Getallen komen in twee soorten voor.

We zullen nu aantonen dat al de getallen die gebruikt worden om structuur te coderen en de metrische eigenschappen van niveauverschillen bewaren een gemeenschappelijk patroon vertonen, patroon dat te herkennen is als de relatie van simultaneïteit. We zullen hiervoor het bitmodel gebruiken en de lengte van de bitstring moet geen macht zijn van 2 en we gebruiken als voorbeeld een gewone som van bits.

De som van hoog-bits en laag-bits is een maat voor de diepte van de welgevormde haakuitdrukking in een tralie. Aangezien in een som een plus-bit en een min-bit elkaar zullen opheffen zal dit getal dus ofwel nul, ofwel positief ofwel negatief zijn. Dit getal is nul voor alle punten op centraal niveau, dit getal is maximaal voor de extrema, en het getal is altijd even (of nul als de som van de maximale bitstring even is) ofwel oneven (of 1 als de som van de maximale bitstring oneven is). Hierbij gaat er telkens heel veel structuur informatie verloren want alle punten op zelfde niveau worden door hetzelfde getal gerepresenteerd, en toch kan simultaneïteit waargenomen worden doordat verhoudingen kunnen behouden blijven. Dit gaan we hieronder expliciteren.

Elke haakuitdrukking in binaire voorstelling (de haakuitdrukking hoeft dus niet welgevormd te zijn) kan op een willekeurige manier in twee delen gesplitst worden, bijvoorbeeld kan 100101110 gesplitst worden in 10010.1110 waarbij het typografisch punt de splitsing geeft. We gebruiken hier bewust geen aantal bits dat overeenkomt met een 2n, om de algemeenheid van de redenering te ondersteunen. Deze splitsing kunnen we in zijn algemeenheid als 1-splitsing bestuderen, namelijk (10010, 1110). Inderdaad: beide delen hoeven niet als punten van een universum begrepen te worden, laat staan van hetzelfde universum. De bits kunnen dan gesommeerd worden en in dit concrete voorbeeld wordt links van het punt het getal -1 bekomen en rechts van het punt het getal +2. Deze sommen zijn een maat voor de diepte van het punt in de (deel)tralie die door de bits opgespannen wordt, links zijn er meer laag-bits dan hoog-bits en rechts zijn er meer hoog-bits dan laag-bits. Er zijn natuurlijk een ongekend aantal bitstrings die door beide getallen kunnen gerepresenteerd worden maar deze willekeurige splitsing geeft de mogelijkheid een eigenschap van getalkoppels te construeren die rechtstreeks afgeleid is van simultaneïteit zoals deze in het haakformalisme gedefinieerd werd. Dit is gemakkelijk met een voorbeeld in te zien: neem terug het punt 10010.1110 in de tralie opgespannen door 9 bits. Een fijner punt in 9 bits is 10000.1110, een ander fijner punt is ook 10010.0010 (in beide delen is de som van de getallen gelijk of kleiner dan de som van de getallen van 10010.1110), een ruimer punt is 11110.1110 en een ander ruimer punt is ook 10010.1111 (in beide delen is de som van de getallen gelijk of groter), maar indien dat niet zo is, is er geen simultaneïteit. Bijvoorbeeld: 10011.0110 is niet gerelateerd aan 10010.1110 door simultaneïteit (in bits is dit gemakkelijk te controleren en dit wordt vertaald in getallen doordat in het linker deel de som meer positief is en in het rechterdeel de som meer negatief is). Hierin herkennen we natuurlijk dat de afstand tussen twee punten in een tralie op een unieke manier tweedimensionaal is.

Dit inzicht kunnen we nu visueel voorstellen.

We beschikken over een relatie tussen twee getallen x en f(x) die een rechtstreeks gevolg zijn van een 1-splitsing en de relatie van simultaneïteit en we kunnen alle koppels die voldoen aan dezelfde relatie aanduiden als (x, f(x)). De 1-splitsing heeft dus gezorgd voor twee onafhankelijke dimensies (die wel gerelateerd zijn naar de oorspronkelijke splitsing, maar op zich een nieuwe splitsing kunnen ondergaan onafhankelijk van elkaar) en op die dimensies kunnen we intensiteiten weergeven zoals dit klassiek gedaan wordt met een scalaire vermenigvuldiging en dit kan grafisch voorgesteld worden. Noteer dat de veronderstellingen van een scalaire vermenigvuldiging precies moeten onderzocht worden, wat impliceert dat een verschil moet gemaakt worden tussen getallen die wel kunnen gekozen worden (vermenigvuldigen en delen met gehele getallen) en getallen die enkel kunnen gebeuren.

Eén willekeurige opsplitsing van bitstrings met een ongekende lengte, maar opsplitsing op dezelfde positie leidt dus tot een grafische voorstelling in een tweedimensionale metrische ruimte, en relaties tussen getallen kunnen dan voorgesteld worden als een verzameling koppels. Een relatie die een constante verhouding uitdrukt noemen we een lineaire relatie en kunnen we voorstellen door een rechte. De lijn geeft de “verzameling” van koppels die in dezelfde relatie staan tot elkaar, conventioneel noemen we deze relatie f(x) als we met x het getal nemen dat de som is van de bits in een van beide delen en dus beschouwen we de koppels (x, f(x)). Een rechte wordt gedefinieerd door twee punten, stel (x0, f(x0)) en (x1, f(x1)), en een rechte die door de punten (x0, f(x0)) en (x1, f(x1)) gaat wordt gegeven door de koppels (x, f(x)) die voldoen aan de vergelijking (f(x)-f(x0))(f(x)1-f(x0))-1=(x-x0)(x1-x0)-1. Deze vergelijking geeft duidelijk weer dat hiermee een verhouding gemodelleerd wordt. Met toenemende x kan f(x) ofwel toenemen of afnemen. Dit wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. Hieronder zijn twee rechten aangegeven met tegengestelde richtingscoëfficiënt die elkaar in één punt, namelijk (4, 1), snijden.


Elke rechte splitst het vlak in een gedeelte onder en boven die rechte. Die deelvlakken onderscheiden zich doordat de koppels in die deelvlakken ofwel in het positieve halfvlak liggen ofwel in het negatieve halfvlak. In het gebied boven de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte van de 1-splitsing positief zijn, in het gebied onder de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte negatief zijn. Enkel koppels in die gebieden kunnen door de relatie van simultaneïteit met elkaar verbonden zijn. De koppels in de twee andere kwadranten kunnen dat niet. Hiermee hebben we dus een visueel aantrekkelijk model voor de relatie van simultaneïteit en de tweedimensionale afstand tussen twee punten in een tralie.

Maar hierbij hoort ook een waarschuwing. Een interpretatie van de assen als “een ruimte x” versus “een tijd ct” (met c de lichtsnelheid, een vaste verhouding zodanig dat ct de dimensie heeft van een ruimte), wordt een Minkowski diagram genoemd en kan dus de voorwaarden voor de inzichten van het Minkowski diagram (re)construeren zolang ons begrip van het Minkowski diagram maar geen a priori is. Het moet duidelijk zijn dat die klassieke interpretatie slechts een voorbeeld is van een veel abstractere interpretatie die we hier nu ontwikkelen. Het koppel (x, f(x)) is een invariant die een intensiteit kan krijgen. Een constante verhouding kan geïnterpreteerd worden als een constante snelheid, of een constante versnelling, of een constante densiteit, of een constante druk, of een constante concentratie, of een constante waarschijnlijkheid, of een constante andere al dan niet materiële relatie die als verhouding kan uitgedrukt worden…, waarbij het meest primitieve de constante verhouding is van een toevoeging (of afname) van een onderscheiding ten opzichte van alle onderscheidingen (en dus een welbepaalde spontane evolutie in de tijd van een agens-in-context) die we een processnelheid genoemd hebben.

Op dit moment moeten we dus aan de verleiding weerstaan om één van die interpretaties te kiezen tot we het model echt begrepen hebben dat we nu geconstrueerd hebben. Zoals we zullen zien heeft dit alles te maken met simultaneïteit.

Interpretatie

In het haakformalisme kan zeer precies bestudeerd worden wat de gevolgen zijn van het willekeurig splitsen van een bitstring in twee delen (door het 1-splitsing model). Het is ook duidelijk dat er een onbeperkt aantal willekeurige splitsingen mogelijk zijn en dat deze niet gestructureerd hoeven te gebeuren, in tegenstelling met de splitsing universa in het haakformalisme (die verdubbeling of halvering zijn) en die gegenereerd worden vanuit een initiële onderscheiding en een laatst toegevoegde onderscheiding. Wanneer men willekeurige splitsingen introduceert zal men enkel maar het operationeel begrijpen moeilijker maken.

In het haakformalisme is de interpretatie van een rechte in het diagram als volgt: de punten van de rechte sluiten elkaar uit en de rechte stelt een van de vele mogelijke splitsingen in een welgevormde haakuitdrukking voor, die de uitdrukking is van een nieuwe entiteit die een intensiteit kan hebben: een verhouding of evenredigheid van getallen (f(x)-f(x0))(f(x)1-f(x0))-1=(x-x0)(x1-x0)-1. Een translatie volgens een rechte verandert de evenredigheid niet. Laten we hiervan een voorbeeld geven: de mogelijke splitsingen voor <<a><b>> (of in bitstring 1110) zijn: (+3, -1) of (+2, 0), of (+1, +1) afhankelijk van waar de splitsing gelegd wordt. Laten we kiezen voor het eerste koppel, dus voor een splitsing 111.0. Het koppel 4(+3, -1) of dus (+12, -4) zal dan in bitstring door de splitsing 111111111111.0000 voorgesteld worden, een bitstring van 16 bits. We kunnen ons ook inbeelden dat we “geen splitsing” leggen en dit voorstellen als de splitsing 1110.x of x.1110. “Zonder” dat een splitsing gelegd wordt zouden we dan 1110111011101110 bekomen hebben, een bitstring van 16 bits die de uitdrukking is van <<a><b>> in een vier onderscheidingen universum. Het koppel 5(+3, -1) zal dan de bitstring van 20 bits opleveren 111111111111111.00000 enz…. Wanneer we echter zouden kiezen voor het tweede koppel, dus voor de splitsing 11.10 dan zal een bitstring van 16 bits door 4(+2, 0)=(+8, 0) voorgesteld worden of dus 11111111.10101010 en voor het koppel (+1, +1) bekomen we dan 1111.110110110110 of het koppel (+4, +4)=4(+1, +1).

De coëfficiënten van de koppels zijn gehele getallen en in het haakformalisme hebben we daar een heldere interpretatie voor. We hebben immers een notatie voor onbekend lange bitstrings (het symbool met guillemets) gebruikt voor de voorstelling van een bitstring in een hoger universum, in het geval van <<a><b>> dus «+1+1+1-1» of «<<a><b>>» of «Z». We hebben ook een nieuwe notatie ontwikkeld voor splitsingen: als «p» een punt (of patroon) is van het universum met 2n bits, dan is “de splitsing” «p,p» een punt van het universum met 2×2n bits, dus 2n+1 bits. Dit is dus (p⊗p)x niet verschillend van p waarin we de x door een getal vervangen want indien we «p» willen kunnen uitdrukken dan kunnen we dat doen door (p⊗p)1, en «p,p» door (p⊗p)2, en «p,p,p,p» door (p⊗p)4 enz... en daarbij kan geen verwarring ontstaan omdat p ongekend lang blijft. In het algemeen kunnen we dus een ongekend lange bitstring p noteren als (p⊗p)x waarbij het getal x staat voor een gekozen lengte van het repeteren van de ongekende bitstring. (p⊗q)x is dan de uitdrukking voor een 1-splitsing met twee verschillende termen. Al deze voorstellingen van p in grotere universa worden gekarakteriseerd doordat de toegevoegde onderscheiding niet ingebouwd wordt in de tralie van p en doordat de toegevoegde onderscheiding dus kan beschouwd worden als een laatst toegevoegde onderscheiding ℵ die enkel nodig is om de (grootte van) universa van elkaar te onderscheiden waarin het blijvend patroon p is. De variabele is dus de grootte van het onderscheidingen universum, de invariant is de ongekende p.

Vanuit het haakformalisme is dus duidelijk dat, als we kijken naar een rechte in het bovenstaand diagram (en zo zijn er ongekend veel), we eigenlijk kijken naar een constante verhouding en een variabele ℵ. Voor één rechte kijken we daarenboven, langs een 1-splitsing (de twee metrische assen) naar verschillende invariante onbekende welgevormde haakuitdrukkingen op eenzelfde diepte in een tralie (want ze hebben dezelfde som, ze hebben hetzelfde patroon) en dat in een variabel universum (de rechte zien we onvermijdelijk in een interval met een variabele, misschien onbeperkte, lengte). Met al die onbekenden kijken we dus naar een potentiële werkelijkheid vanuit een standpunt (0, 0), maar een werkelijkheid die niet anders zou zijn indien we het standpunt zouden veranderen naar (4, 1). Dit is een “indien… dan...” constructie en de interpretatie van (0, 0) is dan dat de welgevormde haakuitdrukking (potentieel) die we kunnen veronderstellen dan een waarde krijgt en dus een ervaren of gecollapste haakuitdrukking wordt. In de hypothese dat het getal een som van betekende bits is, is duidelijk dat het standpunt (0, 0) voor elke term van het koppel door een haakuitdrukking op centraal niveau weergegeven wordt. Inderdaad is dat het niveau waarbij elke welgevormde haakuitdrukking hetzelfde aantal hoogbits en laagbits heeft en elke bitstring op dat niveau kan in twee delen gesplitst worden waarin de termen een som gelijk aan 0 opleveren, behalve voor de laatst toegevoegde onderscheiding die een som oplevert van een macht van 2 met tegengesteld teken. Maar de laatst toegevoegde onderscheiding wordt gecodeerd in de 1-splitsing en de intensiteit van ℵ wordt beperkt door de gekozen lengte van de assen.

Het centraal niveau is het niveau van de zelfduale onderscheidingen en is ook het niveau met het hoogste aantal welgevormde haakuitdrukkingen en als we dus willen weten welke haakuitdrukking nu “het standpunt” kan modelleren dan moeten we daar één van kiezen en dat is een keuze met de kleinste waarschijnlijkheid, wat een goede modellering is voor het feit dat die keuze eigenlijk willekeurig is en we dus achteraf wel zien wat deze was. Aangezien we altijd iets kunnen kiezen en iets anders moeten laten gebeuren (het centraal axioma) kunnen we daarom één van de assen beschouwen als de totale ordening van een te kiezen eenheid, en de andere as kunnen we beschouwen als een totale ordening van een eenheid die enkel kan gebeuren als de te kiezen eenheid gekozen wordt. In de standaard taal is het bedrieglijk eenvoudig om het centraal axioma uit te drukken. Wat kan helpen om de dualiteit concreet te maken is dat dit verschil goed gemodelleerd wordt door ook een rechte parallel met de assen. Neem bijvoorbeeld het standpunt (4, 1). Een rechte parallel met de f(x) as in dat standpunt wordt gemodelleerd door (4, f(4)) en f(4) kan gelijk welk getal zijn, er is dus geen specifieke f bedoeld. Dat betekent dus dat we enkel kiezen voor de x maar dat er dan een willekeurig getal kan blijken als gevolg van een relatie tussen x en f(x). Een rechte parallel met de x as in dat standpunt wordt gemodelleerd door (g(1), 1) en g(1) kan gelijk welk getal zijn. Dat betekent dus (met enigszins andere woorden in de standaard taal) dat we wel kiezen voor f(x) maar dan “de vrije keuze hebben” voor een relatie tussen f(x) en g(f(x)). De vrije keuze hebben betekent dat we niet moeten kiezen. Een vrije keuze hebben kan je enkel maar bewijzen door niet te kiezen, door iets te laten gebeuren vanuit de overtuiging “Ik had ook kunnen kiezen voor...” en de drie puntjes staat iets anders dat je kan bedenken.

Het zelfduale punt (centraal niveau) dat we effectief kunnen innemen, waarbij de som dus 0 wordt heeft dus voor een rechte parallel met een van de assen een willekeurige invariante relatie met de andere term van het koppel. We zouden dus geen verband kunnen vaststellen tussen de keuze voor een onderscheiding gemodelleerd door één deel van het koppel en een keuze voor een onderscheiding gemodelleerd door het andere deel van het koppel. De tralie die opgespannen wordt mede door de te ervaren onderscheiding van het ene koppel heeft geen invariante relatie met de tralie die opgespannen wordt mede door de te ervaren onderscheiding van het andere koppel. We hebben hoger aangetoond dat dit overeenkomt met “eigenlijk geen splitsing” aanbrengen: er is maar één relevante tralie, geen relatie tussen twee tralies, relatie die door een laatst toegevoegde onderscheiding mogelijk wordt. Inderdaad, in het haakformalisme kunnen we een koppel ook als een concatenatie beschouwen die met dit diagram dan geïnterpreteerd wordt.

De assen modelleren dus onzekerheid of onbepaaldheid die afhankelijk is een bepaalde keuze. Het is enkel als voor de twee acties, voor keuze van een diepte in een tralie een beperking gevonden wordt, dat we dan een bepaalde relatie kunnen modelleren, en het is die relatie die we modelleren door een rechte of een andere lijn die een hoek maakt met de assen. Bijvoorbeeld: voor de rechte f(x)=19x-75: indien we x=5 kiezen, dan hebben we niet meer de vrije keuze voor f(x) want de waarde f(x) blijkt dan 20 te zijn. Inderdaad, een hoek θ is te construeren met een laatst toegevoegde onderscheiding (zodanig dat associativiteit en niet-commutativiteit gemodelleerd wordt) en twee getallen M en N zodanig dat cos2θ = M/(M+N) en sin2θ = N/(M+N). We kunnen dan het standpunt van een punt van de rechte innemen en ons dan afvragen of we daar een orthogonaal assenstelsel kunnen construeren, wat betekent dat we twee dingen zoeken: (1) de keuzevrijheid van het standpunt op de rechte en (2) op zoek gaan naar een onderscheiding die in dat standpunt een waarde heeft maar waarvan de keuze onafhankelijk is van het ingenomen standpunt, bijvoorbeeld de waarde is 0 maar ook gelijk welke andere waarde en dit betekent dat dat punt zich op gelijk welke diepte in een tralie kan bevinden (als het getal berekend wordt zoals we tot nu toe gedaan hebben). Door het innemen van dat standpunt zullen dezelfde punten simultaan zijn met dit standpunt maar ze zullen een ander getal toegewezen krijgen (de halfvlakken die onderscheiden worden door de beide rechten zijn onafhankelijk van het ingenomen standpunt).

Dit inzicht maakt ook duidelijk dat we met (x, f(x)) koppels nog meer kunnen modelleren. We kunnen ons voorstellen dat sommige getallen nooit waargenomen kunnen worden (dat hun standpunt niet ingenomen kan worden). Stel bijvoorbeeld dat x=10 een bovengrens is, dan kunnen we dat modelleren door de grafiek te beperken met behulp van een rechte parallel met de f(x) as met de waarde x=10 en waarbij f(x) gelijk welk getal kan zijn, willekeurig te kiezen, het getal kan geen bepaalde relatie hebben met x, het wordt onmogelijk door x beperkt. De werkelijkheid zou best eens kunnen beperkt worden door een interval op de intensiteit x. En dan kunnen we ons natuurlijk ook inbeelden dat iets gelijkaardigs geldt voor f(x) en dat de waar te nemen werkelijkheid begrensd wordt door een “rechthoek” (een “volume”) in werkelijkheid. Als we dat dan koppelen aan de begrenzing van de rechten in het diagram dan zien we dat ook simultaneïteit hierdoor begrensd wordt. Met andere woorden: teken een willekeurige gesloten kromme die beschreven kan worden met (x, f(x)) koppels en we hebben de mogelijkheid om een werkelijkheid te kwantificeren die blijkt enkel binnen die kromme (of enkel buiten die kromme, of enkel op die kromme) waarneembaar te zijn. Dank zij het haakformalisme is nu heel helder dat dit een werkelijkheid is met een laatst toegevoegde onderscheiding waarin een agens een positie (0, 0) kan innemen die zich in twee tralies op centraal niveau bevindt. Zo is er bij elke keuze van een nulpunt op een as maar één punt op de andere as die een nulpunt kan zijn als er een relatie bestaat tussen beide tralies. Die relatie op zijn beurt is een relatie die gemodelleerd wordt doordat er een laatst toegevoegde onderscheiding kan verondersteld worden die in geen van beide tralies ingebouwd wordt, maar er voor zorgt dat er één universum is waarin de mogelijke interactie van beide tralies kan gemodelleerd worden.

Verder uit te schrijven

Als de richting ergens in het diagram verandert en we een kromme hebben getekend, modelleert dit een versnelling.

Een “botsing” modelleren als een plotse verandering van richting, op dat punt zijn er twee rechten die elkaar “opheffen”.

Elke welgevormde haakuitdrukking is een som van zelfduale en andersduale welgevormde haakuitdrukkingen. Zelfduale hebben som nul en een som van zelfduale heeft som nul. Bij splitsing hebben de twee delen dezelfde som als ze een onderscheiding zijn, behalve voor de laatst toegevoegde onderscheiding, tegengesteld teken. Er zijn ook andere zelfduale: de sommen zijn dezelfde maar met tegengesteld teken. Andersduale hebben een som nul (op centraal niveau) of een even som en bij splitsing hebben de twee delen dezelfde som. Dus x=f(x)=0 en x=f(x) of x=-f(x) voor zowel andersduaal of zelfduaal.