Uit de studie van tabellen die alle combinaties lijsten van testen op de aanwezigheid van gekozen symbolen, kunnen we besluiten dat "alle" op twee manieren gebruikt wordt in uitdrukkingen in de standaard taal.

Ofwel wordt “alle” verbonden met een eis (dus “moeten”), ofwel met een mogelijkheid (dus “kunnen”, wat we ook een keuzevrijheid noemen). In het eerste geval is de waarde van een uitdrukking niet bepaald tenzij alle constituerende symbolen een waarde kregen, in het tweede geval is de waarde van een uitdrukking al bepaald voor minstens een symbool, maar dat geldt dan voor alle symbolen. In het eerste geval moeten alle onderscheidingen “van het relevante repertorium”, “van de beschouwde verzameling”, “van het discussiedomein” gekend zijn, indien de uitdrukking moet ervaren zijn, en dat is bij een keuzevrijheid niet zo. Daar tegenover staat dat, willen we de uitdrukking laten gebeuren “niet alle” van de eis gekend moet zijn, de mogelijke “alle” echter wel. De verwarring in het gebruik van “alle” in de standaard taal heeft dus te maken met de eis voor relevantie en de klassieke verzameling leer is gebouwd op de veronderstelling dat alle symbolen van een repertorium relevant zijn.

Dit betekent dat we hier twee repertoria aan symbolen moeten beschouwen:

• het repertorium van de potentiële, genoteerde, relevante onderscheidingen waarmee we een beperkt universum willen aangeven dat we hieronder gaan bespreken

• het repertorium van onderscheidingen die mogelijk te bedenken zouden zijn maar die allemaal reeds een waarde toegewezen kregen (<> of <<>>) en daardoor niet meer als onafhankelijk, of mogelijk te onderscheiden van elkaar, kunnen beschouwd worden.

We demonstreren de potentiële onderscheidingen met drie tabellen. In de tabellen drukken we in de standaard taal uit onder welke voorwaarden de haakuitdrukkingen in de eerste kolom de waarde hebben die aangegeven is de kolomkop. We gaan er dus van uit dat we alle symbolen van een relevant beperkt universum kennen, noteren en gebruiken.

De eerste tabel is al gekend, de tweede tabel maakt al meer abstractie van de waarde van de constituerende symbolen, de derde tabel trekt die abstractie nog verder door en daar introduceren we een patroonnotatie die we ook verder kunnen gebruiken onder de voorwaarden die we daar bespreken. Zo kunnen we duidelijk maken dat we eigenlijk twee patronen tegenover elkaar stellen: het patroon voor een eis (moeten) die een onderscheidingen universum inperkt, versus het patroon voor een mogelijkheid (mogen) die geen enkele inperking oplegt aan een onderscheidingen universum.

In de tweede tabel gaan we over naar een volgende abstractie

Met deze tabel tonen we aan wat de relatieve invloed is van de manier waarop een onderscheiding genoteerd wordt en de invloed op de waarde van een uitdrukking. ∀x moet de waarde bekend zijn om de waarde de kennen van de uitdrukking, maar dat is afhankelijk van hoe de x genoteerd wordt. Inderdaad: formeel is het altijd mogelijk om een <x> te vervangen door een y, waarbij dus geldt dat x↔<y> en dus xy↔<>. Dit betekent concreet dat een n-onderscheidingen universum nu opgespannen wordt door 2n symbolen en n randvoorwaarden: het op een spontane manier collapsen van n twee-aan-twee nevenschikkingen. Met een voorbeeld: een twee-onderscheidingen universum wordt opgespannen door 4 symbolen, stel a, b, c, d, waarbij 2 nevenschikkingen de waarde <> hebben, stel ab↔<> en cd↔<>.

Om dit duidelijk te kunnen aangeven in de uitspraken in de standaard taal in de tabel zijn de begrippen “noodzakelijk” en “voldoende” essentieel.

Dit toont nog eens de unieke kracht van het haakformalisme waarin de formele afspraak duidelijk wordt om “iets anders dan a” toch in functie van a te noteren.

Hiermee hebben we de welgevormde haakuitdrukkingen opgebouwd die ons toestaan het begrip “verzameling” in de standaard taal operationeel te gronden als de keuze voor een relevant repertorium aan symbolen waarvan de eis soms is dat ze allemaal getest zijn (zie het uitsluiten van collapsen).

Tezelfdertijd hebben we een operationele definitie voor de kwantificering, zowel ∀ (voor alle, elk) als ∃ (er is een, minstens één) die niet meer verwarrend is. We hebben laten zien hoe “er is een” verbonden is met een mogelijk groter repertorium van symbolen waarvan er een aantal echter een waarde toegekend gekregen kunnen hebben en daardoor niet relevant zijn. We hebben tevens aangetoond dat die kwantificering enkel operationeel gebruikt kan worden als men die verbonden ziet met de waarde van een welgevormde haakuitdrukking. Door de didactische opbouw van de drie tabellen hebben we laten zien dat een patroonnotatie het mogelijk maakt om abstractie te maken van het kennen van de vorm van een individuele onderscheiding, wat als consequentie heeft dat het aantal symbolen die gebruikt worden groter wordt dan noodzakelijk.

Zo hebben we heel transparant twee klassieke begrippen met elkaar verbonden: zowel het begrip “atoom” (bij voorbeeld zoals gebruikt in de eerste orde logica) als het begrip “toestand” (volledige beschrijving van een systeem in functie van al zijn parameters). Beide hebben in het haakformalisme een dubbele interpretatie: het patroon voor een eis (moeten) die een onderscheidingen universum inperkt in het ervaren maar niet in het gebeuren, versus het patroon voor een mogelijkheid (mogen) die geen enkele inperking oplegt aan een onderscheidingen universum in het ervaren maar wel in het gebeuren.

Vanaf nu hebben we ook de instrumenten om het redeneren in het haakformalisme expliciet en transparant te representeren. Het redeneren zal kunnen opgebouwd worden op basis van een eis (logische AND) en een mogelijkheid (logische OR).

We hebben dus niet méér nodig dan twee patronen: <x_i> versus x_i. Dit vereist verhoogde waakzaamheid, immers de uitdrukking dat a niet verschillend is van <<a>> wordt in het eerste geval uitgedrukt als <x_i> die niet verschillend is van <<<x_i>>>, maar in het tweede geval wordt dat x_i die niet verschillend is van <<x_i>> en dit is niet verschillend van <<x>>_i maar wel verschillend van <<x>_i>.

De i staat voor een symbool dat naar een aantal verwijst. Vanaf nu kan het niet anders dat we in parallel ook de getallen in het haakformalisme introduceren. We kunnen alles, en dus ook getallen als symbolen gebruiken, maar dan moeten we expliciet onderzoeken welke structuur men impliciet veronderstelt bij de symbolen die voor getallen gebruikt worden (die door hun eeuwen lang succesvol gebruik “onbewust” in onze werkelijkheid gestructureerd zijn).

Maar stel x_i↔P, dan hebben we dus niet méér dan het basispatroon van een onderscheiding nodig: <P> versus P. Hierin kan zowel P als <P> de focus zijn wat operationeel betekent dat als we het onderscheidingen universum van P in het ervaren kennen, we het onderscheidingen universum van <P> slechts gedeeltelijk kunnen kennen, en omgekeerd: als we het onderscheidingen universum van <P> kennen, we het onderscheidingen universum van P slechts gedeeltelijk kunnen kennen. Het aantal onderscheidingen (en dus het aantal mogelijke relaties) van een van de focussen is dus te tellen, en dan moet men besluiten dat het aantal onderscheidingen van de andere focus in principe telbaar is maar zeker groter is dan de getelde focus. Dit verschil gebruiken we als de basis voor de bewust stuurbare verandering van representatie die met divergentie versus convergentie aangeduid wordt.