Analytische modellen worden dikwijls uitgedrukt in de de vorm van differentiaal vergelijkingen. Hierbij worden ook koppels getallen gebruikt (x, f(x)) die de (eerste) afgeleide berekenen van de functie “f van x” naar x. Men neemt dan de koppels (x+dx, f(x+dx)) van een getal verschillend van x en “op extreem kleine afstand dx” van x (een afstand is een geometrisch concept dat hier enkel verwijst naar een zeer klein verschil tussen twee getallen). Dus hier is de veronderstelling dat x en x+dx elkaar uitsluitende punten zijn (wat niet noodzakelijkerwijze geometrisch moet geïnterpreteerd worden, geometrische punten zijn gewoon een voorbeeld van elkaar uitsluitende punten zoals stappen in een proces die niet simultaan kunnen voorkomen, toestanden in een bepaald universum). Het zijn elkaar uitsluitende punten om de som x+dx betekenis te kunnen geven want enkel onder die veronderstelling kunnen en mogen we tellen.

Men definieert dan de afgeleide naar x als de getalverhouding f’(x)=(f(x+dx)-f(x))/dx of dus f’(x)dx=f(x+dx)-f(x) of dus f(x+dx)=f(x)+f’(x)dx. Hierbij moet dx zeer klein zijn, maar niet gelijk aan nul. Hier zien we een verschil van twee getallen en ook dit heeft alleen maar zin als die getallen elkaar uitsluiten.

Met deze definitie berekenen we nu de afgeleide naar m van de functie g^m, namelijk (g^m+dm-g^m)/dm. Dit is (g^m×g^dm-g^m)/dm en dus g^m×(g^dm-1)/dm. Nu merken we op dat we de vrije keuze hebben van de waarde van dm “als we die maar klein genoeg kiezen” op voorwaarde dat we g verschillend van 1 kiezen. We moeten dus kiezen voor een g=(1±k) met k klein en verschillend van nul. Dus de term (g^dm-1)/dm is een “vrij” gekozen getal, onafhankelijk van m, enkel afhankelijk van onze keuze voor g op voorwaarde dat we g verschillend van 1 kiezen. Dat getal noemen we ln(g). De functie ln staat voor de natuurlijke logaritme en elk positief getal heeft zo’n natuurlijke logaritme. Als vrij gekozen getal komt dit overeen met de keuze voor een schaal. Blijkbaar kunnen sommige fenomenen enkel maar gemodelleerd worden als we de schaal zeer klein of zeer groot nemen (voor dm zeer klein betekent dat dm niet verschillend is van 1/M met M zeer groot). Klein of groot is dan gemeten ten opzichte van de waarnemingsresolutie van onszelf samen met onze meetinstrumenten, dus de grens waarbij we geen verschil meer kunnen maken dat een verschil maakt en waarbij we (moeten) zeggen dat twee aspecten identiek zijn.

Langs het begrip “nilpotent” voor de operatie vectorvermenigvuldiging, tonen we aan dat die vrij te kiezen infinitesimalen dm niet anders zijn dan (al dan niet welgevormde) haakuitdrukkingen omdat we kunnen uitdrukken dat ze onmogelijk te ervaren zijn en als zodanig zijn ze dus ook aspecten of onderscheidingen en ze hoeven geen entiteiten te zijn. Voor analytische modellen betekent dit dat het niet a priori duidelijk is welke eenheden gehanteerd moeten worden om de correcte intensiteiten te kunnen berekenen die met zekerheid waargenomen zullen worden. Dat geeft dan aanleiding tot verschillende numerieke methoden om analytische modellen te benaderen met “gewogen” stappen (bijvoorbeeld de Euler methode, Runge-Kutta en andere lineaire multi-stap methodes). De correcte schaal is dan gevonden wanneer er geen verschil meer is met de resolutie van de waarneming.

De (eerste) afgeleide naar m van het getal g^m is dus ln(g)×g^m. Dit getalproduct is commutatief dus we kunnen g^m interpreteren als de intensiteit van de eenheid ln(g), maar evengoed ln(g) interpreteren als de intensiteit van de eenheid g^m. Dat is een opmerkelijke interpretatie die we als volgt inzien: we zijn gewoon een eenheid als invariant te beschouwen en een intensiteit als variant, maar nu nemen we de eenheid als variant (de eenheid is g^m en is dus afhankelijk van m, de eenheid is een functie van m en de typische interpretatie van m is dat dit de variant is) en de intensiteit als invariant (immers ln(g) is een constante, een invariant, onafhankelijk van m maar afhankelijk van het grondtal g, die we nu kiezen als schaal en niet meer veranderen, een constante waarde in de functie g^m). De grondtallen stellen we dan voor als (1±k). Om g^m betekenis te geven moet g verschillen van 1 (zoals bijvoorbeeld een priemgetal), dus moet g minstens een volwaardig dubbelgetal zijn (een voorbeeld van een 1-splitsing). Hier zien we de vrije keuze van schaal als g_i, elke g_i heeft een eigen intensiteit ln(g_i) en dus ln(1±k_i). De afgeleide ln(g)×g^m bevindt zich immers op atoombuurniveau (zoals elke afgeleide naar een laatst toegevoegde onderscheiding) en kan dus geteld worden en stellen we in het algemeen voor als <g_m-1><<g>_m-1>, een vorm die de laatst toegevoegde onderscheiding m niet meer vermeldt. Dit is een welgevormde haakuitdrukking in het getallendomein. Er geldt in het getallendomein dat de afgeleide naar m, <g_m-1><<g>_m-1>, een kwadraat is. In het getallendomein geldt ook dat de afgeleide naar m van (<g>⊗g)_m gelijk is aan 1. Nu geldt dat (<g>⊗g)_ℵ=m•<g> ∼ g^-m, een product in de exponent is de korte notering voor een som van de eenheid 1 in de exponent (g^-m is dus niet anders dan 1/g×1/g×1/g×… en dat m maal). De term (<g>⊗g)_m is de “functie van m” die geïntegreerd wordt (de integrand) in een bepaald interval (bijvoorbeeld voor de intensiteiten tussen m=0 en m=1) waarbij alle punten van het interval elkaar uitsluiten. De integrand (<g>⊗g)_m is niet verschillend van (g⊗<g>)_<m>. Voor elke exponentiële functie kan men een grondtal kiezen en dat getal is dan de eenheid, de invariant. Het grondtal is de vrije keuze van schaal.

Zijn er verschillende grondtallen nodig dan zijn er altijd vier te vinden die voldoen, want elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden in het formaat van een som van vier welgevormde haakuitdrukkingen. We schrijven dus: (<g₁>⊗g₁)_m⊕(<g₂>⊗g₂)_m⊕(<g₃>⊗g₃)_m⊕(g₄⊗<g₄>)_m en dit is niet anders dan m•<g₁>⊕m•<g₂>⊕m•<g₃>⊕m•g₄ of dus m•(<g₁>⊕<g₂>⊕<g₃>⊕g₄) met de term tussen haakjes in het 3&1 formaat. Maar natuurlijk heeft dat ook zijn duaal en dat zullen we nu construeren.

Er bestaat immers een getal waarbij de afgeleide van g^x gelijk is aan 1×g^x, dat is het getal e en dus is ln(e) gelijk aan 1. Dat is een unieke keuze van schaal die in het haakformalisme (dus ook buiten het getallendomein) door gelijk welke welgevormde haakuitdrukking kan ingenomen worden, en dus niet uniek hoeft te zijn. We merken immers op dat er altijd geldt dat m•(<>⊕<m>) dezelfde waarde heeft van (<>⊕<m>). Dus m kunnen we interpreteren als de intensiteit van de eenheid (<>⊕<m>), intensiteit die gelijk is aan 1. We merken nu op dat m•(<>⊕<m>) niet anders is dan de afgeleide naar m van (m⊗(<>⊕<m>))_m=<>⊕<m>. Dus uitdrukking en afgeleide hebben dezelfde waarde zoals bij e^x. De afgeleide is m•(<>⊕<m>) en heeft dezelfde waarde van (<>⊕<m>). Als m een getal is, dan is <>⊕<m> een dubbelgetal en als we m kunnen kiezen, dan zijn er <m> die we niet kunnen kiezen.

Indien we m gelijk aan (e+1) kiezen (wat we enkel met een beperkt aantal cijfers kunnen doen) dan moet <m> een niet te kiezen getal zijn, dit is het unieke getal (e+1)^-1=0,268941421..., op dezelfde manier beperkt in cijfers als e. Indien we m gelijk aan (e-1) kiezen met (e-1)=1,718281828459... is (e-1)^-1=0,581976707...

Wanneer we nu, zoals klassiek in de wiskunde gedaan wordt, kiezen voor het ene getal e als de eenheid dan zullen we vier “laatst toegevoegde getallen m” vinden en het duaal van de uitdrukking m•(<g₁>⊕<g₂>⊕<g₃>⊕g₄) is dan ln(e)•(<m₁>⊕<m₂>⊕<m₃>⊕m₄) met de term tussen haakjes in het 3&1 formaat die dan als exponent genomen wordt van het getal ln(e)=1, wat natuurlijk niet anders is dan 1. Klassiek modelleren we enkel de eenheid 1.

De keuze m•(<>⊕<m>) is natuurlijk een speciaal voorbeeld van het algemene H•(<>⊕<h>) waarin we H hebben kunnen interpreteren als de coëfficiënt van een orthogonale basisvector.