De veeltermen (polynomen) die met de variabele x (de mogelijke aantallen van de éne entiteit) kunnen opgebouwd worden vormen een vectorruimte opgespannen door de machten van x. Dit is bekend in de theorie van vector ruimten. Merk op dat de vectorruimte die opgespannen wordt door onderscheidingen a, b, c,... een andere vectorruimte is. De variabele x is een entiteit (dus een andersduaal punt) en geen onderscheiding, de variabele x wordt opgespannen door onderscheidingen in een andere vectorruimte: de haakvectorruimte. De volgende analogie illustreert dit: als we in het haakformalisme <<>>•a•b•c noteren en zowel a, b als c zijn van dezelfde soort x, dan noteren we in de polynomen wereld 1•x³.

De opspannende vectoren zijn dus de machten x⁰, x¹, x², x³, ...,xⁱ, .... Elk van deze machten is met het aantal 1 vermenigvuldigd dat nu een coëfficiënt is. In het getallendomein hebben we de coëfficiënten ingevoerd langs de infinitesimalen. Elke (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking gedraagt zich in het ervaren als een infinitesimaal. Ook de getalsom en het product van getallen is op een transparante manier afgeleid uit de veronderstelling van telbaarheid.

Een vectorsom van deze vectoren (bijvoorbeeld 1+x³) kan dan een nieuw symbool krijgen, en dit is een nieuwe entiteit, stel y. Dit is dan een meerdimensionaal telbare entiteit en kan dus eveneens een variabele intensiteit krijgen (bijvoorbeeld z(1+x³)), maar dan gerelateerd tot de keuze voor een specifiek aantal voor de entiteit x waarvan de relatie die door de veelterm uitgedrukt wordt de focus is.

Telkens als we een haakuitdrukking die kan geteld worden, als een nieuwe (en eventueel meerdimensionale) entiteit, bijvoorbeeld y, beschouwen kunnen we de relatie van x tot y en van y tot x ook noteren als y(x) of x(y). Het functie begrip codeert dus impliciet twee “dimensies” van telbare soorten: de soort x en de soort y. Het is de tweeledigheid van dat begrip dat even krachtig is als de tweeledigheid van de waardering van een haakuitdrukking.

Voorbeeld: de entiteit “parabool” (een bepaald soort relatie tussen intensiteiten (getallen x) van hetzelfde) in één dimensie wordt voorgesteld door x², met andere woorden: geeft men aan de entiteit “parabool” de naam y, dan wordt y gedefinieerd als y=x² en kunnen we x gaan beschouwen als x=y^1/2. De ene dimensie is dus y en de andere dimensie is x². In de symboliek van het haakformalisme zou dat genoteerd worden als y↔x² : overal waar y optreedt kan y vervangen worden door x² en overal waar x² optreedt kan x² vervangen worden door y. De relatie tussen de dimensie x en de dimensie x² herkennen we aan de typische kromming van de parabool.

Merk op dat we in het getallendomein het gelijkheidsteken gebruiken, en dat is goed zo. Want ↔ komt slechts in het speciaal geval dat er maar twee componenten zijn met = overeen. Bijvoorbeeld: hoewel de relatie x↔y overeenkomt met de relatie x=y in het getallen domein, toch komt de relatie x↔y↔z (die in het haakformalisme operationeel goed gedefinieerd is en voor een zeer complexe logische conjunctie kan staan waarin de inbedding van variabelen niet te vermijden is) zeker niet overeen met de relatie x=y=z in het getallen domein die voor een zeer eenvoudige logische conjunctie staat en die we bestuderen bij de studie van stelsels vergelijkingen.

Aangezien we nu twee entiteiten ter beschikking hebben kunnen we een parabool ook in twee dimensies voorstellen. Dit maakt het mogelijk een bepaald gedrag te modelleren en dus te voorspellen, bijvoorbeeld de baan van een ballistisch projectiel: men kan een geworpen projectiel slechts op bepaalde verschillende plaatsen waarnemen en de relatie hoogte en afstand kan men nu voorspellen omdat men de baan (een abstracte voorstelling) kan construeren en het projectiel spontaan het traject dat voorspeld werd zal volgen.

Eens men een tweede onderscheiding beschikbaar heeft, wordt dit inzicht in de mogelijke relaties tussen getallen met de reeds geïntroduceerde operaties verder uitbreidbaar naar veeltermen in twee variabelen. Want het is nu ook mogelijk geworden om x en y onafhankelijk van elkaar te beschouwen, men moet immers geen keuze maken voor een verband y(x) of x(y), of meer traditioneel voor een f(x) of g(y). Een relatie tussen twee variabelen kan men dan op een analoge manier een naam geven en zo een derde entiteit creëren die eveneens telbaar is, maar dan in nog meer dimensies, en samen met de twee andere in drie dimensies voorgesteld kan worden.

Nu kunnen we perfect begrijpen waarom de opspannende vectoren (x⁰, x¹, x², x³, ...,xⁱ, ...), die machten zijn van hetzelfde, ook met een andere scalair (een aantal) vermenigvuldigd kunnen worden, en dat de som van zo'n scalair gewogen vectoren een nieuw symbool kan krijgen.

Uiteraard wordt dit verder uitgebreid naar multinomen die dus scalair gewogen vectorsommen zijn in een ruimte maximaal opgespannen door de hoogst optredende macht (de orde van de polynoom).