Een haakuitdrukking met een 16-bitstring kan opgesplitst worden in een directe som van 8 twee-aan-twee orthogonale haakuitdrukkingen.

Uitbreiding van operatoren die met XNOR overeenkomen naar een 3-h universum kan volledig mechanisch uitgevoerd worden maar vereist een extensieve oplijsting van alle mogelijk volgorden (!) van koppels, en dit is een werk waar heel wat tijd inkruipt. Er is echter geen enkele twijfel mogelijk welke soort achttallen de operator eigenschappen vertonen.

Hieronder geven we de lijst die de nieuwe operatoren (kolom 1) definieert in functie van de spectrale decompositie in 8 haakuitdrukkingen, waarbij de laatste kolom de interpretatie geeft in een welgevormde haakvector voor het geval elke h_i enkel met een 1-bit opgevuld wordt:

We geven een voorbeeld van interpretatie van de operator: voor e₃(e₄) kijken we in de rij van e₃: de meest linkse positie geeft -h₇ en in de rij van e₄ vinden we op de zevende positie -h₆ die met het minteken dan h₆ wordt, en dit resultaat nemen we als meest linkse positie van de nieuwe bitstring. Als we zo alle operaties uitvoeren merken we dat de gegenereerde string niet te onderscheiden is van -e₆, zoals in de vermenigvuldiging tabel kan teruggevonden worden.

De haakuitdrukkingen in de laatste kolom maken duidelijk dat elke operatie tussen twee punten de uitvoering is van de XNOR van de beide punten, op voorwaarde dat die punten als operatoren gebruikt worden. Merk op dat XNOR symmetrisch is maar dat dit niet zo is voor de operatoren, met het voorbeeld: e₃(e₄) = -e₄(e₃). Het is hiermee ook duidelijk dat met de acht operatoren een tralie kan opgespannen worden die volledig isomorf is met de tralie van het drie-onderscheidingen universum.

We hebben de naam van de operatoren gekozen naar analogie met deze van de octonionen. We geven daarom de klassieke vermenigvuldigingstabel voor de octonionen: het resultaat van de inwerking van een operator in de n-de rij op een operator in de m-de kolom wordt in de overeenkomstige cel weergegeven (zie paper “The octonions” van John Baez 2002). Merk op dat deze maar op één cel een verschil vertoont met de lijst uit het haakformalisme: het kwadraat van e₃ is voor de tabel van het haakformalisme +1, terwijl dit voor de octonionen -1 is.

Dit betekent dat veel symmetrieën voor de octonionen overeenkomen met deze van het haakformalisme zolang <c•b•a> geen rol speelt. Dit betekent dat een projectieve benadering met <c•b•a> als centrum (enig uitgesloten punt) het haakformalisme kan terugvinden. Dit betekent ook dat afgeleiden als primitieven kunnen werken als de afgeleide van 1+e₃ het punt e₃ is, wat overeenkomt met de identificatie van e₃ met e^x met e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995..., het exponentieel getal, de basis van de natuurlijke logaritme.

We kunnen aantonen dat we een Clifford algebra kunnen reconstrueren in het haakformalisme en het is bekend dat de octonionen geen Clifford algebra zijn (zie artikel Baez).

Triality verder onderzoeken.