Het twee onderscheidingen universum kan TWEE isomorfe afbeelding krijgen met 4 verschillende operatoren van het 2-splitsing universum, een set die de normale regels van Hamilton volgt, en een set die de reverse regels van Hamilton volgt. We geven de volgende één-op-één vertaling:

We rekenen nu de volgende tabel van gecollapste atomen uit die voldoende zijn om de hele tralie op te spannen door geschikte modulo 2 sommen te maken:

Hiermee is de volledige tralie op te bouwen zowel met operatoren die de reverse regels van Hamilton volgen als operatoren die de normale regels van Hamilton volgen.

Bijvoorbeeld met reverse regels

(x+xx)∼(+1+k-j-i)

(xx+x)∼(+1-k+j-i)

(-xxx)∼(-1+k+j-i)

(xxx-)∼(-1-k-j-i)

Som:

(-++-)∼(-4i)∼(-i)

We merken op dat normalisatie niet anders is dan een modulo 2 som.

We stellen de tralie dus als volgt voor:

Niveau 4

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

We geven nog een voorbeeld met de reverse regels van Hamilton:

De gecollapste vorm van H, namelijk <>⊕<H>, komt overeen met de geconjugeerde in matrix vorm, vandaar de naamgeving H_c. Het product H.H_c=(1-k-j+i)(+1+k+j-i)=(+1+k+j-i-k+1-i-j-j+i+1+k+i+j-k+1)=4 komt, mits normalisatie die in dit geval niet anders is dan een modulo 2 som, overeen in het haakmodel met het kwadraat van de meest linkse bit.

Gevolgen

De zeven orthogonale idempotente basissen van elk lokaal universum ([(<>⊕<b•a>), (<>⊕b•a)]; [(<>⊕<a>), (<>⊕a)]; [(<>⊕<b>), (<>⊕b)]; [(<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>), (<a>⊕b⊕a•b]; [(<<>>⊕a⊕b⊕a•b), (<a>⊕<b>⊕<a•b>)]; [(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b), (a⊕b⊕<a•b>)]; [(<<>>⊕<a>⊕b⊕<a•b>), (a⊕<b>⊕a•b)]) kunnen als operatoren uitgedrukt worden. Merk de analogie met de orthogonaliteit van <>⊕h en <>⊕<h> als h als één onderscheiding beschouwd wordt.

Hieronder de volledige tabel met de overeenkomstige orthogonale basissen voor de reverse Hamilton vorm:

Merk de rol op van de geconjugeerde bij de orthogonaliteit. Hier zien we dus een 1-splitsing van orthogonale punten. De splitsing is voor elk punt anders en leidt tot 7 verschillende tralies voor één welgevormde haakuitdrukking.

We berekenen nu een aantal matrix producten, dat zijn producten waarin de gewone getalvermenigvulding optreedt, niet de modulo 3 vermenigvuldiging.

Voor de orthogonale punten op uiterste niveau geldt (+xxx)(x+++)=(x+++)(+xxx)=3+(x+++)=-(-3)²+(x+++)=-(x+++)²+(x+++)

Er geldt ook voor hetzelfde gecollapste punt: (1+(x+++))(x+++)=(+---)(x+++)=(-3)+(x+++)=(x+++)²+(x+++). het matrix product is distributief.

Voor de punten op centraal niveau geldt (+x+x)(x+x+)=(x+x+)(+x+x)=2

Er geldt ook voor hetzelfde gecollapste punt: (1+(x+x+))(x+x+)=(+-+-)(x+x+)=(-1)+(x+x+)=(x+x+)+(x+x+)²=(x+x+)+2(-+-+)

Voor de punten op centraal niveau is het matrix product A*B=B*A en gelijk aan -1

Voor de punten op het uiterste niveau is het matrix product A*B=B*A en gelijk aan de spoorloze matrix.

Wanneer +1 bijgeteld wordt bij de vier eerste spoorloze orthogonale matrices worden de vier OR-atomen bereikt van het twee onderscheidingen universum, met hun inbedding als AND-atomen, die uiteraard ook bereikt worden door +1 bij te tellen bij de operator die overeenkomst met hun gecollapste matrices.

Er is nog een andere symmetrie waarneembaar die in de volgende tabel voor de reverse Hamilton operatoren weergegeven wordt. De som in bitstring die gelijk is aan <> komt in matrix model overeen met 2.

Merk op dat er maar acht verschillende operatoren zijn die door hun invers met elkaar gerelateerd zijn. Elk van deze operatoren heeft dan nog eens zijn inbedding zodanig dat we hiermee 16 operatoren beschrijven. Inversen zijn gerelateerd doordat potentiële en gecollapste haakvectoren met elkaar verbonden zijn door de <>⊕h constructie.

Voor zowel de normale als de reverse Hamilton set (1, i, j, k) is de matrixvermenigvuldiging gesloten. Beide sets zijn daardoor gescheiden. De matrixvermenigvuldiging is associatief en heeft een eenheidselement. Dit betekent dus dat we een groepsstructuur, namelijk de quaternion groepsstructuur, in het haakformalisme kunnen modelleren door geselecteerde potentiële en gecollapste punten met elkaar te relateren. Met operatoren van beide sets kunnen we een delingsalgebra ontwikkelen.

Besluit

Met het haakformalisme zijn we in staat om alle logisch te interpreteren relaties als een matrix voor te stellen waarbij de matrices met elkaar gesommeerd worden, en dat op twee manieren. Tevens maakt dit duidelijk dat hetzelfde evenzeer mogelijk is met quaternionen.