We leiden nu een van de Clifford algebras af uit het haakformalisme, namelijk H⊗H, waarbij H staat voor de algebra van de quaternionen. De Clifford algebra H⊗H heeft een basis van 7 eenheden, de set (1, i, j, k, I, J, K). Hierbij gelden de volgende relaties i2=j2=k2=-1, ijk=-1, I2=J2=K2=-1, IJK=-1.

We vertrekken hiervoor van de modellering van de quaternionen in het haakformalisme, en kiezen de set (1, f1, f2, f3).

Quaternion

Quaternion matrix

Kronecker product

Kronecker product matrix

Clifford basis component

Afbeelding in het haakformalisme

1

1⊗1

1

<<>>

f1

f1⊗1

k

b

1⊗f1

K

a

f2

f2⊗1

i

c

1⊗f2

I

b

-f3

-f3⊗1

j

<b•c>

1⊗-f3

J

<a•b>

De Clifford algebra H⊗H wordt dus gemodelleerd door de volgende voorwaarden te introduceren: twee verschillende matrices en dus twee verschillende basis componenten worden toegewezen aan de onderscheiding b en de basisvectoren a•c en a•b•c van het drie onderscheidingen universum worden niet gemodelleerd. De Clifford algebra H⊗H is dus niet in staat het volledige drie onderscheidingen universum te modelleren, maar wel een deel ervan.

We bewijzen nu dat dit deel een twee onderscheidingen universum is dat deel is van het drie onderscheidingen universum.

We vertrekken van de signatuuratomen in drie onderscheidingen

Signatuurstring

Haakvector

+xxxxxxx

<>⊕<a>⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<c•b•a>

x+xxxxxx

<>⊕a⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕c•b•a

xx+xxxxx

<>⊕<a>⊕b⊕<c>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕c•b•a

xxx+xxxx

<>⊕a⊕b⊕<c>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕<c•b•a>

xxxx+xxx

<>⊕<a>⊕<b>⊕c⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a

xxxxx+xx

<>⊕a⊕<b>⊕c⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕<c•b•a>

xxxxxx+x

<>⊕<a>⊕b⊕c⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕<c•b•a>

xxxxxxx+

<>⊕a⊕b⊕c⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕c•b•a

Aangezien twee basisvectoren ontbreken in de Clifford algebra H⊗H, construeren we nu de gecollapste haakvectoren die uit deze signatuuratomen kunnen afgeleid worden door het signatuur atoom met de gepaste vorm van de basisvector te sommeren:

Naam

Signatuurstring

Haakvector

h1

+xxxxxxx

+-+--+-+

+--+-++-

x+xx+-xx

<>⊕<a>⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<c•b•a>

⊕c•a

⊕c•b•a

<>⊕<a>⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>

h2

x+xxxxxx

-+-++-+-

-++-+--+

+xxx-+xx

<>⊕a⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕c•b•a

⊕<c•a>

⊕<c•b•a>

<>⊕a⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>

h3

xx+xxxxx

+-+--+-+

-++-+--+

xxx+xx+-

<>⊕<a>⊕b⊕<c>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕c•b•a

⊕c•a

⊕<c•b•a>

<>⊕<a>⊕b⊕<c>⊕b•a⊕b•c

h4

xxx+xxxx

-+-++-+-

+--+-++-

xx+xxx-+

<>⊕a⊕b⊕<c>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕<c•b•a>

⊕<c•a>

⊕c•b•a

<>⊕a⊕b⊕<c>⊕<b•a>⊕b•c

h5

xxxx+xxx

-+-++-+-

-++-+--+

+-xxx+xx

<>⊕<a>⊕<b>⊕c⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a

⊕<c•a>

⊕<c•b•a>

<>⊕<a>⊕<b>⊕c⊕<b•a>⊕b•c

h6

xxxxx+xx

+-+--+-+

+--+-++-

-+xx+xxx

<>⊕a⊕<b>⊕c⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕<c•b•a>

⊕c•a

⊕c•b•a

<>⊕a⊕<b>⊕c⊕b•a⊕b•c

h7

xxxxxx+x

-+-++-+-

+--+-++-

xx+-xxx+

<>⊕<a>⊕b⊕c⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕<c•b•a>

⊕<c•a>

⊕c•b•a

<>⊕<a>⊕b⊕c⊕b•a⊕<b•c>

h8

xxxxxxx+

+-+--+-+

-++-+--+

xx-+xx+x

<>⊕a⊕b⊕c⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕c•b•a

⊕c•a

⊕<c•b•a>

<>⊕a⊕b⊕c⊕<b•a>⊕<b•c>

Nu is de volgende afbeelding te construeren waarmee het maximaal aantal don't cares bereikt wordt en enkel de + signatuur:

Naam

Signatuurstring

Haakvector

h1⊕h2

++xxxxxx

<<>>⊕b⊕c⊕b•c

h3⊕h4

xx++xxxx

<<>>⊕<b>⊕c⊕<b•c>

h5⊕h6

xxxx++xx

<<>>⊕b⊕<c>⊕<b•c>

h7⊕h8

xxxxxx++

<<>>⊕<b>⊕<c>⊕b•c

Dit maakt duidelijk dat de Clifford algebra H⊗H een twee onderscheidingen universum opspant.

QED

Gevolg

Door een geschikte transformatie zijn alle inzichten rond de drie telbare dimensies hierop toe te passen. In de onderstaande tabel is een voorbeeld van transformatie uitgevoerd.

Haakvector in het (a), b, c universum

Haakvector met de vertaling

b→x•z; c→y•z

Resulterende haakvector in het x, y, z universum

<<>>⊕b⊕c⊕b•c

<<>>⊕x•z⊕y•z⊕x•z•y•z

<<>>⊕x•z⊕y•z⊕x•y

<<>>⊕<b>⊕c⊕<b•c>

<<>>⊕<x•z>⊕y•z⊕<x•z•y•z>

<<>>⊕<x•z>⊕y•z⊕<x•y>

<<>>⊕b⊕<c>⊕<b•c>

<<>>⊕x•z⊕<y•z>⊕<x•z•y•z>

<<>>⊕x•z⊕<y•z>⊕<x•y>

<<>>⊕<b>⊕<c>⊕b•c

<<>>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•z•y•z

<<>>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y



Nog bestuderen

https://nl.wikipedia.org/wiki/Clifford-algebra