Het model voor het haakformalisme als splitsing universum introduceert het concept van “operaties” op ongekende structuren. Dit brengt met zich mee dat er een operatie te definiëren is waarbij het resultaat niet verschillend is van de ongekende structuur vanwaar men vertrok. Die operatie hebben we de identiteitsoperatie genoemd en wanneer we de operaties als matrices konden voorstellen bleek de identiteitsoperatie door de identiteitsmatrix gemodelleerd te worden.

Het gevolg hiervan is dat we moesten vaststellen dat er operaties zijn die elkaars invers zijn voor wat betreft het operatie product (de matrix vermenigvuldiging). Wanneer we de tralie van het haakformalisme modelleerden in het 1-splitsing universum bleek welke specifieke plaats een delingsalgebra zou kunnen krijgen, een algebra dus waarvan we zouden willen eisen dat de deling (het invers ten opzichte van de eenheid) altijd zou gedefinieerd zijn. Hierbij bleek dat dit leidt tot gecollapste haakuitdrukkingen.

We illustreren nu hoe een delingsalgebra op te bouwen is met de som van (al dan niet gecollapste) operatoren en hoe dit kan gerelateerd worden tot de constructie van een tralie in het 2-splitsing universum. We gebruiken hiervoor twee willekeurige operatoren uit het 2-splitsing universum die elkaars invers zijn: A (af te beelden in reverse Hamilton vorm met zijn bitstring x+xx) met zijn inverse A-1 (af te beelden in reverse Hamilton vorm met zijn bitstring -+--).

∼ (x+xx)

∼ (-+--)

We merken op dat A=<>⊕<A-1> en dat de conjunctie van beide gegeven wordt door A∼(x+xx) en de disjunctie door A-1∼(-+--).

De volgende zes operatoren beelden we af op de punten van het centraal niveau van een twee-onderscheidingen universum alsof we hiermee een tralie zouden willen opbouwen:

∼ (x+xx)•(-+--)=(x+xx)

∼ (x+xx)•(+-++)=(x-xx)

We berekenen als tussenstap:

A+A-1=-1 ∼ (x+xx)⊕(-+--)=(----)

<A>+<A-1>=+1 ∼ (x-xx)⊕(+-++)=(++++)

∼ (x+xx)⊕(+-++)=(+x++) en dit is de projector van A-1, namelijk <>⊕A-1

∼ (x-xx)⊕(-+--)=(-x--) en dit is <>⊕A

Vanuit centraal niveau berekenen we met de algemene formule voor AND <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y de vier AND-atomen die met die punten op centraal niveau zouden kunnen verbonden worden, hierbij veronderstellen we dat <<>> staat voor de eenheidsmatrix 1 en x•y door een matrix vermenigvuldiging kan gemodelleerd worden (dit kan enkel wanneer x en y dezelfde waarde hebben en het creatief product, dat door het matrix product gemodelleerd wordt, ook associatief is):

(-1)+<A>+<A-1>+A•A-1=(-1)+(+1)+(+1)=(+1) ∼(++++)

(-1)+A+<A-1>+<A•A-1>=(-1)+A+<A-1>+(-1)=A-1∼(-+--)

(-1)+<A>+A-1+<A•A-1>=(-1)+<A>+A-1+(-1)=A∼(x+xx)

(-1)+A+A-1+A•A-1=(-1)+(-1)+(+1)=(-1)∼(----)

We merken dus op dat dit geen volwaardige AND-atomen zijn, maar dat het resultaat kan afgebeeld worden op een gecollapste tralie die door A bepaald wordt (die in zijn afbeelding als bitstring gecollapst is) en waarvan A-1 (die in zijn afbeelding als bitstring potentieel is) de grootte bepaalt, de overblijvende punten zijn dus (x+xx) en (x-xx). De conjunctie van de enig overblijvende punten is dus (-+--) of dus A-1 en de disjunctie is daar de inbedding van, namelijk (+-++). Als we de collaps niet uitvoeren dan moeten we de conjunctie berekenen van A-1∼(-+--) en A∼(x+xx) en dat geeft (x+xx) en de disjunctie (-+--).

In matrices wordt de conjunctie echter gegeven door (-1)+<A>+<A-1>+A•A-1=(-1)+(+1)+(+1)=(+1). De disjunctie van beide wordt gegeven door (+1)+<A>+<A-1>+<A•A-1>=(+1)+(+1)+(-1)=(+1) en is dus niet verschillend van het supremum.

Vanuit centraal niveau berekenen we met de algemene formule voor OR <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>

(+1)+<A>+<A-1>+<A•A-1>=(+1)+(+1)+(-1)=(+1)

(+1)+A+<A-1>+A•A-1=(+1)+A+<A-1>+(+1)=<A>

(+1)+<A>+A-1+A•A-1=(+1)+<A>+A-1+(+1)=<A-1>

(+1)+A+A-1+<A•A-1>=(+1)+(-1)+(-1)=(-1)

We merken dus ook hier op dat het resultaat kan afgebeeld worden op een gecollapste tralie met enige punt <A> en waarvan <A-1> de grootte bepaalt. Het infimum van beide wordt gegeven door hun OR en dit is (+1)+<<A>>+<<A-1>>+<A•A-1>=(+1)+(-1)+(-1)=(-1). Het supremum van beide wordt gegeven door hun AND en dit is (-1)+<<A>>+<<A-1>>+A•A-1=(-1)+(-1)+(+1)=(-1) en is dus niet verschillend van het infimum.

Besluit

Ondanks het feit dat in beide gevallen vier elementen gegenereerd worden, kunnen we niet spreken van een tralie die op een logische manier kan geïnterpreteerd worden aangezien deze interpretatie slechts drie punten van de vier kan genereren. De oorzaak die hierin aan de basis ligt is de matrix vermenigvuldiging die we gebruikten om operatoren met elkaar te relateren als elkaars inverse. De veronderstelling die daarvoor moest gemaakt worden is dat <<>> staat voor de eenheidsmatrix 1 en x•y door een matrix vermenigvuldiging kan gemodelleerd worden en dit kan enkel wanneer x en y dezelfde waarde hebben en het creatief product, dat door het matrix product gemodelleerd wordt, daardoor ook associatief is zoals een matrix product associatief is. Het is exact die voorwaarde die we nodig hebben om te kunnen tellen. Dit betekent dus dat A-1∼(-+--) en A∼(x+xx) enkel maar door hun enige relevant bit, die inderdaad dezelfde waarde heeft, kan voorgesteld worden wanneer we met de klassieke vermenigvuldiging matrices willen gebruiken.

Dit heeft verstrekkende gevolgen en betekent bijvoorbeeld dat metingen (het rekenen met getallen) enkel aan gecollapste tralies kunnen gebeuren zoals de kwantum mechanica ons heeft doen besluiten.