Met de introductie van veeltermen, waarvan de waarden enkel in het getallendomein gedefinieerd zijn, hebben we nu een nieuw model voor het haakformalisme beschikbaar. Terwijl de binaire benadering van het haakformalisme kan gezien worden als een modulo2 benadering en de vectorvertaling van het haakformalisme gezien kan worden als een modulo3 benadering, zo zullen we nu aantonen dat de veelterm benadering gezien kan worden als een benadering langs reciproce machten (negatieve machten) van 2. Daarenboven genereren de veeltermen enkel gecollapste atomen en de onderscheidingen kunnen enkel de getalwaarde +1 of -1 aannemen.

Dit is het eenvoudigst te begrijpen met behulp van een voorbeeld.

Hieronder is de tabel gegeven die isomorf is met de 4 gecollapste atomen van het twee onderscheidingen universum in a, b. Merk op dat we nu echte getallen kunnen gebruiken omdat we ons nu in het getallendomein bevinden, we kiezen er voor om de scalair <> voor te stellen door het getal -1, de scalair <<>> door het getal +1. De scalaire vermenigvuldiging kunnen we nu vervangen door een echte getalvermenigvuldiging. Het is duidelijk dat we hier ook weer een volledig arbitraire keuze moeten maken voor + en - en links en rechts.

Als men de waarden normaliseert door te vermenigvuldigen met 2^-2 (en voor een n-variabelen universum dus met 2^-n) dan is het duidelijk dat elk punt van de opgespannen potentiële tralie van het n-onderscheidingen universum kan bekomen worden door een som (een lineaire combinatie) van deze 8 basisvectoren. We kunnen dit ook als volgt zien: elk van de n factoren van de veelterm die een atoom kan representeren wordt dus genormaliseerd met de factor 2^-1.

Daarmee kunnen we het isomorfisme met de 16 punten van het twee onderscheidingen universum eens volledig uitschrijven. We merken op dat de veeltermen de componenten geven van een array met vier termen. Enkel dan is het isomorfisme toepasbaar. We kunnen natuurlijk ook het isomorfisme aan onze laars lappen en een klassieke som uitvoeren van de veeltermen. Dat is dan in de laatste kolom weergegeven. Merk op dat er dan alleen nog maar een onderscheid te maken is tussen de niveaus van de tralie, en dat maakt die operatie belangrijk omdat de niveauverschillen metrisch zijn!

Volledig analoog is hieronder de tabel gegeven die isomorf is met de 8 gecollapste atomen van het drie-onderscheidingen universum in a, b, c, en een analoge opmerking zal ook nu gelden.

Als men de waarden normaliseert door te vermenigvuldigen met 2^-3 (en voor een n-onderscheidingen universum dus met 2^-n) dan is het duidelijk dat elk punt van de opgespannen potentiële tralie van het n-onderscheidingen universum kan bekomen worden door een som (een lineaire combinatie) van deze 8 basisvectoren. We kunnen dit ook als volgt zien: elk van de n factoren van de veelterm die een atoom kan representeren wordt dus genormaliseerd met de factor 2^-1. Deze berekening van getallen zal leiden tot een voorstelling van gecollapste atomen met een negatieve factor voor oneven universa en met een positieve factor voor universa met een even aantal onderscheidingen.

In de laatste rij hebben we elk gecollapst atoom een naam gegeven, zodanig dat een willekeurige welgevormde haakuitdrukking nu kan uitgedrukt worden als een som van de overeenkomstige gecollapste atomen. Aangezien we nu met echte getallen rekenen gebruiken we ook de overeenkomst dat getallen van rechts naar links gelezen worden. Bijvoorbeeld: 10101110 wordt uitgedrukt door: (-2^-3)(A₈-A₇+A₆-A₅+A₄+A₃+A₂-A₁).

Bespreking

Het veelterm isomorfisme kan ook geïnterpreteerd worden als een isomorfisme met klassieke vectoren en wordt opgespannen door orthogonale vectoren omdat hiertoe gecollapste atomen gebruikt worden. Inderdaad, we hebben aangetoond dat de notatie (<>⊕x) met x een welgevormde haakuitdrukking zich gedraagt als een klassieke vector. Door de klassieke vectoren als atomen te gebruiken kan dus een som van deze klassieke vectoren afgebeeld worden op elk ander punt van de opgespannen tralie. Dit model kunnen we ook ontwikkelen met behulp van de patroon notatie van atomen, maar dan zonder dat we getallen nodig hebben.

Klassiek gezien wordt dit echter niet gedaan omdat men in de klassieke benadering een bijkomende veronderstelling maakt: elke onderscheiding is telbaar, en als eerste benadering hiervan: alle onderscheidingen hebben dezelfde (ervarings)waarde die verder niet gekend is. Uiteraard kunnen we die veronderstelling introduceren in het haakformalisme en daar de gevolgen van onderzoeken en daarmee de klassieke inzichten modelleren.

Anderzijds is ongeveer honderd jaar geleden ook het inzicht gegroeid dat de getallen die vanuit deze benadering ontstaan een waarde op zich kunnen hebben, een onderscheiding karakter kunnen hebben, in het haakformalisme uitgedrukt: niet alle onderscheidingen moeten dezelfde waarde hebben. Dit inzicht heeft dan geleid tot een ontwikkeling van wat men een “duale vector” is gaan noemen of een “eenvorm” of “one-form” of nog “differentiaalvorm”. Deze dubbele benadering is inherent aan het haakformalisme en het samenspel van beide wordt in het haakformalisme op transparante wijze gedemonstreerd door het creatief product met zijn basis en duale basis.