De eenvoudigste veeltermen die te bestuderen zijn, zijn veeltermen in één variabele. We bouwen deze op vanuit het haakformalisme door het veelterm isomorfisme in te zetten. De afbeelding die we in het veelterm isomorfisme uitgevoerd hebben is van de symbolen uit het haakformalisme naar symbolen uit het getallendomein, met die beperking dat elke onderscheiding maar de getalwaarde +1 of -1 kan aannemen. Alle punten van een onderscheidingen universum kunnen dan vanuit een som van de gecollapste atomen opgebouwd worden. De som van de veeltermen die in zo een universum gebruikt worden zijn niet in staat een tralie op te bouwen tenzij de componenten ±(±1+a_i) als vectoren benaderd worden, maar we hebben gezien dat ze als eenheid kunnen functioneren die de metrische afstand in een tralie kan modelleren.

Het is belangrijk nog eens het verschil te beklemtonen tussen onderscheidingen en getallen.

We hebben aangetoond dat onderscheidingen universa geordend zijn volgens de gehele getallen. De structuur van de gehele getallen volgt dus uit het haakformalisme: het is de ordening van evenwaardige unieke labels waarmee identieke “ervaringen” toch van elkaar kunnen onderscheiden worden omdat die unieke labels niet relevant zijn voor de gekozen of geconstrueerde identiteit E die ervaren wordt. De identiteit E is dat wat simultaan beschikbaar is in alle concrete realisaties van het ervaren, realisaties R die elkaar uitsluiten en in het ervaren is R niet te onderscheiden van <> en <R> is niet te onderscheiden van <<>>. Het is de E die simultaan met elke R gerealiseerd wordt die we een entiteit kunnen noemen op voorwaarde dat zijn karakteriserende onderscheidingen allemaal dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is. Dus de zojuist geschetste ordening is een ordening van labels of sporen die E, die simultaan is met R, niet karakteriseren.

Om veeltermen in één variabele in het haakformalisme te bestuderen moeten we dus een veronderstelling bijvoegen: we zullen uitgaan van de veronderstelling dat de ene variabele telbaar is. Dus alle onderscheidingen die de ene variabele karakteriseren als entiteit hebben dezelfde waarde, die verder niet gekend is. We zullen zien dat deze veronderstelling grote gevolgen heeft voor de structuren die daarmee kunnen gebouwd worden en we zullen aantonen dat we door het invoeren van een nieuwe operatie (een niet-commutatief product) een bepaalde traliestructuur toch te construeren is en dat dus de mogelijke relaties te modelleren zijn tussen entiteiten die een kwantitatief spoor achterlaten.

We bouwen dit stelselmatig op.

Eén karakteriserende onderscheiding voor één variabele

We starten van het veelterm isomorfisme dat als volgt opgebouwd is voor een één onderscheiding universum:

De vier punten van dat universum kunnen dus als volgt opgebouwd worden door sommen te maken met de gecollapste atomen, voor de eenvoud laten we de globale normalisatie factor, namelijk 2^-1 achterwege:

Het één onderscheiding universum is binair voorgesteld door twee bits. We merken nu op dat er geen structuurverschil is met de volgende tralie, de suprema zijn enkel gewisseld:

We beschouwen nu enkel de atomen van het universum en veronderstellen ze telbaar. Om dat duidelijk te maken gebruiken we de klassieke notering x. We creëren hiermee het één-karakteriserende-onderscheiding universum opgespannen door a, die we als entiteit telbaar veronderstellen en dan voorstellen als een x. Die x kan nu verschillende getalwaarden aannemen, waarbij elke getalwaarde die entiteit met één karakteriserende onderscheiding realiseert, waarbij de getalwaarde de “intensiteit” geeft van dezelfde entiteit waarvan de ervaringswaarde niet gekend is.

We merken op dat we nu voor alle symbolen getallen gebruiken. Elk atoom moet dus als een dubbelgetal bekeken worden, de variabele x wordt slechts in één van de componenten van het dubbelgetal teruggevonden. De andere component is gemeenschappelijk aan beide atomen. We kunnen die gemeenschappelijke component als volgt afscheiden: we drukken uit dat beide atomen elkaar uitsluiten, de som is dus niet verschillend van het product. De som is -2 ofwel +2 afhankelijk van welke tralie we beschouwen (onafhankelijk van x, afhankelijk enkel van de eerste component van het dubbelgetal), het product is in het ene geval -1²+x². In het andere geval +1²-x². Dit betekent dus dat er een relatie geldt tussen de twee componenten van het dubbelgetal: enerzijds -1²+x²=-2, anderzijds +1²-x²=+2. Hieruit kunnen we afleiden dat x²=-1. Conventioneel wordt een variabele die daaraan voldoet een imaginaire eenheid genoemd, en inderdaad kunnen we het haakformalisme met die conventie opbouwen wat dan een van de vele isomorfismen van het haakformalisme oplevert.

We merken op dat in geen van beide gevallen de vier punten van het één onderscheiding universum bereikt worden door het product te nemen. Alle mogelijkheden leveren slechts drie punten op. De vier punten kunnen wel gerepresenteerd worden indien een nieuw product gecreëerd wordt dat niet meer commutatief is, dus bijvoorbeeld wanneer (+1-x)×(+1+x) zou gelijk genomen worden aan +1²-x² en (+1+x)×(+1-x) zou gelijk genomen worden aan -1²+x². Het is duidelijk dat ook hier een duale beslissing kan genomen worden. Hier zien we de analogie met het één onderscheiding universum: het één-onderscheiding universum is het enige universum waarin AND-atomen en OR-atomen zich op centraal niveau bevinden, zoals we met het vectorproduct (XOR) in de richting van <> gaan, zo kunnen we ook met de inbedding van het vectorproduct (XNOR) in de richting van <<>> gaan. Dus in de ene tralie bereiken we -1²+x²=2, anderzijds +1²-x²=-2. Hieruit kunnen we afleiden dat x²=+1. Conventioneel wordt een variabele die daaraan voldoet een reële eenheid genoemd, inderdaad kunnen we het haakformalisme ook met die conventie opbouwen. De fundamentele basis hiervan werd geëxploreerd bij het 1 splitsing universum waaruit dan matrices en dubbelgetallen afgeleid werden, waarbij de matrix vermenigvuldiging op een handige manier de niet-commutativiteit modelleert.

Besluit: in de veronderstelling dat de ene entiteit met één karakteriserende onderscheiding, die verder niet gekend is, beschouwd wordt als een numerieke variabele kan een eenvoudige tralie geconstrueerd worden als er een niet-commutatief vectorproduct gecreëerd wordt. Klassiek zal men beide atomen voorstellen als e₁ en e₂ en men definieert dan een niet-commutatief product e₁e₂ en neemt axiomatisch aan dat e₁e₂=-e₂e₁. Het is duidelijk dat deze techniek in het haakformalisme afgeleid wordt (en niet axiomatisch moet geponeerd worden) doordat het de voorstelling van de vier punten van de tralie met een onderscheiding mogelijk maakt. De introductie van een product wordt verantwoord doordat beide atomen elkaar uitsluiten. Maar dit heeft ook als gevolg dat als beide atomen een intensiteit hebben, beide intensiteiten met elkaar gerelateerd zullen zijn, stel de intensiteiten voor als de scalairen s₁ en s₂ dan zal moeten gelden dat s_1s2=1 of s_1s2=-1. Dat is de reden waarom de twee coëfficiënten, en in overdrachtelijke zin ook de atomen, de naam “contravariant” versus “covariant” kunnen krijgen. Als er een som van meer dan één één-karakteriserende-onderscheiding universum beschouwd wordt (opgelet: dit is geen kwadratisch universum, maar een constructie die als een som van entiteiten kan beschouwd worden) dan gebruikt men hiervoor de notatie a₁.a¹=1 versus a₁.a¹=-1, dus met sub- en super-indices.

De tralie wordt door de eenheidsvectoren als volgt opgespannen:

Twee karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Stel dat we met a en b een twee onderscheidingen universum opspannen. Wanneer de twee symbolen dezelfde waarde hebben die niet gekend is moeten we a en b dus door dezelfde variabele x vervangen en daar de consequenties van onderzoeken. Het opgespannen universum kunnen we dan ook het “kwadratisch universum” noemen omdat het hoogste vectorproduct zal gegeven worden door x². De uitdrukking "kwadratisch universum" is een handige afkorting voor een "twee-karakteriserende-onderscheidingen-universum" voor één entiteit die als variabele gemodelleerd kan worden. Voor de eenvoud laten we de globale normalisatie factor, namelijk 2^-2 achterwege.

Van de vier gecollapste atomen blijven er nog maar drie over die zich onderscheiden: (1-2x+x²), (1+2x+x²) en (1-x²). De gecollapste atomen, namelijk (1-x)×(1-x); (1+x)×(1-x) en (1+x)×(1+x) hebben wel geen gemeenschappelijke factor (hun grootste gemeenschappelijke deler is 1). Het is dus onmogelijk om deze te gebruiken om een tralie op te spannen die een twee onderscheidingen universum zou kunnen modelleren. Die onderscheidingen zouden eventueel gemeenschappelijk kunnen zijn met meerdere entiteiten die wat betreft karakterisering verschillend zouden zijn. Immers de relaties tussen entiteiten kunnen maar begrepen worden door "onderliggende" onderscheidingen te betrekken die de entiteiten karakteriseren. In een kwadratisch (dus twee karakteriserende onderscheidingen) universum is de waarde van x gerelateerd met de (unieke) intensiteit van één entiteit (bijvoorbeeld het "aantal" entiteiten in het geval van elkaar uitsluitende objecten of de "grootte" of "intensiteit" van de entiteit in het geval van variabelen) en niet van meerdere entiteiten met andere karakteristieken.

We zouden daarom onze focus kunnen veranderen en kijken naar drie nieuwe dimensies als mogelijke componenten voor een veelterm: de dimensie die we 1 noemen, de dimensie die we x noemen en de dimensie die we als x² aangeven. Die drie dimensies spannen immers een vectorruimte op. Maar dat is niet de weg die we hier verder volgen.

We bewijzen nu dat we, mits een bijkomende voorwaarde, toch een afbeelding kunnen construeren van vier atomen die zouden kunnen gebruikt worden om een potentieel universum te construeren, universum dat we nodig hebben om alle mogelijke relaties tussen de karakteriserende onderscheidingen van entiteiten te onderzoeken, entiteiten die twee karakteriserende onderscheidingen hebben, en zo de relaties tussen entiteiten zelf. De bijkomende voorwaarde (zoals in het één-karakteriserende-onderscheiding-universum) is de veronderstelling dat de vermenigvuldiging niet commutatief is. (-1-x)×(-1+x) is dus niet gelijk aan (-1+x)×(-1-x). Als we dit willen begrijpen kunnen we de niet commutativiteit interpreteren als de richting waarin men in de tralie beweegt, er zijn immers twee mogelijke tralies: een met een minteken voor alle vier de punten, en een met plusteken voor alle vier de punten, en de klassieke commutatieve vermenigvuldiging dwingt naar slechts één richting. Als we dit toch met behulp van een klassieke commutatieve vermenigvuldiging willen modelleren dan kunnen we overgaan naar de matrix representatie en dan kunnen we de matrix vermenigvuldiging inzetten die niet-commutatief is en een samenspel is van som en product van vector componenten.

Veronderstelt men deze bijkomende voorwaarde voor het kwadratisch universum dan zien we dat er als bijkomend gecollapst atoom (bijvoorbeeld een AND-atoom) een punt gecreëerd wordt dat niet meer verschillend is van een van de drie gecollapste ingebedde atomen (bijvoorbeeld een OR-atoom). Dit kan verklaren waarom er vanaf twee karakteriserende onderscheidingen van een entiteit drie gelijkaardige (ruimtelijke) dimensies en één andere (tijd) dimensie kan onderscheiden worden. Dit reflecteert ook het 3&1 patroon dat in het creatief product naar voor komt.

Hiermee bouwen we de tralie van 16 punten op, deze maal inclusief de globale normalisatie factor, namelijk 2^-2.

We doen nu identiek hetzelfde maar met de meer conventionele voorstelling als eenheidsvectoren en zonder de normalisatie factor:

De totale som is een som van eenheidsvectoren die vier "eenheden" of "dimensies" coderen. Vanuit de binaire voorstelling is dit heel duidelijk. Wanneer men nu veronderstelt dat elke dimensie een scalaire intensiteit kan toegewezen worden, noem deze s_i met i van 1 tot 4, wat tot de vector s₁ e₁² + s₂ e₁e₂ + s₃ e₂e₁ + s₄ e₂² leidt, dan zullen deze intensiteiten met elkaar gerelateerd zijn om intensiteiten van één entiteit te kunnen voorstellen.

Elke component van de vier dimensies kan don't care zijn zoals gedefinieerd en onderzocht in het haakformalisme. Hoewel men soms axiomatisch wil poneren dat e₁e₂=-e₂e₁ toch is duidelijk vanuit het haakformalisme dat dit een interpretatie is van een veronderstelling dat men entiteiten beschrijft met karakteriserende onderscheidingen die dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is. In het haakformalisme moet het axioma e₁e₂=-e₂e₁ niet geïntroduceerd worden. Elke component van e₁² + e₁e₂ + e₂e₁ + e₂² kan onafhankelijk van de andere als don't care genomen worden.

Drie karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Stel dat we met a, b en c een drie onderscheidingen universum opspannen. Wanneer de drie symbolen dezelfde waarde hebben die niet gekend is moeten we a, b en c dus door dezelfde variabele x vervangen en daar de consequenties van onderzoeken. Het opgespannen universum kunnen we dan ook het “kubisch universum” noemen (met dus drie karakteriserende onderscheidingen) omdat het hoogste vectorproduct zal gegeven worden door x³.

De 8 gecollapste atomen van het drie onderscheidingen universum worden dus als volgt vertaald en ook nu vermelden we de normalisatie factor 2^-3 niet.

Van de 8 originele gecollapste atomen blijven er maar 4 over die zich nog onderscheiden als veelterm. Ze hebben geen gemeenschappelijke factor (hun grootste gemeenschappelijke deler is 1). Voor de eenvoud nemen we de atomen waarin de 1 component positief is.

(1-x)×(1-x)×(1-x)=(1-2x+x²)×(1-x)=1-3x+3x²-x³

(1+x)×(1-x)×(1-x)=(1-x²)×(1-x)=1-x-x²+x³

(1+x)×(1+x)×(1-x)=(1+2x+x²)×(1-x)=1+x-x²-x³

(1+x)×(1+x)×(1+x)=(1+2x+x²)×(1+x)=1+3x+3x²+x³

We bekijken nu de niet-commutativiteit en geven de 8 atomen een naam die gerelateerd wordt door de niet-commutativiteit.

(1+x)×(1+x)×(1+x)=A

(1-x)×(1+x)×(1+x)=B

(1+x)×(1-x)×(1+x)=-(1-x)×(1+x)×(1+x)=-B

(1-x)×(1-x)×(1+x)=C

(1+x)×(1+x)×(1-x)=-(1+x)×(1-x)×(1+x)=(1-x)×(1+x)×(1+x)=B

(1-x)×(1+x)×(1-x)=-(1-x)×(1-x)×(1+x)=-C

(1+x)×(1-x)×(1-x)=-(1-x)×(1+x)×(1-x)=(1-x)×(1-x)×(1+x)=C

(1-x)×(1-x)×(1-x)=D

Dit zijn eveneens vier atomen. Er zijn nu twee OR-atomen op het AND-niveau. We kunnen dit interpreteren dat tijd nu twee onderliggende dimensies heeft, die we evenwel als een som kunnen afbeelden: A, D, B+C en -(B+C). We herkennen terug het 3&1 patroon.

Vier karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Het is nu duidelijk dat we ook een kwartisch universum kunnen opbouwen op hetzelfde patroon met het hoogste vectorproduct x⁴. De 5 zich onderscheidende veeltermen hebben geen gemeenschappelijke factor.

(1-x)×(1-x)×(1-x)×(1-x)

(1+x)×(1-x)×(1-x)×(1-x)

(1+x)×(1+x)×(1-x)×(1-x)

(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1-x)

(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1+x)

Als een gepast mechanisme zou gevonden worden om de positie van beide soorten getallen uniek te coderen dan is duidelijk dat een afbeelding op het twee onderscheidingen universum mogelijk is (elk van de vijf veeltermen is een representant van een van de vijf niveau's van het twee onderscheidingen universum). Hieronder tonen we hoe die 5 tot 16 kunnen uitgebreid worden en we ordenen ze op een manier die af te beelden is op de tralie van het twee onderscheidingen universum. Uiteraard kunnen de 16 ook op de atomen van een vier onderscheidingen universum afgebeeld worden.

De fundamentele basis van een kandidaat mechanisme werd geëxploreerd bij het 2 splitsing universum die we op het twee onderscheidingen universum afbeelden door sommen te vormen van atomen.

Het kwartisch universum kunnen we ook uit het kwadratisch universum afleiden. Immers, met de vier atomen van het kwadratisch universum kunnen we ook de volgende producten vormen die zes punten op centraal niveau zouden kunnen weergeven:

De tralie kan als volgt geconstrueerd worden:

Maar evenzeer kan de tralie als volgt geconstrueerd worden:

Vijf karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Dan volgt een kwintisch universum met het hoogste vectorproduct x⁵. De 6 zich onderscheidende veeltermen hebben geen gemeenschappelijke factor. Een productvorm die de plaats van de twee basisgetallen kan coderen zal dan de 32 atomen genereren van een vijf onderscheidingen universum.

(1-x)×(1-x)×(1-x)×(1-x)×(1-x)

(1+x)×(1-x)×(1-x)×(1-x)×(1-x) met nog 4 varianten, in totaal 5

(1+x)×(1+x)×(1-x)×(1-x)×(1-x) met nog 9 varianten, in totaal 10

(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1-x)×(1-x) met nog 9 varianten, in totaal 10

(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1-x) met nog 4 varianten, in totaal 5

(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1+x)×(1+x)

Zes karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Dan volgt een sextisch universum met het hoogste vectorproduct x⁶.

We kunnen dit ook afleiden uit producten van het kubisch universum (producten nemen van de vier atomen van het kubisch universum geeft de volgende zes punten (zowel voor de globaal negatieven als positieve, AND versus OR)

Als we ze beschouwen als punten op centraal niveau kunnen zij een tralie opspannen van 16 verschillende punten die af te beelden is op de tralie die opgespannen wordt door de onderscheidingen van het twee onderscheidingen universum.

We merken ook op dat de 4 “atomaire” veeltermen twee-aan-twee een som zijn van een identiek deel en een deel dat elkaars negatie is:

-1-3x²+3x+x³=(-1-3x²)+(3x+x³)

-1-3x²-3x-x³=(-1-3x²)-(3x+x³)

-1+x²+x-x³=(-1+x²)+(x-x³)

-1+x²-x+x³=(-1+x²)-(x-x³)

Acht karakteriserende onderscheidingen voor één variabele

Het octisch universum zal kunnen afgebeeld worden op het drie onderscheidingen universum door toepassing van het mechanisme ontwikkeld in het 3 splitsing universum.

Overzicht

We geven nu een overzicht in tabelvorm.

Hiermee tonen we aan dat met getallen een onderzoek in onderscheidingen tralies mogelijk is wat we zullen uitwerken in het geometrische algebra model van het haakformalisme.