Een simultaneïteitsinterval tussen p en q hebben we voorgesteld als het creatief product (<p>⊗q)y waarbij p als supremum en q als infimum functioneert. In het getallendomein hebben <p>, y en q dezelfde waarde en aangezien elke y dezelfde waarde heeft als elke andere y (bijvoorbeeld de laatst toegevoegde onderscheiding), is een invers gedefinieerd en zijn de twee eenheden van het invers <p> en q. Wat zijn nu die twee eenheden?
In het getallendomein is het simultaneïtsinterval niet anders dan <xn><<x>n> ∼ <xn>•<<x>n>. We merken nu op dat geldt voor elke n:
<xn><<x>n> ∼ <xn>•<<x>n> ∼ <ℵxn-1><<ℵ><x>n-1> ∼ (<xn-1>⊗<x>n-1)ℵ dus de ene eenheid is <xn-1> en de andere eenheid is <x>n-1. Voor n=1 zijn <xn-1> en <x>n-1 niet verschillend, dus het product is <x1>•<x1> en dit is niet anders dan <<>>, de eenheid van het vectorproduct.
Vermenigvuldigen we de ene eenheid <xn-1> met m (met 0≤m<∞), dan moeten we de andere eenheid <x>n-1 vermenigvuldigen met m-1 om er voor te zorgen dat het “product niet verschillend van nevenschikking” <xn><<x>n> ∼<xn>•<<x>n> niet verandert. Dit is de vermenigvuldiging (en dus ook deling) in het getallendomein. We kunnen m-1 ook voorstellen als k met 0<k≤1. We tonen trouwens aan dat de bekende commutativiteit van de getallen geïnterpreteerd kan worden als het verschil tussen twee “eenheden": een die gelijk kan worden aan nul, en een die nooit gelijk kan zijn aan nul. Dit is niet anders dan het verschil tussen een eenheid en een intensiteit.
In het getallendomein stellen we het aantal onderscheidingen y waarmee het interval kan opgesplitst worden in elkaar uitsluitende intervallen voor als het getal n. De intervallen sluiten elkaar uit doordat ze allemaal dezelfde waarde hebben, en om ons dat te kunnen voorstellen veronderstellen we dat die waarde gelijk is aan <<>>. Dus y1 is niet anders dan <x1><<x>1> en yi is niet anders dan <xi><<x>i>. Een hogere i impliceert een lagere i (afhankelijk van het gebeuren of het ervaren). Dan wordt de uitdrukking <<<p>y1><<y1>y2><<y2>q>> voorgesteld door <<<p><xn><<x>n>><<<xn><<x>n>><xn-1><<x>n-1>><<<xn-1><<x>n-1>>q>> in het gebeuren (omgekeerd zou gelden in het ervaren). Aangezien <<xn><<x>n>><xn-1><<x>n-1> niet anders is dan <> is <<<p>y1><<y1>y2><<y2>q>> ook te schrijven als <<<p><xn><<x>n>>><<<xn-1><<x>n-1>>q>>. Een groter getal impliceert een kleiner getal voor de som, maar niet voor het product (5 impliceert 3, impliceert 2 enz… voor de operatie som, maar 5 impliceert enkel 5 en 1 voor de operatie product).
Aangezien we altijd ervaren geldt dat er ons altijd een veelheid gebeurt.
Deze inzichten hebben een groot gevolg voor het verschil tussen een intensiteit en een eenheid in een bepaald universum.
We tonen nu aan dat de minimale maar meest algemene voorstelling van een getal dat een eenheid kan modelleren (die een intensiteit kan krijgen en een invers voor gelijk welke operatie) de voorstelling 1/(1±k) is. Is k verschillend van nul dan is de eenheid verschillend van 1 (waarbij k geen geheel getal moet zijn) en de intensiteit als exponent modelleert de gelijkwaardigheid van termen in de macht als laatst toegevoegde onderscheiding. We maken dus een keuze van grondtal (eenheid) en dan kiezen we een getal in de termen van de exponent, termen die allemaal evenwaardig zijn en we kunnen altijd een vertaling vinden van een kwantificering met andere eenheden en intensiteiten. Dat levert dan verschillende vormen aan van schalen die hetzelfde kunnen uitdrukken.
Gebruiken we als eenheid voor de intensiteit het geheel getal q (we tellen dus m maal q), dan kunnen we gelijk welk geheel getal als eenheid gebruiken (bijvoorbeeld qmi) door het te beschouwen als een veelvoud van q. Inderdaad: mq is niet anders dan q+q+...+q en dat m maal en dat is dan niet anders dan (qm1)+(qm2)+..., waarmee we verschillende eenheden qmi gebruiken, elk met een gemeenschappelijke intensiteit q en waarbij m=Σimi.
Gebruiken we voor de eenheid van de laatst toegevoegde onderscheiding de fractie 1/q (met q een geheel getal) dan geldt μ/q=1/q+1/q+...1/q en dat μ maal. Maar als we nu verschillende eenheden 1/qmi gebruiken die fracties zijn, dan construeren we een andere som, wat we met het eenvoudigste voorbeeld kunnen illustreren. Veronderstel twee verschillende priemgetallen m1 en m2 en vorm 1/(qm1)+1/(qm2)=((qm1)+(qm2))/(qm1)(qm2)=(qm1)/q2m1m2+(qm2)/q2m1m2=(m1)/qm1m2+(m2)/qm1m2. Stel μ=Σimi, dan is de som μ/qM waarin M het kleinste gemeen veelvoud van de producten van mi voorstelt. We kunnen dus niet meer gelijk welk getal als eenheid gebruiken, we kunnen de som enkel maken als alle noemers door hetzelfde getal voorgesteld worden. Dat éne getal (de noemer) is een product en dus zullen we andere soorten genereren die door de priemgetallen gemodelleerd worden. Het gevolg hiervan is dat het getal μm dezelfde soort kan aangeven als de soort van μ, want de unieke qM (het product van priemgetallen) die we gebruiken als eenheid van μ kunnen we altijd gebruiken als eenheid voor m (waarvoor we enkel een willekeurig geheel getal moesten selecteren). Dus (μ/qM)(mqM)=μm. Hetzelfde geldt duaal voor de soort van m.
De getallen die een kleinste gemeen veelvoud M voorstellen geven aan de gehele getallen de structuur van een tralie waarin de rol van conjunctie en disjunctie vertaald wordt als de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud. Verschillende simultaneïteitsintervallen zijn tussen de punten te vinden op basis van deze operaties. De intensiteit van de priemgetallen (als de exponent ervan) speelt hierin een belangrijke rol. Hieronder, in het formaat van een 4-hypercube de tralie van 16 punten gevormd door de vier priemgetallen 2, 3, 5 en 7 (die we dus afbeelden op de AND-atomen van een twee onderscheidingen universum), dus tussen 1 als het ene extremum en 2*3*5*7=210 als het andere extremum. Alle getallen in de tralie zijn voorbeelden van een M waarmee een som van breuken als som van eenheden kan berekend worden. Het aantal priemgetallen beelden we dus af op het aantal toestanden van een onderscheidingen universum (een tralie). We stellen een niet gekwantificeerde tralie voor, wat betekent dat geen van de punten een exponent (of met andere woorden een intensiteit) heeft en we reproduceren hierbij de tralie:
Dit bepaalt dus uiteindelijk de schaal waarop we verschillende eenheden kunnen onderscheiden en inderdaad: elke schaal kan geschreven worden als een niet eindigende som. Om dat in te zien beschouwen we een meetkundige reeks met reden k (elke volgende term is de vorige term vermenigvuldigd met k) die we de naam R geven: R=1+k+k2+k3+…. We berekenen kR=k+k2+k3+k4+…. Dus R-kR=1 en dus 1 is niet anders dan het product R(1-k) of dus (1+k+k2+k3+….)(1-k). Dit kunnen we ook als volgt interpreteren: (1-k)=1/R wat duidelijk maakt dat (1-k) en R andere eenheden zijn tenzij k=0 zou genomen worden. We kunnen ook R+kR berekenen en dit is niet anders dan 2R-1. Hieruit volgt dat (1+k)=2-(1/R) een andere eenheid is dan (1-k), tenzij k=0 genomen wordt. Uiteindelijk moeten we de niet eindigende som toch afbreken als de waarnemingsresolutie overschreden wordt (als intensiteit in de exponent). Dat betekent dat 1/(1-k) als een som k+k2+k3+k4+…+km kan benaderd worden. De verhouding 1/(1+k) kan dan als een som -k+k2-k3+k4+…+k2m benaderd worden. Deze som kan ook een som van verhoudingen zijn wanneer k kleiner dan 1 genomen wordt, waarbij km de hoogste intensiteit is (het kleinste gemene veelvoud M).
Is k een nilpotent dan zijn er twee fundamentele eenheden: (1-k) en (1+k). Inderdaad: 1=R(1-k) of dus (1+k+k2+k3+….)(1-k) en wanneer k2=0 en ook alle hogere machten, dan is (1+k+k2+k3+….)(1-k) niet anders dan 1=(1+k)(1-k). Nilpotenten hebben we nodig om infinitesimalen te definiëren.
Een verhouding 1/(1-k) is altijd te schrijven als een verhouding (1-n)/(1+n) voor een k=2n/(n-1).
Een verhouding 1/(1+k) is altijd te schrijven als een verhouding (1-n)/(1+n) voor een k=2n/(1-n).
Een verhouding k is altijd te schrijven als een verhouding (n-m)/(n+m), en dan geldt de verhouding (1-k)/(1+k)=m/n.
Een verhouding (1-n)/(1+n) is altijd te schrijven als een (1-k2) voor een k2=2n/(1+n). Dus een verhouding (1-n)/(1+n) is altijd te schrijven als een product (1-k)(1+k) voor een k2=2n/(1+n). Dus (1-n)/(1+n)=(1-k)(1+k). Er is dus geen wezenlijk verschil tussen een breuk en een product, beide zijn voorbeelden van hetzelfde patroon. Het verschil is er een van commensurabiliteit.
Een verhouding (1+k)1/2/(1-k)1/2 is altijd te schrijven als (1+z).
Een verhouding (1-k)/k is altijd te schrijven als een verhouding (1-n)/(1+n) voor een 1+n=2k. Dus een verhouding (1-k)/k is altijd te schrijven als een product (1-m)(1+m) voor een m2=(2k-1)/k.
Een verhouding (1+k)/k is altijd te schrijven als een verhouding (1-n)/(1+n) voor een k=(-1-n)/2n. Dus een verhouding (1+k)/k is altijd te schrijven als een product (1-m)(1+m) voor een m2=-1/k.
Alle gehele getallen, dus de getallen die we tellen (in contrast met de getallen die we berekenen), zijn te schrijven als product van termen met het patroon (a2-b2) en dus ook met het patroon (1-k2).
Een verhouding (1-k)2/(1+k)2 is altijd te schrijven als (1-n2) voor een n2=4k/(1+k)2. Want 1-n2=1-4k/(1+k)2=((1+k)2-4k)/(1+k)2=(1-k)2/(1+k)2=((1-k)/(1+k))2. Dit toont dat het onvermijdelijk is dat er een transformatie bestaat waarbij een verschil van kwadraten gelijk is aan een kwadraat (de stelling van Pythagoras). Dit is trouwens anders dan de eigenschap dat een verhouding (1-k)/(1+k) altijd te schrijven is als (1-m2) voor een m2=2k/(1+k). Want 1-m2=1-2k/(1+k)=(1+k-2k)/(1+k)=(1-k)/(1+k) en dus geldt n2=4k/(1+k)2 maar m2=2k/(1+k).
Hieruit volgt dat het onvermijdelijk is dat we altijd een hoek en dus geometrie kunnen definiëren. Want uit 1-n2=(1-k)2/(1+k)2 volgt dat 1=(1-k)2/(1+k)2+n2 en dit is het patroon van sin2(θ)+cos2(θ), dus (1-k)2/((1+k)2n2)=tan2(θ) en hieruit volgt θ.
Een verhouding (1-n)/(1+n) is altijd te schrijven als een m waaruit volgt dat n=(1-m)/(1+m), neem als voorbeeld van toepassing m=k(1-k). Dus (1-k(1-k))/(1+k(1-k))=n en dus k(1-k)=(1-n)/(1+n). De kwadratische vergelijking 1+k(1-k)=1+k-k2 genereert de Gulden snede ±φ en invers ±Φ. De keuze ±φ voor k genereert dus een onbepaald grote n.
Elk oneven getal, en dus ook elk priemgetal is te schrijven in het formaat (n-m)/(n+m). Inderdaad een oneven getal is te schrijven als 2n±1 en kies nu m=n-1. Vorm dan (n-m)/(n+m) en dat is niet anders dan (n-n+1)/(n+n-1)=1/(2n-1). Bijvoorbeeld 7=2*4-1 dus 1/7=(4-3)/(4+3). Dus een vorm (1-(n-1)/n)/(1+(n-1)/n) kan altijd staan voor een eenheid.
Kies een even getal als eenheid, dan zal de vorm (n-m)/(n+m) onafhankelijk zijn van die keuze. Inderdaad: neem (n+m)=2k, dan geldt m=2k-n en dus (n-m)=n-2k+n=2n-2k=2(n-k) en (n-m)/(n+m)=(n-k)/k, de factor twee kan geschrapt worden in teller en noemer. Dus de vorm (n-m)/(n+m) is onafhankelijk van de keuze voor een even getal.
Een verhouding m/n is altijd te interpreteren als onafhankelijk van gelijk welke eenheid. Inderdaad: noem de eenheid e en schrijf m=Me en n=Ne dan is m/n=M/N voor gelijk welke keuze van e.
Verhouding en product zijn onafhankelijk van de schaal. Dit is onmiddellijk duidelijk voor (1-n)/(1+n)=(1-n)t-1/(1+n)t-1. Maar er geldt dat k2=2n/(1+n) en dit is niet anders dan 2nt-1/(1+n)t-1 dus (1-k2)=1-2nt-1/(1+n)t-1 = ((1+n)t-1-2nt-1)/(1+n)t-1=(1-n)t-1/(1+n)t-1. De voorstelling (1-n)t-1/(1+n)t-1 zouden we dus ook kunnen uitdrukken met (1-k)t+1(1+k)t-1. De vrije keuze voor t heeft belangrijke gevolgen die maximaal aan bod komen in het haakformalisme. We bewijzen dat er altijd een 1-splitsing beschikbaar is met een “laatst toegevoegde onderscheiding” die als schaalfactor t dienst doet en waarvan de disjunctie <<verhouding of product>> een extremum is. Klassiek zal men dan spreken dat men overgaat naar een ander “coördinatenstelsel” (bijvoorbeeld een inertiaalstelsel versus een veranderend stelsel dat leidt tot “schijnkrachten”). We zullen t daarom ook een vrijheidsgraad noemen en we zullen daar (als “energiedensiteit”) nieuwe voorbeelden van geven.
Priemgetallen kunnen we als eenheden gebruiken. Elk priemgetal, behalve 2, is te schrijven als een verschil van kwadraten. Producten van priemgetallen kunnen we als eenheden gebruiken. Het verschil tussen twee priemgetallen groter of gelijk aan 3 is altijd even. Een product van twee opeenvolgende priemgetallen p en q kan dus altijd geschreven worden als ((p+q)/2-r)((p+q)/2+r) waarbij het verschil p-q=2r. Dit is niet anders dan een verschil van kwadraten (p+q)2/22-r2.
We illustreren dat met een eenvoudig voorbeeld. Neem p=3 en q=5 dan is (p+q)/2=4 en 3×5=(4-1)×(4+1)=42-12. Hierin is het 1-k2 patroon gelijk aan -15 en dus k=4. Hieruit berekenen we n als volgt: 42=2n/(1+n) hieruit volgt: n=-8/7 en (1-n)/(1+n)=(1+8/7)/(1-8/7)=-15. Merk op dat (1-7/8)/(1+7/8)=1/15.
Een verschil van kwadraten kan altijd geschreven worden in de vorm 1-k2 en deze vorm kan altijd geschreven worden als de verhouding (1-n)/(1+n) voor een k2=2n/(1+n). Het patroon van de verhouding (1-n)/(1+n), die voor positieve n altijd groter is dan nul en kleiner dan 1 heeft zeer belangrijke eigenschappen die we veelvuldig zullen toepassen.
Het omgekeerde vraagstuk is of we een willekeurig verschil van kwadraten als eenheid kunnen gebruiken door het verschil te benaderen als het product van twee opeenvolgende priemgetallen pq=(p+q)2/22-r2 en dus pq/r2+1=((p+q)/2r)2. Bijvoorbeeld: stel dat we e willen voorstellen als (p+q)/2r. De voorstelling van e2 moet wel ergens afgebroken worden, kies voor e2=7,39. We zoeken dus p en q zodanig dat pq/r2=(e)2-1=6,39. Nu merken we op dat we het verschil tussen priemgetallen (p-q=2r) willekeurig kunnen kiezen en dat bewijzen we als volgt.
Hypothese: het is altijd mogelijk om gelijk welk even getal als verschil tussen opeenvolgende priemgetallen te kiezen en dan het aantal gehele getallen te berekenen die zich tussen die twee priemgetallen bevinden.
Bewijs: kies een willekeurig even getal als het verschil n tussen twee priemgetallen en bereken (n+1)! Dit getal is dus deelbaar door 2, 3 enz… tot en met (n+1). Het getal (n+1)! is dus geen priemgetal. Bereken nu (n+1)!±2, beide getallen ((n+1)!-2 en (n+1)!+2) zijn dus deelbaar door 2. Bereken nu (n+1)!±3, beide getallen zijn dus deelbaar door 3. Bereken nu (n+1)!±4, beide getallen zijn dus deelbaar door 4, enz… tot (n+1)!±(n+1) beide getallen zijn dus deelbaar door n+1. We hebben dus minstens 2n getallen gevonden die geen priemgetal zijn. Door de constructie is duidelijk dat die getallen zich tussen twee mogelijke priemgetallen moeten bevinden. Een van die priemgetallen is dan minstens (n+1)!-(n+2) of kleiner en het tweede priemgetal is dan minstens (n+1)!+(n+2) of groter. De gekozen n geeft dus een minimaal verschil van 2n. Bijvoorbeeld: kies n=4. Dus (n+1)!=5!=120. Het kleiner priemgetal is dus (120-6)=114 of kleiner, het groter priemgetal is dus (120+6)=126 of groter. Aangezien beide getallen geen priemgetal zijn, zijn de twee kandidaten dus 113 en 127. Inderdaad blijken dat de priemgetallen te zijn waartussen het getal 120 zich bevindt.
QED
De vergelijking pq/r2=(e)2-1=6,39 kunnen we dus tot elke gewenste precisie benaderen. Als we 2r kunnen kiezen tussen twee opeenvolgende priemgetallen dan kunnen we dat zeker doen voor gelijk welke selectie van priemgetallen.
We kunnen pq/r2 berekenen voor alle priemgetallen kleiner dan 1000. Dit geeft de volgende grafiek:
We kunnen deze getallen ook ordenen naar grootte voor de 167 priemgetallen kleiner dan 1000 en een polynoom geeft de beste fit:
De grafiek van (p+q)/(p-q) voor opeenvolgende priemgetallen illustreert de willekeurige verdeling van deze verhouding maar illustreert ook dat sommige priemgetallen voor deze verhouding lineair met elkaar verbonden zijn als gevolg van het beperkt aantal verschillen die kunnen voorkomen tussen priemgetallen. Bijvoorbeeld: het lineair verband met de steilste toename is voor een verschil van 2 (met als een van de vele vertegenwoordigers p=883 en q=881 zodanig dat (p+q)/(p-q)=882). Het lineair verband met de zwakste toename is in deze range voor een verschil van 20, met slechts één vertegenwoordiger: p=907 en q=887. Er komen in deze rij van de laagste priemgetallen slechts verschillen voor van 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18 en 20, maar zoals we bewezen kan elke even getal als een verschil tussen priemgetallen voorkomen.
Een eenheid moeten we onderscheiden van een intensiteit. Wat we tellen (de eenheid) moeten we onderscheiden van de hoeveelheid die we tellen (de intensiteit). Een eenheid is iets anders dan een intensiteit ook in het getallendomein en dat zien we aan de verschillende rol van een teller en een noemer. Een intensiteit kan gedeeld (bijvoorbeeld gehalveerd) worden en ook gelijk zijn aan nul. Een eenheid niet.
Dit komt het duidelijkst tot uiting in het getallendomein wanneer we positieve en negatieve exponenten gebruiken: in n+m (eenheid n, intensiteit m) kan n gelijk welke waarde innemen, in n-m kan n gelijk welke waarde innemen op voorwaarde dat deze verschilt van nul. Hierbij kan m, waaraan geen eisen moeten gesteld worden, alleen maar een rol spelen als n verschilt van 1. Het patroon dat aan beide voorwaarden voldoet is n=1/(1±k) waarin k verschillend moet zijn van nul en verschillend van 1. Het meest universele patroon waarmee getallen kunnen opgebouwd worden die zich als eenheid met intensiteit kunnen gedragen is dus (1±n)-m. Hierin is (1±n) een volwaardig dubbelgetal, dus een getal waarbij n verschilt van nul. Dit patroon genereert trouwens het getal van Euler en zijn invers.
Eenheid en intensiteit kunnen we transformeren naar andere getallen. Lineaire transformaties van deze getallen zijn de uitdrukking van de relativiteit van het aantal onderscheidingen die een universum opspannen.