Het meest universele patroon waarmee getallen kunnen opgebouwd worden die zich als eenheid kunnen gedragen voor gelijk welke operatie is (1±n)^-m. Hierin is (1±n) een volwaardig dubbelgetal (n is verschillend van nul). Een som (p±q) is altijd te schrijven als een dubbelgetal (1±n) met 0<n<1 door een geschikte normalisatie. Sommen liggen aan de basis van telbare intervallen en metriek, dus we kunnen hiermee een interval in het getallendomein modelleren. We tonen nu aan dat getallen die niet ingebouwd worden in een tralie de onderscheidingen niet meer maken “die potentieel hadden kunnen gemaakt worden in het geval ze wel zouden ingebouwd worden” en wat dat betekent voor gelijkwaardigheid. Die getallen (intensiteiten) zijn daardoor immers allemaal gelijkwaardig (hebben allemaal “dezelfde waarde”, wat hier betekent dat ze “niet ingebouwd worden” en dus kunnen beschouwd worden als intensiteit) en daardoor ontstaan relaties tussen die getallen die een eigen karakter hebben. We tonen aan dat dat karakter gerelateerd kan worden aan potentiële tralies (“indien…, dan…” constructies).

We veronderstellen twee priemgetallen (of hun reciproque) als eenheden p en q, elk met een intensiteit, dus pⁿ en q^m. Dit kunnen we ook schrijven als pⁿq⁰ en p⁰q^m. We construeren nu een nieuwe eenheid (die niet anders is dan een dubbelgetal) door de getallen te sommeren: (p+q). Dit is het patroon van een (gewogen) projector met priemgetallen als eenheden. We veronderstellen nu dat de intensiteit van deze nieuwe eenheid n is. Dus de notering van een eenheid met intensiteit is (p+q)ⁿ. We kunnen die “eenheid met intensiteit n” nu schrijven als een som van nieuwe getallen met het patroon pⁱq^j. De eenheden van die getallen worden uiteraard gegeven met i=j=1, zij zijn het kleinste gemeen veelvoud van de priemgetallen. We zien ze ook verschijnen in de tralie die opgebouwd wordt met de priemgetallen p en q. Zoals we veronderstelden voor p en q kunnen die eenheden maar op één manier opgesplitst worden (“gehalveerd” bijvoorbeeld). Deze veronderstellingen tonen we door die nieuwe getaleenheden te schrijven met een klassieke nevenschikking, bijvoorbeeld pq is een nieuwe eenheid waarbij i=j=1 en i+j=2=n. Ook hogere exponenten zullen in (p+q)ⁿ aanleiding geven tot dezelfde eenheden, dit is het eenvoudigst in te zien met voorbeelden die verder zullen gegeven worden. (p+q)ⁿ is vanzelfsprekend uit te breiden naar nog meer eenheden, bijvoorbeeld (p+q+r)² geeft aanleiding tot kleinste gemene veelvouden van 2 priemgetallen, dus pq, pr, qr en (p+q+r)ⁿ geeft ook aanleiding tot het patroon pⁱq^jr^k waarbij alle mogelijke combinaties van drie priemgetallen de eenheden zijn (met exponent 1) en alle mogelijke exponenten kunnen voorkomen op voorwaarde dat de som i+j+k gelijk is aan n. De elementen van de som zijn hier geen kleinste gemene delers meer (bijvoorbeeld: een pⁱq^jr^k als element van de som kan gelijk zijn aan p^(n-1)q⁰r¹ en p^(n-1)r is geen kleinste gemeen veelvoud). Toch kunnen we elk patroon pⁱq^jr^k als een nieuwe eenheid beschouwen met een eigen schaal. Elke exponent is een intensiteit en intensiteiten kunnen gedeeld worden in gelijke eenheden en dus kan elke intensiteit zijn eigen schaal krijgen en een product van die eenheden is dus een nieuwe eenheid met een nieuwe schaal.

De intensiteit van die nieuwe eenheid noteren we dan niet als een exponent, maar als een getal g met een commutatieve operatie ×, dus dit geeft betekenis aan het patroon g×pⁱq^j. We gebruiken het maalteken om duidelijk aan te geven wat intensiteit is en wat eenheid, g is hier intensiteit en E=pⁱq^j is eenheid. De eenheden zijn lineair onafhankelijk van elkaar, dat betekent dat enkel een g=0 een eenheid irrelevant maakt, een som Σ_kg_k×E_k met elke g_k verschillend van nul, zal altijd verschillend zijn van 0, een som Σ_kg_k×E_k=0 kan enkel als elke g_k gelijk is aan nul, geen enkele eenheid is een lineaire combinatie van andere eenheden.

Simultaneïteit herkennen we nu op twee manieren: g×pⁱq^j impliceert (g-1)×pⁱq^j. en we zien het ook in de exponent: een aantal i impliceert een aantal i-1, die op zijn beurt een aantal i-2 impliceert enz… In de exponent zijn dat sommen, dat is dus ook de simultaneïteit van de som, maar dan in de exponent.

Dank zij het inzicht dat elke welgevormde haakuitdrukking in het 3&1 patroon kan geschreven worden (bijvoorbeeld a+b+c-d waarbij a+b+c een partitie is van p) hebben we genoeg aan het onderzoeken van de vorm (p±q)ⁿ.

Een voorbeeld maakt veel duidelijk. Het kwadraat van de eenheid (p+q) is de intensiteit 2 van de eenheid (p+q), (p+q)² schrijven we nu als (1×p²q⁰+2×p¹q¹+1×p⁰q²) en we zien een som van drie eenheden met een intensiteit als gevolg van hun eigen schaal. De nieuwe eenheden zijn dus de termen van de som: p²q⁰, p¹q¹, p⁰q². De intensiteiten van de eenheden zijn niet anders dan het aantal punten op hetzelfde niveau in een tralie van 1 onderscheiding (die drie niveaus heeft, op centraal niveau in 1 onderscheiding vinden we de punten a en <a>, tussen de uiterste niveaus <<>> en <>). De eenheid p²q⁰ is niet anders dan p² en dit drukt uit dat enkel in het geval dat q gelijk zou zijn aan nul in de som (p+q), de intensiteit van p gelijk zou zijn aan 2 want (p+0)²=p². Dus de vorm (1×p²q⁰+2×p¹q¹+1×p⁰q²) moeten we interpreteren als een potentiële constructie (“indien…, dan…”). Ook dit laat duidelijk zien dat dubbelgetallen in staat zijn om een potentiële werkelijkheid te modelleren die als tralie kan voorgesteld worden.

Of p en q nu priemgetallen zijn groter dan 1, of reciproque zijn van priemgetallen (en dus kleiner dan 1), of combinaties van deze twee mogelijkheden, doet er niet toe. Stel bijvoorbeeld (1/p+1/q)². Dat is te schrijven als (1/p²q⁰+2/p¹q¹+1/p⁰q²) en dit is (1×p⁰q²+2×p¹q¹+1×p²q⁰)/p²q². De “normalisatiefactor” is p²q², namelijk het kleinste gemeen veelvoud van de beide priemgetallen, tot de gezamenlijke macht en deze normalisatie kunnen we begrijpen als de intensiteit van een volledige tralie. Het is die normalisatiefactor die we herkennen in het verschil tussen een rekenkundig gemiddelde en een harmonisch gemiddelde. Uiteraard kunnen we ook p=1 nemen waarbij we (1+1/q)² berekenen als (1×q²+2×q¹+1×q⁰)/q². Uiteraard kunnen we voor q ook een negatief getal nemen, waarmee duidelijk wordt hoe we (1±k)² kunnen berekenen met 0<k<1. We sommeren dus drie verschillende eenheden, elk met een eigen intensiteit om een kwadraat (intensiteit gelijk aan 2) te berekenen. Hiermee drukken we uit dat de punten op de drie niveaus in een tralie van één onderscheiding “dezelfde waarde hebben” eens ze hun eigen schaal gekregen hebben.

Met een uitgebreider voorbeeld kunnen we het patroon nog duidelijker beklemtonen en komt ook de simultaneïteit van de gehele getallen in de exponent iets duidelijker naar voor: (p+q)⁴ schrijven we als (1×p⁴q⁰+4×p³q¹+6×p²q²+4×p¹q³+1×p⁰q⁴). We zien 6 eenheden (namelijk p⁴q⁰; p³q¹; p²q²; p¹q³ en p⁰q⁴) en maar drie intensiteiten 1, 4 en 6. Het totaal aantal eenheden (onafhankelijk van de soort ervan) is 1+4+6+4+1=16=2⁴=2EXP2². Dat is niet anders dan het aantal punten in een tralie van twee onderscheidingen. De eenheden zelf zijn simultaan in hun exponent en dit is de simultaneïteit van de niveaus in de tralie. Voor twee priemgetallen heeft die simultaneïteit twee zinnen en twee realisaties, dat betekent:

• in p is de zin uit te drukken als “impliceert”. Dus: in p impliceert p⁴q⁰ de eenheid p³q¹ die op zijn beurt p²q² impliceert, die op zijn beurt p¹q³ impliceert, die op zijn beurt p⁰q⁴ impliceert. De zin is ook uit te drukken als “wordt geïmpliceerd door”. Dus: p⁰q⁴ wordt geïmpliceerd door p¹q³ die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p²q² die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p³q¹ die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p⁴q⁰.

• in q is de zin uit te drukken als “impliceert”. Dus: in q impliceert p⁰q⁴ de eenheid p¹q³ die op zijn beurt p²q² impliceert, die op zijn beurt p³q¹ impliceert, die op zijn beurt p⁴q⁰ impliceert. De zin is ook uit te drukken als “wordt geïmpliceerd door”. Dus: in q wordt p⁴q⁰ geïmpliceerd door p³q¹ die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p²q² die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p¹q³, die op zijn beurt wordt geïmpliceerd door p⁰q⁴.

De intensiteiten van de eenheden zijn niet anders dan het aantal punten op hetzelfde niveau in een tralie van twee onderscheidingen (1 supremum, 4 AND-atomen, 6 centrale punten, 4 OR-atomen, 1 infimum). Dat zijn de binomiaalcoëfficiënten. De intensiteit n van de som (p+q)ⁿ, namelijk in dit voorbeeld 4=4+0=3+1=2+2=1+3=0+4, is niet anders dan het aantal buren van elk punt van de tralie. Met n onderscheidingen kunnen we 2 tot de macht 2ⁿ unieke combinaties van “ja” en “neen” vinden die een tralie vormen waarbij elk punt 2ⁿ buren heeft. Die tralie zou dan voorgesteld kunnen worden door een 2ⁿ-hypercube.

De notering 6×p²q² is niet anders dan de som 1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q², voor de som hebben de eenheden allemaal dezelfde waarde en dus onderscheiden ze zich niet meer van elkaar. De eenheden onderscheiden zich wel van de eenheden van een ander niveau (met een andere partitie van de exponent 4) omdat ze op een andere manier verschaald zijn (genormaliseerd zijn). Bijvoorbeeld: van de eenheid p⁴q⁰ is er maar één in de som (1×p⁴q⁰+4×p³q¹+6×p²q²+4×p¹q³+1×p⁰q⁴).

De totale som is gedefinieerd als al deze termen dezelfde waarde hebben en is dus 1×p⁴q⁰+1×p³q¹+1×p³q¹+1×p³q¹+1×p³q¹+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p²q²+1×p¹q³+1×p¹q³+1×p¹q³+1×p¹q³+1×p⁰q⁴ en is dus de som van alle gelijkwaardige eenheden. Dit drukt dus uit dat een volledige tralie (alle punten ervan) gelijkwaardig zijn (een waarde die bijvoorbeeld als <<>> kan geïnterpreteerd worden of als <> kan geïnterpreteerd worden). Zoals blijkt zijn dat er 2⁴=16.

De binomiaalcoëfficiënten worden berekend door n!/k!(n-k)! De intensiteit n van de veelterm (p+q) wordt dan berekend als de som (p+q)ⁿ=Σ_k=0^k=n(n!/k!(n-k)!)×p^n-kq^k.

De binomiaalcoëfficiënten zijn de intensiteiten zoals ze ontstaan bij het berekenen van een afgeleide naar een van de eenheden p of q, waarbij p en q onafhankelijk van elkaar kunnen afgeleid worden (of geïntegreerd kunnen worden). We illustreren dat in een tabel. Het getal 24=4! speelt hier de rol van normalisatiefactor.

Dit wordt heel duidelijk als we de afgeleiden berekenen van (p+q)⁴ naar (bijvoorbeeld) de eenheid p.

(p+q)⁴ = (1×p⁴q⁰+4×p³q¹+6×p²q²+4×p¹q³+1×p⁰q⁴)

De eerste afgeleide naar p is dan

(4×p³q⁰+12×p²q¹+12×p¹q²+4×p⁰q³)

Dit is niet anders dan

4×(p³q⁰+3×p²q¹+3×p¹q²+4×p⁰q³)=4×(p+q)³

We kunnen nu een stap verder afleiden: de eerste afgeleide naar p van (p+q)³=(p³q⁰+3×p²q¹+3×p¹q²+4×p⁰q³) is dan

3×p²q⁰+6×p¹q¹+3×p⁰q²

Dit is niet anders dan

3×(p²q⁰+2×p¹q¹+p⁰q²)=3×(p+q)².

Dus de tweede afgeleide naar p van (p+q)⁴ is 12×(p+q)².

We kunnen nu nog een stap verder afleiden: de eerste afgeleide naar p van (p+q)²=(p²q⁰+2×p¹q¹+p⁰q²) is dan

2×p¹q⁰+2×p⁰q¹=2×(p+q)¹.

Dus de derde afgeleide naar p van (p+q)⁴ is 24×(p+q)¹.

We kunnen nu nog een stap verder afleiden: de eerste afgeleide naar p van (p+q)¹=(p¹q⁰+p⁰q¹) is dan p.

Dus de vierde afgeleide naar p van (p+q)⁴ is 24×(p)¹.

De eerste afgeleide van p naar p is 1.

Dus de vijfde afgeleide naar p van (p+q)⁴ is 24×(p)⁰. Dit is niet anders dan 4!.

Volledig gelijkaardig kunnen we vijf maal afleiden naar de eenheid q.

In het getallendomein modelleert de afgeleide verandering van relaties. De nulpunten van de eerste afgeleide geven het aantal extrema (een extremum is een punt waar toename verandert in afname of, omgekeerd, waar afname verandert in toename). De tweede afgeleide geeft het aantal buigpunten (die zich altijd tussen extrema bevinden).

Zoals we nu eenheden ook als volledige tralies kunnen begrijpen modelleert de afgeleide dan hoe tralies in elkaar vernest zijn.

Merk op dat het berekenen van de afgeleide naar een exponent (en dus een intensiteit van de som, dus de afgeleide naar n van (p+q)ⁿ) fundamenteel verschilt van het berekenen van een afgeleide naar een eenheid die deel uitmaakt van de som (dus de afgeleide naar p of q van (p+q)ⁿ). Intensiteiten en eenheden moeten niet met elkaar verward worden.