In het getallendomein kunnen we het verschil tussen eenheid en intensiteit modelleren door een tralie op te spannen met priemgetallen en door intensiteiten te modelleren als exponenten. Dit is mogelijk omdat machtsverheffing de eigenschappen heeft van het creatief product. Met behulp van het creatief product kunnen we nu ook modelleren dat de laatste toegevoegde onderscheiding ℵ ofwel ingebouwd wordt in de tralie, ofwel niet ingebouwd wordt.
Het creatief product van x en y is als een nevenschikking van nevenschikkingen als volgt gedefinieerd: <a<x>><<a><y>>. We zullen nu aantonen hoe getallen als eenheden gemodelleerd worden door specifieke creatieve producten met een laatst toegevoegde onderscheiding.
Er geldt wanneer ℵ ingebouwd wordt: (<gn-1>⊗<g>n-1)ℵ ∼ <ℵgn-1><<ℵ><g>n-1> ∼ <gn><<g>n>. Dat creatief product is dus een nevenschikking van nevenschikkingen. De ene eenheid van dit creatief product is <gn-1> en de andere eenheid is <g>n-1. We veronderstellen dat een nevenschikking niet verschillend is van een getalproduct wanneer alle getallen elkaar uitsluiten. Er geldt dan immers dat <gn><<g>n> ∼ <gn>•<<g>n>. Dat is dus de vrije keuze die we hebben voor de getallen. Dat wordt duidelijker met een voorbeeld: voor drie priemgetallen is de ene eenheid <gn> en dus 1/g1×g2×g3 en de andere eenheid is <g>n en dus 1/g1×1/g2×1/g3. Die zijn dus identiek met als gevolg dat (<gn-1>⊗<g>n-1)ℵ ∼<gn><<g>n> niet anders is dan het getalproduct (1/g1×g2×g3)×1/(1/g1×1/g2×1/g3) en dit is niet anders dan het getal 1. Dat is uiteraard niet anders dan 1±ℵ voor gelijk welke ℵ (bijvoorbeeld: een van de gn). We zien hiermee dat een laatst toegevoegde onderscheiding die ingebouwd wordt “als intensiteit” onzichtbaar wordt omdat het “deel geworden is van de eenheid”.
De afgeleide naar ℵ is het product van de termen van (<gn-1>⊗<g>n-1)ℵ en is dus niet anders dan het kwadraat van de eenheid, eenheid die hier een product is van inverse priemgetallen of “krommingen”. Een kwadraat modelleert de keuzevrijheid om de eenheid als positief getal of als negatief getal te beschouwen, inderdaad g2 is niet anders dan (+g)×(+g) of (-g)×(-g). Wanneer we de eenheid <gn> noteren als h, dan is dit creatief product niet anders dan (h⊗h)ℵ. Dit is niet anders dan h, maar een h die uitgedrukt wordt in een bepaalde grootte van universum, wat het gemakkelijkst in te zien is met bitstrings: de bitstring die h representeert moet herhaald worden tot het maximum 2ℵ bereikt is, met ℵ het laatst toegevoegde en dus grootste product van priemgetallen, niet als getalwaarde maar als aantal priemgetallen.
Hier zien we hoe een onderscheiding ingebouwd wordt in de tralie doordat we veronderstellen dat het een priemgetal is, in het voorbeeld is n=3, we hebben 3 priemgetallen nodig en een van die priemgetallen is het laatst toegevoegde. We hebben daar de vrije keuze in, maar als we kiezen dan nemen we het grootste product van priemgetallen omdat dit dan de kleinere impliceert voor de operatie getalsom en getalproduct. Dit is een belangrijk onderscheid want enkel het product van de drie priemgetallen impliceert alle gekozen priemgetallen voor zowel getalsom als getalproduct. De tralie die opgespannen wordt door drie atomen (niet onderscheidingen) die drie priemgetallen zijn verschillend van 1, namelijk g1, g2 en g3 heeft een duale tralie met andere eenheden en die wordt ook opgespannen door drie atomen, namelijk 1/g1, 1/g2 en 1/g3. Het laatst toegevoegde priemgetal (en we kunnen vrij kiezen welk priemgetal we hiervoor gebruiken) is hier een eenheid en geen intensiteit. De laatst toegevoegde onderscheiding als priemgetal (en niet enkel als product) vinden we fractaal gedistribueerd in de hele tralie en enkel op de oneven niveaus en we hebben een keuze welk van de drie we hiervoor selecteren. Drie priemgetallen spannen 8 eenheden op van het type (h⊗h)ℵ. In het getallendomein is dit dan niet anders dan 1±ℵ. Een ingebouwde eenheid is onzichtbaar. Dit geeft betekenis aan de procedure van normalisatie: we hebben een vrije keuze van eenheid en dus een vrije keuze van schaal en dat individueel voor de 8 eenheden die door drie priemgetallen opgespannen worden. Wanneer alle eenheden van de volledige tralie dezelfde intensiteit krijgen zien we dubbelgetallen ontstaan.
Het specifiek creatief product (<gn-1>⊗gn-1)ℵ=ℵ•<gn-1> is de modellering van een andere operatie. Het laatst toegevoegde en dus grootste getal ℵ (dat geen priemgetal moet zijn, het wordt niet ingebouwd) interpreteren we hier als de intensiteit (dus ℵ) van de eenheid 1/g1×g2×...×gn-1 (dus <gn-1>). De inbedding hiervan is het creatief product (gn-1⊗<gn-1>)ℵ=ℵ•gn-1 en dit is de modellering van de intensiteit ℵ van de eenheid g1×g2×...×gn-1. We zien hier dus de twee fundamenteel verschillende eenheden: eenheden als producten van priemgetallen versus eenheden als producten van reciproque priemgetallen. Wat we dus modelleren is de intensiteit van één van de 2EXP2gn-1 eenheden in de tralie die opgespannen wordt door gn-1 priemgetallen, dus één van de mogelijke producten van priemgetallen of hun inversen. Het is de operatie getalsom die hier het verschil laat zien tussen beide soorten eenheden. Hier zien we dus een onderscheiding ℵ die niet ingebouwd wordt in de tralie en die dus geen eenheid is maar een intensiteit die kan gehalveerd worden. In het voorbeeld dat we hierboven gebruikten waarin we drie priemgetallen veronderstelden, zou nu n=2 gelden en ℵ kan gelijk welke getalwaarde zijn (een reëel getal, een dubbelgetal enz...). Dit is een intensiteit die geen deel uitmaakt van de eenheid, en is dus de intensiteit van de eenheid. Deze intensiteit is de intensiteit van een eenheid in de tralie zonder de eenheden, die we als priemgetallen gekozen hebben, te veranderen en is dus geen product maar een exponent van die eenheid. Het is de exponent van een product van priemgetallen dat een tralie opbouwt die mogelijks deel is van een grotere tralie. De exponent heeft alleen maar invloed als gn-1 en dus het creatief product (gn-1⊗<gn-1>)ℵ=ℵ•gn-1 zelf verschilt van 1.
Wanneer we de eenheid gn-1 noteren als h, dan is dit creatief product niet anders dan (h⊗<h>)ℵ.
De afgeleide naar ℵ is het product van de termen van (<gn-1>⊗gn-1)ℵ of (gn-1⊗<gn-1>)ℵ en is dus niet anders dan de eenheid 1. Een afgeleide gelijk aan 1 is niet anders dan de afgeleide van een willekeurige variabele naar de variabele zelf.
Gelijk welk getal G kan voorgesteld worden als gℵ en deze vorm heeft twee inversen, die we de “inversen van de invariante eenheid” versus “de inversen van de intensiteit” kunnen noemen.
De inversen van de invariante eenheid zijn gℵ enerzijds en g-ℵ anderzijds
De inversen van de intensiteit zijn ℵ enerzijds en ℵ-1 anderzijds
Een combinatie van beide geeft een extra mogelijkheid tot invers: g1/ℵ enerzijds en g-1/ℵ anderzijds
In het getallendomein is het simultaneïtsinterval niet anders dan <gn><<g>n> ∼ <gn>•<<g>n> wanneer alle gi elkaar uitsluiten. “Ja zeggen” aan <gn><<g>n> betekent dat alle gn dezelfde waarde hebben. We kunnen dit nu voor getallen interpreteren: dezelfde waarde hebben betekent voor getallen dat we een vrije keuze van schaal hebben, maar eens men kiest moet men die schaal dan wel voor alle berekeningen gebruiken (schaal die hiermee dus ook een intensiteit mee bepaalt omdat het de eenheid vastlegt). De vrije keuze wordt gemodelleerd door de disjunctie <gn><<g>n>. Als we dan tellen (en dus sommen maken met getallen), dan moeten we kiezen of we de schaal in de teller of in de noemer modelleren. Dit is niet anders dan beslissen over welk getal eenheid is en welk getal intensiteit: een intensiteit kan gelijk worden aan nul waarbij de eenheid relevant blijft, een eenheid die gelijk wordt aan nul staat voor iets anders: de onderscheiding die de eenheid mogelijk maakt is irrelevant. Beide mogelijkheden worden dank zij het haakformalisme zeer helder van elkaar onderscheiden. Sommen van gelijkwaardige eenheden in het getallendomein kunnen gemodelleerd worden door de eenheden als priemgetallen te beschouwen.
Het getal g kunnen we in het algemeen geval interpreteren als de eenheid (1±k) met als afgeleide naar de laatst toegevoegde onderscheiding <g>•g of dus (1/(1±k))×(1±k)=1.
ℵ•<g> moet in het getallendomein voorgesteld worden door g-ℵ. Wanneer ℵ niet ingebouwd wordt, dan is er een tweede eenheid te vinden en deze is g+ℵ. Dit zijn de enige twee fundamentele schalen: ofwel de schaal in de teller, ofwel de schaal in de noemer.
We leggen nu de relatie met de rationale getallen. Hiermee expliciteren we de veronderstelling die het gebruik van rationale getallen mogelijk maakt: alle getallen gi zijn strikt geordend en kunnen we modelleren met het getalproduct omdat alle gi elkaar uitsluiten.
Neem de drie priemgetallen g1, g2 en g3 en vorm hun product g1×g2×g3. Er geldt dat 1/g1×g2×g3 (<gn>) niet verschillend is van 1/g1×1/g2×1/g3 (<g>n). We hebben de vrije keuze, wat we zien aan <gn><g>n die als haakvorm niet anders is dan <g>n. In het getallendomein is de veronderstelling nu dat er geen verschil is tussen <gn><<g>n> en <gn>•<<g>n> wanneer alle gi elkaar uitsluiten. Het getalproduct (rationaal getal) is dan niet anders dan het vectorproduct. Neem nu <gn>•<<g>n> als welgevormde haakuitdrukking, dat is niet anders dan gn•<g>n en deze uitdrukking drukt uit dat alle gn dezelfde waarde hebben die niet moet toegekend worden. Als we een waarde toekennen, dan is die waarde ofwel <<>> ofwel <>. Wat is die waarde dan?
Het creatief product (<gn-1>⊗gn-1)ℵ=ℵ•<gn-1> heeft duidelijk gemaakt wat een vectorproduct betekent voor getallen. Als getalvergelijking staat gn•<g>n dus voor ofwel (1/gn)gn ofwel (gn)1/gn omdat het vectorproduct commutatief is, we kunnen vrij kiezen om gn als eenheid te gebruiken of <g>n als eenheid te gebruiken. Voor getallen is machtsverheffing echter niet commutatief en, zoals we onmiddellijk zien, geldt (1/gn)gn = (gn)1/gn enkel voor gn=1. We zien dat dit niet anders is dan een breuk 1/1, zowel teller als noemer hebben dezelfde waarde. Maar het is subtieler dan dat. Want hebben we voor de eenheid in de teller gekozen voor <<>>, dan is <> de eenheid in de noemer. Inderdaad staat <<>> voor 1, dan staat <> voor 1/1 (of in een andere vorm 1-1), zoals dat geldt voor g versus <g>. Het gevolg hiervan is dat enkel in het geval dat de eenheid ingebouwd wordt geldt dat het vectorproduct <gn>•<<g>n> overeen komt met het getalproduct (1/g1×g2×g3)(1/(1/g1×1/g2×1/g3)) en dit is dezelfde waarde als (g1×g2×g3)(1/g1×1/g2×1/g3)=1+1=1-1. Dit geeft dus het verband tussen de twee speciale creatieve producten die we hoger besproken hebben.
De veronderstelling die getallen mogelijk maakt is de keuze voor één eenheid en één schaal. Het simultaneïtsinterval <gn><<g>n> ∼ <gn>•<<g>n> zien we in getallen en het getalproduct dat commutatief is. De nevenschikking (keuzevrijheid), het vectorproduct en het getalproduct zijn niet verschillend van elkaar en eenheden en intensiteiten kunnen dan elkaars rol overnemen. Dank zij het creatief product hebben we aangetoond dat dit zo is enkel voor de getallen (±1)+2 en (±1)-2.