We hebben aangetoond dat elke welgevormde haakuitdrukking als a₁•(<>⊕p₁)⊕a₂•(<>⊕p₂)⊕a₃•(<>⊕p₃) te noteren is. De termen (<>⊕p_i) zijn projectoren zodat we de conventie zullen volgen dat elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als a₁•e₁⊕a₂•e₂⊕a₃•e₃. Als we daarenboven veronderstellen dat de projectoren orthogonaal zijn met elkaar (en dus veronderstellen dat het uniek atoom dat geconstrueerd wordt uit een product van twee willekeurig gekozen projectoren ervaren is), dan kunnen we a₁, a₂, a₃ als de drie cartesiaanse coëfficiënten vanuit de gekozen oorsprong interpreteren. Deze kunnen dus een uniek punt in die projectieruimte representeren, punt dat genoteerd wordt als de array (a₁ a₂ a₃) en we hebben er expliciet op gewezen dat dit een array van structuren kan zijn in plaats van getallen.

Heel deze afleiding is gebeurd zonder dat iets meer verondersteld werd van de zes elementen van de uitdrukking, behalve dat ze welgevormde haakuitdrukkingen moeten zijn. We willen nu een expliciet verband leggen met een op voorhand gekozen onderscheidingen universum en dat kunnen we door de modulo3 bitstings te gebruiken en we zullen daarbij een eenvoudig voorbeeld op een didactische manier volledig uitwerken:

Het is gemakkelijk te controleren dat de projectoren onderling orthogonaal zijn maar niet elkaars orthogonale involutie zijn. Een willekeurig punt uit die ruimte kan dus als een som van de projectoren of hun inbedding weergegeven worden, wat met de relatie van relevantie in zijn algemene vorm kan uitgedrukt worden: (.xxx)⊕(x.xx)⊕(xx.x)⊕(xxx.)=(....)

Bovenliggende projectoren

We merken nu op dat de vier projectoren niet telbaar zijn: het zijn atomen en geen atoomburen. Dit betekent concreet dat de projectoren niet als entiteiten kunnen beschouwd worden en dus niet als dimensies. Om telbare dimensies te kunnen construeren gaat dit niet in het twee onderscheidingen universum, maar wel in het drie onderscheidingen universum, waarbij we een van de mogelijke voorbeelden geven:

Het is gemakkelijk te controleren dat de dimensies onderling wel orthogonaal zijn maar niet elkaars orthogonale involutie zijn.

Ook de projector die de orthogonale involutie van de projectoren is, is telbaar. Deze projectoren zijn onderling niet meer orthogonaal.

Onderliggende projectoren

Hiermee hebben we dus de tralies in een drie onderscheidingen universum geëxpliciteerd van de vectorproducten a•b, a•c en b•c die zich als onderscheidingen gedragen (die dus kunnen hercodeerd worden tot bijvoorbeeld A, B en C) en die samen drie verschillende twee onderscheidingen universa zullen genereren die onvermijdelijk met elkaar verbonden zijn: (a•b, a•c); (a•b, b•c) en (a•c, b•c). Dit is pas mogelijk vanaf een drie onderscheidingen universum. Tezelfdertijd illustreert dat ook dat een onderliggende welgevormde haakuitdrukking in de onderliggende projectoren niet aanwezig moet zijn. Bijvoorbeeld q is niet aanwezig in de drie projectoren waarin H kan uitgedrukt worden, zoals duidelijk is in H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>). Die onderliggende projectoren zullen we nu expliciteren in het drie onderscheidingen universum.

We baseren ons nu op de eerste rij en construeren de overeenkomstige onderliggende projectoren. Merk op dat we de dimensies een andere naam geven, behalve de referentie dimensie. De onderliggende projectoren hebben vier betekende bits.

Het is gemakkelijk te controleren dat het product van de projectoren gelijk is aan de gemeenschappelijke projector voor de drie assen <>⊕<h₁>.

De som van de projectoren is een orthogonale involutie van de gemeenschappelijke projector, namelijk [<>⊕h₁] die zelf een projector is, namelijk (x++++++x).

In het geval dat de gemeenschappelijke projector niet te onderscheiden is van de nulvector zijn de drie projectoren onderling orthogonaal, dat is dus in het geval <h₁> niet te onderscheiden is van <<>> (noteer dat h₁ in bitstring voorgesteld wordt door (+------+) en dus dat h₁ niet onderscheiden wordt van <> wordt uitgedrukt door (x++++++x)). We realiseren dat door het product te nemen van elke projector met de gecollapste gemeenschappelijke projector.

Op een gelijkaardige manier kunnen we deze oefening voor de drie andere gecollapste atoomburen uitvoeren.

Gevolgen

Er is voor de drie deeluniversa die op dezelfde vectorproducten gebouwd zijn een gezamenlijk nulpunt. We kunnen de relatie tussen die universa onderzoeken door de gecollapste atoomburen die daartoe aanleiding geven van elkaar af te trekken en we kunnen op die manier nog meer symmetrieën expliciteren bij de “bovenliggende projectoren”.

De volgende sommen maken de relatie duidelijk met de orthogonale involutie van de vectoren:

De orthogonale involutie van de vectoren zijn terug om te zetten naar orthogonale vectoren:

De bovenliggende dimensies <>⊕h₂, <>⊕h₃, <>⊕h₄ zijn onderling orthogonaal en ook idempotent en dus de eenheid van een ruimte die we “een as” kunnen noemen. We herinneren eraan dat de gebruikte symbolen een relatieve betekenis hebben, we kunnen immers ook de volgende vertaling uitvoeren: a•b↔C, a•c↔B, b•c↔A, waarbij dan ook geldt dat A•B↔C, A•C↔B, B•C↔A. We kunnen dat interpreteren als de duale naamgeving “as” en “vlak” die eveneens relatief zijn ten opzichte van elkaar.