Eigenwaarden k zijn verhoudingen tussen getallen. De eigenwaarde meet hoe groot de verhouding is tussen de intensiteiten van het verschil van twee verschillende simultaneïteitsintervallen met eenzelfde eenheid (x-x₀). Dat zijn dus intensiteiten van het verschil dat een verschil maakt die binnen een beperking ervaren of waargenomen wordt. De beperking is de beperking van simultaneïteit die als de onvermijdelijke stappen in het proces waarneembaar is. Er is een speciale verhouding bekend, de Gulden Snede. Dikwijls wordt die enkel geometrisch benaderd, maar dat is de keuze voor een bepaalde voorstellingsvorm. De Gulden Snede kan nu een diepere betekenis krijgen als gevolg van de ontwikkelde inzichten in de structuur van een tralie, en we zullen begrijpen dat dit alles te maken heeft met het verschil tussen eenheid en intensiteit.

Willekeurige eigenwaarde en gelijkvormigheid

Een constante eigenwaarde k is niet anders dan het behoud van verhouding in een proces. Dit kunnen we in het algemeen voorstellen als de getalrelatie a/b=c/d=k. We gebruiken hiervoor dus minimaal vier getallen: a, b, c en d maar dit is natuurlijk uitbreidbaar naar meer dan enkel vier getallen. We veronderstellen dat ze alle vier positieve reële getallen zijn, resultaten van tellingen of berekeningen. Dit is niet meer en niet minder dan een symmetrie zoals die uitgedrukt wordt in de standaard taal als “a staat tot b” zoals “c staat tot d”: een bepaald aspect (en dit is dan de verhouding) is invariant voor een bepaalde verandering.

Wat we nu gaan doen is een verhouding construeren met minder dan vier getallen.

Drie getallen

Met drie getallen is ook een constante verhouding te modelleren. In het algemeen kunnen we dat voorstellen als de relatie a/b=b/c=k of b²=ac. Dat zijn dan ook drie getallen met een vast verband met elkaar. Het kwadraat genereert twee oplossingen: b₁=+ac en b₂=-ac.

Er zijn natuurlijk nog andere mogelijkheden met drie getallen, bijvoorbeeld: (a±b)/b=b/c of ac±bc=b². Dit geeft dan aanleiding tot twee mogelijkheden met positieve getallen want deze kwadratische vergelijking heeft twee oplossingen:

b²±bc-ac=0

b₁=(±c+√(c²+4ac))/2

b₂=(±c-√(c²+4ac))/2

De getallen b₁ en b₂ hebben tegengesteld teken aangezien het product b₁b₂ gelijk moet zijn aan -ac (een algemene eigenschap van een vierkantsvergelijking).

De oplossingen zijn dubbelgetallen, de som van twee getallen. In de klassieke wiskunde spreken we over complexe en perplexe getallen, in het haakformalisme spreken we over de structuur van een 1-splitsing of de structuur van een projector. Dubbelgetallen worden gekarakteriseerd door een getal dat een waarde toegewezen kreeg (hier is dit c/2, een rationaal getal dat de intensiteit is van 1) en een getal dat een disjunctie van waarden voorstelt (hier is dit (√(c²+4ac))/2, een getal dat nog geen waarde toegewezen kreeg, we kunnen +1 of -1 kiezen als wortel van +1 of ook +i of -i als wortel van -1). De oplossingen als reëel dubbelgetal vinden we voor (c²+4ac)>0, dus c(c+4a)>0 en dus zowel c≠0 als c>-4a. Dit is een gevolg van de kwadratische relatie, en operationeel zien we dat ook in de commensurabiliteit van getallen; de oplossingen zijn een som van een commensurabel deel en een niet-commensurabel deel (een wortel is niet altijd een rationaal getal).

Er zijn natuurlijk ook mogelijkheden die drie positieve getallen met elkaar koppelen en die enkel onder nog andere bijkomende voorwaarde een oplossing hebben met reële getallen, het zijn verhoudingen waarbij het kwadraat van een som ontstaat zoals b/(a±b)=(a±b)/c want dat leidt tot (a±b)²=bc en dus b²±ba-bc+a²=0 met oplossingen

b₁=(±(a-c)+√((a-c)²-4a²))/2

b₂=(±(a-c)-√((a-c)²-4a²))/2

De reële oplossingen zijn enkel mogelijk voor ((a-c)²-4a²))>0, dus c²-2ac-3a²>0, dus voor punten uit de positieve kwadranten begrensd door de rechten (c+a)=0 en (c-3a)=0. Dat zijn de kwadranten met stompe hoek in de onderstaande grafiek die de rechten voorstelt f(x)=-x en f(x)=3x of dus c=-a en c=3a.

Deze soort grafiek hebben we al bestudeerd als de 1-splitsing (x, f(x)) en dus als een tweedimensionale metrische ruimte (een vlak). Hierbij is het vlak opgespannen door de rechte a en de rechte c loodrecht daarop. Elke rechte splitst het vlak in een gedeelte onder en boven die rechte. Die deelvlakken onderscheiden zich doordat de koppels in die deelvlakken ofwel in het positieve halfvlak liggen ofwel in het negatieve halfvlak. In het gebied boven de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte van de 1-splitsing positief zijn, in het gebied onder de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte negatief zijn. Enkel koppels in die gebieden kunnen door de relatie van simultaneïteit met elkaar verbonden zijn. De koppels in de twee andere kwadranten kunnen dat niet. Dus de reële oplossingen van (a±b)²=bc met onbekende b zijn de koppels (a, c) van een 1-splitsing die simultaan kunnen zijn.

Twee getallen

Als we in b²±bc-ac=0 veronderstellen dat c=a, dan maakt dit onmiddellijk duidelijk dat zelfs met enkel twee getallen een constante verhouding te modelleren is. Daartoe hebben we een som nodig die twee van de drie getallen met elkaar koppelt, bijvoorbeeld (a±b)/b=b/a of ±ab+a²=b².

b²±ba-a²=0

b₁=(±a+√(a²+4a²))/2=±a(1+√5)/2

b₂=(±a-√(a²+4a²))/2=±a(1-√5)/2

De verhouding (1+√5)/2 heeft een naam gekregen, de Gulden Snede φ en dat is nu de focus. We zullen eerst zoveel mogelijk relevante eigenschappen van de Gulden Snede demonstreren omdat we hiermee dan overduidelijk de betekenis hiervan in een onderscheidingen universum kunnen aantonen.

Eigenschappen van de Gulden Snede

De Gulden Snede is een verhouding tussen twee specifieke reële getallen, namelijk de verhouding van (1+√5) tot 2. Er geldt: (1+√5)/2=φ=1,6180339887. Het aantal cijfers na de komma wordt op een bepaald punt afgebroken als gevolg van de beperkte resolutie van de berekening.

Het invers van de Gulden Snede is 2/(1+√5)=2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=2(1-√5)/(-4)=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

We berekenen nu φ-1=(1+√5)/2-1=(1+√5)/2-2/2=(-1+√5)/2

Uit beide vergelijkingen volgt dat φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2=φ-1=0,6180339887. Dit getal krijgt soms een eigen symbool 0,6180339887=Φ.

De Gulden Snede maakt het mogelijk om twee inversen te definiëren voor de getalvermenigvuldiging:

• er geldt dat het product φ×Φ=φ×φ^-1=1, of dus meer expliciet: ½(1+√5)×½(-1+√5)=4/4=1.

• er geldt dat het product (1+φ)×(1-φ^-1)=(1-φ^-1+φ-φ×φ^-1)=(1-φ+1+φ-1)=1.

We merken op dat ±φ en ±Φ “dubbelgetallen” zijn gevormd door de som van een getal waarvoor men kan kiezen (namelijk 1) en een getal dat enkel kan gebeuren (namelijk √5). Hiermee worden dan ook de dubbelgetallen ±(1+φ) en ±(1-φ^-1) gevormd.

Een manier om de Gulden Snede geometrisch te construeren is te vertrekken van een rechthoekige driehoek met zijden a/2 en a. Het kwadraat van de lengte van de schuine zijde is dus (a/2)²+a² dus de lengte is (a√5)/2. De som van a/2 en (a√5)/2 is a(1+√5)/2 en als men kiest om a=1 te nemen dan is dit φ.

De genererende relatie van φ

De relatie van gelijkvormigheid die maar gebruik maakt van twee getallen genereert dus φ. We zullen nu uitgebreid aantonen dat φ en Φ de eenheden zijn met intensiteit m of n van de vier oplossingen (n₁ en n₂) en (m₁ en m₂) van de symmetrische vergelijking in n en m: (n+m)/n=n/m of dus n²-m²-nm=0, die we ook kunnen schrijven als (n-m)/m=m/n. Dus φ of Φ zijn ook de intensiteiten van de eenheid n of m, de vier getallen spelen dezelfde rol. De “of” is dus een disjunctie, geen exclusieve disjunctie. n²-m²-nm=0 is trouwens niet anders dan (-n²)+m²+nm=0, en dat is ook een disjunctie, we hebben een vrije keuze. Eens men kiest dan komt de exclusieve disjunctie van het getallendomein tot zijn recht, getallen sluiten immers elkaar uit.

We zullen beide vergelijkingen expliciet berekenen.

n²-nm-m²=0

We schrijven de vergelijking eerst met onbekende n.

n²-nm-m²=0

n₁=(m+√(m²+4m²))/2=m(1+√5)/2=mφ

n₂=(m-√(m²+4m²))/2=m(1-√5)/2=-mΦ

Nu geldt: φ^-1=Φ, dus de twee mogelijkheden kunnen we ook schrijven als n₁=mφ en n₂=-mφ^-1 in φ en n₁=mΦ^-1 en n₂=-mΦ in Φ.

We schrijven de vergelijking nu met onbekende m.

m²+nm-n²=0

m₁=(-n+√(n²+4n²))/2=-n(1-√5)/2=nΦ

m₂=(-n-√(n²+4n²))/2=-n(1+√5)/2=-nφ

De twee mogelijkheden kunnen we dus schrijven als m₁=nφ^-1 in φ en m₂=-nφ en m₁=nΦ en m₂=-nΦ^-1 in Φ.

n²+nm-m²=0

We schrijven de vergelijking eerst met onbekende n.

n²+nm-m²=0

n₁=(-m+√(m²+4m²))/2=-m(1-√5)/2=mΦ

n₂=(-m-√(m²+4m²))/2=-m(1+√5)/2=-mφ

Nu geldt: φ^-1=Φ, dus de twee mogelijkheden kunnen we ook schrijven als n₁=mφ^-1 en n₂=-mφ in φ en n₁=mΦ en n₂=-mΦ^-1 in Φ.

We schrijven de vergelijking nu met onbekende m.

m²-nm-n²=0

m₁=(n+√(n²+4n²))/2=n(1+√5)/2=nφ

m₂=(n-√(n²+4n²))/2=n(1-√5)/2=-nΦ

De twee mogelijkheden kunnen we dus schrijven als m₁=nφ en m₂=-nφ^-1 in φ en m₁=nΦ^-1 en m₂=-nΦ in Φ.

Wanneer we de vergelijkingen uitdrukken in φ of Φ dan komen de symmetrieën ook duidelijk naar voor.

Neem de vergelijking n²-m²-nm=0, en drukt deze uit in φ of φ^-1=Φ

• namelijk (n/m)²-1²-(n/m)=0, of, uitgedrukt in φ, φ²-φ-1=0

• namelijk 1²-(m/n)²-(m/n)=0, of, uitgedrukt in φ^-1, φ^-2+φ^-1-1=0 en dus Φ²+Φ-1=0.

Er geldt dus φ²-φ-1=φ^-2+φ^-1-1 of dus φ²-φ=φ^-2+φ^-1=Φ²+Φ.

De symmetrie is ook duidelijk in de volgende verhoudingen: de vergelijking n²-m²-nm=0 is niet anders dan (n+m)=n²/m of (n-m)=m²/n of (n+m)(n-m)=nm of (n+m)n^-1=(n-m)^-1m of (n+m)m^-1=(n-m)^-1n of (n+m)/(n-m)=n³/m³=φ³.

Het specifieke aan deze relatie is dat een verhouding gemodelleerd wordt met twee getallen n en m en hun som of verschil, er zijn dus vier getallen maar ze zijn met elkaar gerelateerd: n, m, n+m en n-m. De vier getallen kunnen niet vrij van elkaar gekozen worden zoals bijvoorbeeld een willekeurige a, b, c en d die de gelijkvormigheid a/b=c/d kunnen vertonen. In de volgorde n-m, m, n, n+m vormen ze een Fibonacci viertal. We zullen daar verder de gevolgen van onderzoeken.

Combinatie van eenheden

Wat intensiteit is en wat eenheid is kan vrij gekozen worden. We kunnen dus ook intensiteiten beschouwen met de getalwaarde van de eenheden.

We demonstreren dit met de genererende relatie n²-nm-m²=0 met onbekende n en zijn oplossingen mφ en -mΦ waarbij we m als intensiteit beschouwen. Dus als we kiezen voor m=φ dan zijn de oplossingen φ+1 en -1, want φ²=φ+1 en φΦ=1. Dat is niet verschillend als voor de keuze van m=1+φ^-1. Als we kiezen voor m=φ^-1 dan zijn de oplossingen 1 en φ-2 (en deze laatste oplossing is niet anders dan -Φ²).

De genererende relatie van 1+φ

De gelijkvormigheidsrelatie met drie getallen genereert de eenheid 1+φ onder specifieke voorwaarden. Dit kunnen we ook construeren met een geometrische constructie.

Neem een rechthoek met lange zijde a en korte zijde b. Dus b<a. De diagonaal vormt een rechthoekige driehoek met de diagonaal als schuine zijde. Loodrecht op die schuine zijde kunnen we één schuine zijde tekenen die een hoek van de rechthoek, die zich niet op de gekozen diagonaal bevindt, verbindt met een punt op de lange zijde a. Dit punt legt een lengte c vast, kleiner dan de lengte a. Dus c<a. De lengtes b en c vormen een nieuwe rechthoekige driehoek. Doordat de schuine zijden loodrecht zijn en beide driehoeken rechthoekig zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig en dus geldt a/b=b/c.

We hebben verondersteld dat b<a en c<a, we kunnen dus de veronderstelling onderzoeken dat a-c=b. Uit a/b=b/c, dus b²=ac volgt dan dat (a-c)²=ac en dus a²-3ac+c²=0. We beschouwen dat als een vergelijking in de onbekende a. De vergelijking beschouwen in de onbekende c is volledig gelijkaardig. Er zijn twee mogelijkheden:

a₁=(3c+√(9c²-4c²))/2=c(3+√5)/2

a₂=(3c-√(9c²-4c²))/2=c(3-√5)/2

De relatie met de som en product eigenschappen van de oplossingen van de vierkantsvergelijking is duidelijk:

a₁+a₂=3c

a₁a₂=(c(3+√5)/2)(c(3-√5)/2)=c²(9-5)/4=c²

We merken nu op dat c(3+√5)/2=c(1+(1+√5)/2)=c(1+φ) met φ de Gulden Snede verhouding. Dus uit de eigenschap van het product van de wortels van de vierkantsvergelijking volgt dat (3-√5)/2 het invers moet zijn van (1+φ). We kunnen dat als volgt construeren zoals we al in het eerste geval demonstreerden:

De Gulden Snede is de verhouding van (1+√5) tot 2. Er geldt: (1+√5)/2=φ=1,6180339887.

Het invers van de Gulden Snede is 2/(1+√5)=2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=2(1-√5)/(-4)=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

We berekenen nu φ-1=(1+√5)/2-1=(1+√5)/2-2/2=(-1+√5)/2

Uit beide vergelijkingen volgt dat φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2=φ-1=0,6180339887.

(3-√5)/2 schrijven we nu als (4-1-√5)/2 en dus 2-(1+√5)/2=2-φ=2-(φ^-1+1)=(1-φ^-1) en dus geldt dat (1-φ^-1) het invers is van (1+φ).

Er geldt dus:

a₁=c(1+φ)

a₂=c(1-φ^-1)

Dit maakt ook duidelijk dat er voor het product van de oplossingen van de vergelijking geldt dat:

a₁a₂=c(1+φ)c(1-φ^-1)=c²(1-φ^-1+φ-1)=c²(1-φ+1+φ-1)=c²

We kunnen de oplossingen van a²-3ac+c²=0 dus schrijven als

a₁=(3c+√(9c²-4c²))/2=c(3+√5)/2=c(1+(1+√5)/2)=c(1+φ)

a₂=(3c-√(9c²-4c²))/2=c(3-√5)/2=c(1+(1-√5)/2)=c(1-(-1+√5)/2)=c(1-φ^-1) want φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch en dus geldt ook:

c₁=a(1+φ)

c₂=a(1-φ^-1)

c₁+c₂=3a

c₁c₂=a(1+φ)a(1-φ^-1)=a²(1-φ^-1+φ-1)=a²(1-φ+1+φ-1)=a²

Dit maakt duidelijk dat a of c (disjunctie) de rol speelt van intensiteit van verschillende eenheden, enerzijds de eenheid (1+φ), anderzijds de eenheid (1-φ^-1), maar ook kunnen we dit interpreteren als dezelfde eenheid “a of c” (disjunctie) met twee verschillende intensiteiten, enerzijds de intensiteit (1+φ), anderzijds de intensiteit (1-φ^-1).

De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch maar dat geldt niet voor de waarden die we kunnen kiezen: <<de waarde van c kunnen we enkel vrij kiezen tussen 0 en a>> of <<de waarde van a kunnen we enkel vrij kiezen tussen 0 en c>>. Omdat we nu waarden invullen is deze disjunctie een exclusieve disjunctie.

Bij de keuze c=0 volgt uit a-c=b dat a=b en uit b²=ac dat er geldt dat b=0 en dus a=b=c=0. Bij de keuze c=a volgt uit a-c=b dat er geldt dat b=0 en uit b²=ac dus dat a=b=c=0. Nochtans is hier meer aan de hand. Uit b²=ac volgt dat (a-c)²=ac en dus a²-3ac+c²=0 en dat is enkel een tautologie als c=a=0 en die tautologie vinden we ook terug in de vier mogelijkheden: a₁=a(1+φ) en a₂=a(1-φ^-1), c₁=c(1+φ) en c₂=c(1-φ^-1), waarbij we de eenheden (die een intensiteit hebben gelijk aan nul) niet meer wegmoffelen, we tonen ze nog steeds expliciet. De vier mogelijkheden vormen dus een disjunctie.

We kunnen dit beter begrijpen wanneer we ook andere veronderstellingen onderzoeken.

Veronderstellen we nu dat c=b:

Dus a/b=a/b

Dus b/c=1

a/b=b/c wordt dan a/b=1

a²-3ac+c²=0 wordt dan a²-3ab+b²=0

a₁=b(1+φ)

a₂=b(1-φ^-1)

Nog meer verhelderend kunnen we nu een relatie veronderstellen waarbij a noch c gelijk kan zijn aan nul: c=1/a, en we zien dat dit voldoet aan de eis dat 0<c<a, dat is een waarde die we kunnen kiezen. Dus we veronderstellen dat a-1/a=b

Dus a/b=a/(a-1/a)

Dus b/c=(a-1/a)a

a/b=b/c wordt dan a/(a-1/a)=(a-1/a)a of (a-1/a)²=1 of (a²-1)²=a² en dus:

a⁴-3a²+1=0

a₁²=(1+(1+√5)/2)=(1+φ)

a₂²=(1+(1-√5)/2)=(1-φ^-1)

a₁²+a₂²=3

a₁²a₂²=(1+φ)(1-φ^-1)=1

Deze veronderstelling construeert dus de beide eenheden die in de vier mogelijkheden een intensiteit krijgen. De vier mogelijkheden worden dus geconstrueerd als de “dubbelgetallen” +(1+φ), -(1+φ), +(1-φ^-1) en -(1-φ^-1).

Als we hetzelfde patroon volgen maar dan met een som (a+1/a) zijn de oplossingen complexe getallen.

Dus a/b=a/(a+1/a)

Dus b/c=(a+1/a)a

a/b=b/c wordt dan a/(a+1/a)=(a+1/a)a of (a+1/a)²=1 of (a²+1)²=a²

a⁴+a²+1=0 waaruit volgt dat a² twee oplossingen kent de “dubbelgetallen” (-1/2±i√3/2) met i=√-1.

Vier eenheden

De betekenis daarvan wordt duidelijk als we nog eens een stap terug zetten.

De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch maar dat geldt niet voor de waarden die we kunnen kiezen: een van de twee parameters moet groter zijn dan nul en groter dan de andere of een van de twee parameters moet kleiner zijn dan nul en kleiner dan de andere. We realiseren dat met de veronderstelling dat een van de parameters de inverse is van de andere, bijvoorbeeld c=1/a. Dit interpreteren we nu als een normalisatie door gebruik te maken van het grootste getal om een eenheid te construeren en enkel maar veelvouden van dit kleinste getal als intensiteiten te veronderstellen. De eenheid c=1/a genereert immers de vergelijking a⁴-3a²+1=0 met de twee oplossingen a₁²=(1+φ) en a₂²=(1-φ^-1) zodanig de vergelijking vier oplossingen heeft: +(1+φ), -(1+φ), +(1-φ^-1) en -(1-φ^-1) die we als eenheden beschouwen die een intensiteit kunnen krijgen zodanig dat voldaan is aan a₁²+a₂²=3 en a₁²a₂²=1. Noteer dat 3 een priemgetal is dat enkel te schrijven is als een verschil van kwadraten, niet als een som van kwadraten.

Neem nu de intensiteit x van de eenheid 1/a (met 0<x<a) dan wordt c=x/a en dan wordt a²-3ac+c²=0 niet anders dan a⁴-3xa²+x²=0, een vergelijking zodanig dat a₁²+a₂²=3x=x(1+φ)+x(1-φ^-1) en a₁²a₂²=x².

Machten van φ

Wat speciaal is aan de verhouding φ is dat al de machten die zo ontstaan sommen zijn als “dubbelgetallen” en voldoen aan de recursieve Fibonacci formule: φ^x+1=φ^x+φ^x-1. Dus de som van twee opeenvolgende machten van φ geeft de volgende macht. Voor de reciproque machten is dat het verschil: φ^-(x+1)=φ^-x-φ^-(x-1).

We herkennen een Fibonacci viertal in φ-1, 1, φ, φ+1, viertal dat gelijk is aan φ^-1, 1, φ, φ². Het getal dat volgt op φ+1 is dan φ+(φ+1)=2φ+1 en dit is niet anders dan het getal dat volgt op φ², namelijk φ³. Het getal dat voor φ-1 komt is 1-(φ-1)=2-φ en dit is niet anders dan het getal dat voor φ^-1 komt, namelijk φ^-2. De volgende reeks is dus een Fibonacci reeks:

…, φ^-n, …, φ^-2,φ^-1, φ⁰, φ¹, φ², …, φⁿ, ...

Daarenboven herkennen we ook de Fibonacci reeks in de getallen van beide elementen van de koppels (x, y) met patroon ((x-1)φ+y) van de sommen die zo ontstaan:

φ¹=φ+0.

φ²=φ+1.

φ³=2φ+1.

φ⁴=3φ+2.

φ⁵=5φ+3.

φ⁶=8φ+5.

…

φ^-1=φ-1.

φ^-2=-(φ-2).

φ^-3=2φ-3.

φ^-4=-(3φ-5).

φ^-5=5φ-8.

φ^-6=-(8φ-13).

...

Dat betekent dat er geldt dat voor even x: φ^x+φ^-x= geheel getal en voor oneven x: φ^x-φ^-x= geheel getal. De getallen vormen een nieuwe reeks met het Fibonacci patroon:

Machten van φ als basis van een binaire representatie

Er kan een talstelsel geconstrueerd worden met de gulden snede als basis. Het is een positiestelsel waarin elk niet-negatief reëel getal kan worden voorgesteld door een reeks van machten van de gulden snede zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende machten van φ voorkomen (want de som van twee opeenvolgende machten van φ geeft de volgende macht). Het gevolg hiervan is dat in de φ-representatie met enkel 1 en 0 er altijd kan voor gezorgd worden dat een patroon van opeenvolgende 1111… niet voorkomt. Dit is een opvallende eigenschap in het licht van de binaire vertaling van het haakformalisme, waarbij het patroon van opeenvolgende 1111… wel voorkomt.

Een voorbeeld voor enkele natuurlijke getallen, merk op dat de representatie op een 1-splitsing koppel gelijkt:

Φ in een onderscheidingen universum

We hebben gezien dat het product φ×Φ=φ×φ^-1=1. De genererende vergelijkingen voor φ en Φ hebben we uitgebreid bestudeerd. Ze hebben het patroon n²±nm-m²=0. We hebben geen grenzen moeten veronderstellen aan m of n. Dus m of n kunnen de reële intensiteit zijn van een willekeurige eenheid die we 1 noemen en die het bestaan van een invers zinvol maakt. We hebben gezien dat er twee inversen zijn: er geldt ook dat het product (1+φ)×(1-φ^-1)=1. De genererende vergelijkingen voor (1+φ) en (1-φ^-1), die fundamenteel verschillen van de eerste, hebben we eveneens uitgebreid bestudeerd. Ze hebben het patroon n²-3nm+m²=0 en de oplossing als reëel getal veronderstelt dat een van de parameters strikt tussen 0 en de andere ligt. Deze vergelijkingen modelleren dus een begrenzing. Dus een van de twee getallen moet kleiner zijn dan het andere.

De vier getallen φ, φ^-1, (1+φ) en (1-φ^-1) zijn dubbelgetallen.

Enkel het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding maakt het mogelijk om een invers te construeren waarbij het invers van h niet meer h zelf is en er twee verschillende eenheden kunnen onderscheiden worden. De gulden snede modelleert dus de eenheden van een creatief product en we kunnen dat nu gemakkelijk herkennen als het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding. De genererende vergelijking van de eenheden is de invariantie van de verhouding (n+m)/n=n/m of dus n²-m²-nm=0, die we ook kunnen schrijven als (n-m)/m=m/n. Dit herkennen we in het haakformalisme als de equivalentie van twee verhoudingen, een in een onderscheidingen universum met n onderscheidingen, een in een onderscheidingen universum met n+1 onderscheidingen. In het eerste geval is het de “diepte” m (metrische afstand van een niveau in de tralie tot het atoom niveau) tot het aantal onderscheidingen, dus m/n. In het tweede geval is het aantal onderscheidingen tot de complementaire diepte n+m in een tralie met een “laatst toegevoegde onderscheiding” (en dus een dubbel aantal atomen), dus n/(n+m).

We kunnen Φ nu als een eigenwaarde (intensiteit van verandering van een universum) interpreteren: Φ=k=0,6180339887 en hieruit volgt dat 1+k=φ en 1-k=φ^-2=0,3819660113=2-φ. Dus de cumulatie van de positieve feedback wordt geconstrueerd vanuit positieve machten van φ, de negatieve feedback vanuit het kwadraat van negatieve machten van φ. De intensiteit die bereikt wordt na n stappen met de eigenwaarde Φ is voor positieve feedback dus φⁿ en voor negatieve feedback dus φ^-2n. De som van positieve feedback (dus φⁿ) en van negatieve feedback (dus φ^-2n) na één stap (dus n=1) is φ¹+φ^-2 en aangezien φ^-2=-(φ-2) is deze som niet anders dan φ-(φ-2)=2. Dit geldt natuurlijk voor elke keuze van eigenwaarde (aangezien voor een willekeurige k geldt dat (1+k)+(1-k)=2). De opeenvolgende intensiteiten in het proces van deze som (φ¹+φ^-2)ⁿ=2ⁿ komen overeen met het aantal simultane punten in een tralie (zie de paragraaf “partiële orde”) bij het doorlopen van de tralie van niveau tot niveau. Juist dat is wat we een spontaan proces genoemd hebben dat gemodelleerd wordt door de toenemende disjunctie x_n van elkaar uitsluitende atomaire toestanden gelabeld met de stappen van de “eigen tijd” (wat hier betekent dat bij een volgende stap een volgend niveau wordt bereikt, de onvermijdelijkheid van ervaren). De eigen tijd t is niet anders dan het aantal onderscheidingen t die het aantal atomen genereert, namelijk 2^t, en is dus een vrijheidsgraad van een agens in context.

Dus met de keuze Φ=k=0,6180339887 doorloopt de positieve feedback alle niveaus in een tralie (elke stap n, onvermijdelijk in het grootste universum) maar de negatieve feedback enkel de even niveaus (enkel de stappen 2n), en dat zijn de enige niveaus waar zich entiteiten kunnen bevinden. Het proces van negatieve feedback doorloopt dus een tralie met één onderscheiding minder dan de tralie van positieve feedback en het proces is de som van beide processen. We hebben al aangetoond dat het proces dat gemodelleerd wordt door de som van positieve en negatieve feedback bij elke stap een spontaan proces is. Dus voor de specifieke keuze van de verhouding van de Gulden Snede zullen zowel gedrag (van entiteiten, de laatst toegevoegde onderscheiding, noodzakelijk voor alle oneven niveaus) als de telbare (gehele getallen) entiteiten zelf gemodelleerd worden die dat gedrag vertonen. Mits een beetje zoeken, zijn er dus sporen met de relatie Φ (dus sporen van gedrag van entiteiten) en dus de Gulden Snede te vinden als de onvermijdelijke verhouding die ontstaat in spontane processen die telbare entiteiten genereren, processen dus die enkel door een inwendige dynamiek bepaald worden, processen die een externe agens laat gebeuren.

Dus telkens wanneer we een telbaar aantal entiteiten waarnemen kunnen we veronderstellen dat er een feedback proces kan gevonden worden dat deze getallen genereert waarin de intensiteiten van positieve en negatieve feedback gesommeerd worden vanaf de eerste stap en dat de beide processen gebaseerd zijn op één eigenwaarde: de verhouding Φ. Deze veronderstelling is onvermijdelijk en modelleert een specifiek spontaan proces, toename van onzekerheid en toename van de waarschijnlijkheid dat een (doelgerichte) agens actie zal ondernemen. Er is dus helemaal niets doelgericht aan de Gulden Snede zelf maar aan de negatieve feedback met Φ die entiteiten (invarianten) genereert. Er is niets speciaal aan de Gulden Snede in die zin dat elk koppel processen (positieve feedback, negatieve feedback) met dezelfde eigenwaarde k (eventueel verschillend van Φ) in staat is een spontaan proces te modelleren. Het centraal inzicht is om duidelijk het verschil te maken tussen wat men de eenheid noemt en wat men de intensiteit noemt bij een operatie waarin beide dezelfde rol kunnen vervullen. Om het gedrag van stabiele entiteiten te modelleren moeten we twee eenheden modelleren die aan elkaar gerelateerd zijn, een eenheid in n onderscheidingen en een eenheid in n+1 onderscheidingen. Beide zijn aan elkaar gerelateerd maar de relatie is asymmetrisch: een universum in n onderscheidingen kan in n+1 onderscheidingen gemodelleerd worden maar omgekeerd kan dat wel maar hoeft dat niet zo te zijn. Er is hoe dan ook een limiet en een “grootste onderscheidingen universum”.

De Gulden Snede is niet alleen gebaseerd op verhoudingen van slechts twee getallen n en m en is dus niet alleen een specifieke invulling van een algemener patroon met een constante eigenwaarde k, maar de Gulden Snede is de keuze voor een specifieke verhouding die een schaalverandering teweeg kan brengen in die zin dat de verandering zowel het kwantitatief gedrag in hoogste universum invariant laat als het aantal entiteiten die dat gedrag vertonen (op de verschillende even niveaus, of ze nu al een naam gekregen hebben of niet).

Een proces met enkel getallen dat de rij van Fibonacci produceert is een voorbeeld van zo’n spontaan proces.

De Gulden Snede in energetische context

We expliciteren nu de relatie van de keuze van Φ=k=0,6180339887 met de invariant “energie”, dus met de eigenwaarde κ van de processnelheid κ=μ/ν=(A⊕A₀)_(t+Δt)/(A⊕A₀)_(t). De intensiteit κ meet hoe groot de telbare verhouding is tussen de intensiteiten van twee gecollapste haakuitdrukkingen, namelijk twee verschillende simultaneïteitsintervallen van een toestand met een vaste referentietoestand (dat is dus het verschil dat een verschil maakt) die binnen die beperking waargenomen wordt.

Bij het onderzoeken van het behoud van een verhouding die we relativistische energie noemen hebben we de volgende keuze gemaakt: ν/μ=(1-(v/c)²)^-1/2. We kunnen nu de veronderstelling ν/μ=(1-(v/c)²)^-1/2 verder onderzoeken. We stelden κ=μ/ν (en dus ν/μ=1/κ=(1-(v/c)²)^-1/2) en nu stellen we v/c=λ. Manipulaties met deze symbolen zouden kunnen verwarring generen (de griekse ν is bijna niet te onderscheiden van de latijnse v). We hercoderen daarom naar κ=m/n en λ=v/c. We beschikken nu over twee verhoudingen waarbij de teller kleiner of gelijk is aan de noemer: een verhouding m/n van een aantal identieke bits tot het totaal aantal bits in een grootste universum, en een verhouding v/c van een verschil tussen twee toestanden tot een maximaal verschil tussen twee toestanden. Deze verhoudingen hebben een relatie tot elkaar die de maximale relativistische energie uitdrukt. We veronderstelden immers κ=(1-λ²)^1/2 of dus κ²=(1-λ²)⁺¹ of dus κ²+λ²-1=0. Dit is niet anders dan het patroon van de gulden snede: κ²±κ-1=0 als we kunnen veronderstellen dat κ=±λ², waarmee twee verhoudingen uit twee verschillende universa aan elkaar gelijk zijn. De veronderstelling impliceert dat κ²=λ⁴ en er geldt ook dat κ²=(1-λ²), dus λ⁴=(1-λ²). Dit is niet anders dan de veronderstelling λ⁴+λ²-1=0 en dat betekent dat ook λ² de relatie heeft van de Gulden Snede.

We hebben aangetoond dat een proces met de simultane som van positieve feedback en negatieve feedback na één stap (bijvoorbeeld met een eigenwaarde κ) een spontaan proces modelleert. Dat geldt dus ook voor deze specifieke eigenwaarde κ=m/n=(-1+√5)/2=0,6180339887=Φ. Het is dat proces dat naast het gedrag van entiteiten ook de telbare entiteiten zelf modelleert. Er geldt dan m/n=±v²/c². Hierin kunnen we als variabel de getallen m en v veronderstellen en als constant de getallen n en c. Dus het aantal gemeenschappelijke bits m en de kwadratische snelheid v² (die zich gedraagt als een tijdsparameter) veronderstellen we als zijnde evenredig. De kwadratische snelheid kunnen we in zijn abstractie als processnelheid ook interpreteren als een kwadratisch vermogen.

Om dit te interpreteren kunnen we hier de minimale voorwaarden introduceren voor de klassieke hypothese, namelijk m=2 en n=4, en de grootte van het grootste onderscheidingen universum als de invariant voor de hele tralie, M. Er geldt dan met m/n=±v²/c²: 1/2=±v²/c² of 2v²=±c² dan geldt in dit geval 2(M/2)v²=±Mc². Hierin herkennen we Mc² als de maximale energie die beperkt wordt door de snelheid van informatieoverdracht met materiële sporen die door een laatst toegevoegde onderscheiding gegenereerd worden (sporen met massa, sporen in dat grootste onderscheidingen universum). De term Mv² is een potentiële energie, de potentiële energie van een massa M die rond een grotere massa M' cirkelt en daardoor een lokaal evenwicht modelleert. Het aantal toestanden in dat universum wordt gegeven door M/2, de helft van het aantal toestanden in het grootste universum (en dit betekent dat het grootste universum een universum is met één onderscheiding meer).

De Gulden Snede en (proces)snelheid

Er geldt voor n/m=φ of dus m/n=Φ: (n+m)/(n-m)=n³/m³=φ³ en ook (n-m)/(n+m)=m³/n³=Φ³.

Deze laatste vergelijking interpreteren we als de verhouding van een verschil (n-m) tot een som (n+m). Die som modelleert een maximale som (maximaal in die bepaalde context). Veronderstellen we een klassieke snelheid waarbij de noemer de tijd voorstelt die enkel kan toenemen en dus nu een maximum bereikt heeft en veronderstellen we dat Φ dezelfde intensiteit en eenheid is op elke ruimtelijke dimensie dan is die processnelheid een volume: de expansiesnelheid van een driedimensionaal heelal (of het onderscheidingen universum gemodelleerd als bol). Dit is maar een van de relevante interpretaties, we zouden hetzelfde patroon zien als het vermogen (energiedensiteit met in de noemer het aantal vrijheidsgraden die enkel toenemen en dat hoeft niet gerelateerd te zijn met een ruimtelijke dimensie).

Dit geeft dus een speciale verhouding aan een begrensde eigenwaarde, eigenwaarde waarmee we altijd een Lorentz transformatie kunnen uitvoeren en we tonen daar aan dat dit enkel geldt voor een uniek (punt)evenwicht dat we moeten verbinden met straling (met de Lorentz invariant gelijk aan 0).

De Gulden Snede en versnelling

De versnelling bij aantrekking en afstoting is een som van twee componenten, een afhankelijk van de Lorentz invariant m en een niet afhankelijk van m. De component die niet afhankelijk is van m is gelijk aan nul onder de voorwaarde n₀n₂=n₁² en dit kunnen we modelleren met het introduceren van de constante verhouding k. We veronderstellen dat er geldt dat n₀=n₁k en n₂=n₁/k. Dus n₀/n₁=k en n₁/n₂=k. Dan is de versnelling nul voor de component die niet afhankelijk is van m, er is geen kracht die door die component gegenereerd wordt en zoals we gezien hebben komt dit overeen met een spontane evolutie met een vaste eigenwaarde. Een spontane evolutie “oefent geen kracht uit”, “transformeert geen energie”, “levert noch kost energie” ondanks het gegeven dat er een schaalfactor is die als constante snelheid kan geïnterpreteerd worden en er wel degelijk een vermogen kan gemeten worden.

Φ=k=0,6180339887 en hieruit volgt dat 1+k=φ en 1-k=φ^-2=0,3819660113=2-φ.

k=φ-1

k^-1=(φ-1)^-1=φ

Neem nu n₀=n₁k en n₂=n₁/k en vertaal: n₁=φn₀ en n₂=φn₁, dus de gulden snede modelleert een specifieke spontane evolutie met eigenwaarde k=φ-1, dus ((n+m)/n)-1 en dit is Φ=k=m/n.