nu de eenheid (x±1) en dus veronderstel x0=±1 en veronderstel dat we het proces bij de eenheid x=0 starten zoals bij de klassieke veronderstelling. Het proces van verandering heeft dan in onze notatie als klassieke oplossing ±1(1+ek’n) bij positieve feedback en in onze notatie als klassieke oplossing ±1(1-e-k’’n) bij negatieve feedback en dus bij de “beginwaarde ±1”. Onze interpretatie is dan dat we hiermee bij elke stap in de tijd een nieuwe eenheid construeren. Welke eenheid is dat dan? Er zijn twee mogelijkheden: ten eerste ±1(1+ek'n)∓1 en die is niet anders dan ±ek'n en dus het resultaat van positieve feedback en ten tweede de nieuwe eenheid ±1(1-e-k’’n)∓1 en die is niet anders dan ±e-k’’n en dus het resultaat van negatieve feedback. Dus de intensiteit van de, in dit geval veranderende, eenheid (x±1) wordt bij elke stap in de tijd gegeven door het product van (±1) met de veranderende intensiteit van de bij elke stap veranderende eenheid (x±1) en dat product is ek’t bij positieve feedback en -e-k’’t bij negatieve feedback. Het is die bij elke stap veranderende eenheid die door de klassieke integratie geconstrueerd wordt en die eenheid is dus niet invariant. Klassiek gaan we dus op zoek naar een variabele eenheid die we uit waarnemingen construeren. Dit heeft veel gevolgen en we kunnen dat heel precies modelleren.
Die telkens veranderende eenheid is natuurlijk niet anders dan de eenheid van het veelterm isomorfisme van het haakformalisme, een isomorfisme dat vanuit orthogonale atomaire projectoren opgebouwd wordt. Wanneer verschillende eenheden (x±1) beschouwd worden als elkaar uitsluitend, dan zien we in het isomorfisme tussen een product van exponentiëlen met dezelfde basis en de som van de exponenten met die basis (namelijk ax.ay = ax+y) het isomorfisme tussen een vectorproduct met welgevormde haakuitdrukkingen en een vectorsom met elkaar uitsluitende projectoren.
Dit gedetailleerd onderzoek naar de klassieke analytische integratie maakt dus de voorwaarden helder waaronder feedback geen zinvol begrip meer is: wat geanticipeerd wordt en wat blijkt te gebeuren verschillen niet van elkaar. Dit is mogelijk te modelleren door bij elke stap (bijvoorbeeld, maar niet uitsluitend, in de energie-ruimte-tijd) te veronderstellen dat men de eenheid die verandert aanpast naar een eenheid die een andere uitsluit. In de analytische benadering veronderstelt men de verandering van een atomair niveau zonder te beseffen dat dit als een verandering van opeenvolgende collapsen van telkens een andere tralie kan benaderd worden. De analytische benadering is enkel zinvol als de verandering van de beschouwde entiteit a priori gekend is en dus niet onbekend of onverwacht is. In de analytische benadering is dus van cybernetische regeling geen sprake omdat er nooit iets anders gebeurt dan wat geanticipeerd wordt. Hierin herkennen we uiteraard het axioma van de klassieke benadering van de werkelijkheid: de werkelijkheid is het model waarin “iets” kan waargenomen worden en “iets anders” niet relevant is, niet onderscheiden kan worden, verwaarloosd kan worden. In het klassieke wereldbeeld kan er nooit iets nieuws of iets onverwachts gebeuren. In het klassieke wereldbeeld is er geen sprake van een afwijking, of van een verschil dat (g)een verschil maakt. Dit wereldbeeld noemen we deterministisch en dit wordt heel helder doordat de analytische wiskundige modellen in de praktijk altijd moeten benaderd worden. Analytische wiskundige modellen modelleren evoluties van onderscheidingen en niet van entiteiten terwijl praktische toepassingen altijd op entiteiten gebaseerd zijn omdat enkel die te tellen zijn (men moet impliciet veronderstellen dat opbouwende onderscheidingen dezelfde waarde hebben).
In het haakformalisme kunnen we een stap dichterbij komen bij de klassieke benadering door te veronderstellen dat we in staat zijn het punt effectief in te nemen dat enkel in werkelijkheid kan blijken te gebeuren (en dus afwijkt van onze anticipatie). Dat blijkt dan een van de manieren te zijn om oscillerende processen te construeren.