In het onderzoek naar dynamiek hebben we elkaar uitsluitende toestanden (onmogelijk simultaan te ervaren) beschouwd die elkaar opvolgen T₀, T₁, T₂,… en we hebben dat een proces genoemd. Met behulp van deze toestanden hebben we een processnelheid gedefinieerd als een aspect “van” of “tussen” een toestand en het verschil met een volgende (of vorige) toestand. Het enige dat we daarvoor nodig hadden is de veronderstelling van een totale ordening. Dit is de veronderstelling dat een toestand een noodzakelijke, maar niet voldoende, voorwaarde voor een andere is, of volledig duaal: de veronderstelling dat een toestand een voldoende maar geen noodzakelijke voorwaarde is voor een andere. Die totale ordening is gefundeerd in de relatie van simultaneïteit zonder dat daar enige notie van “tijd” moet aan verbonden worden alhoewel we deze ordening ook “in tijd uitspraken” kunnen weergeven: een noodzakelijke toestand laat eerder een spoor na dan de toestand waar hij noodzakelijk voor is (die enkel daardoor kan geconstrueerd worden), een voldoende toestand laat een spoor na dat voldoende is om een eerdere toestand te construeren. Die totale ordening is ook de ordening die gevonden wordt in de natuurlijke getallen.

Een totale ordening hebben we kunnen construeren door twee soorten intervallen te onderscheiden: een interval dat enkel kan toenemen en een interval dat zowel kan toenemen als afnemen. Een interval heeft een richting. De richting heeft twee zinnen: een zin “toename” of de plus zin, een zin “afname” of de min zin. De zin die in het tweede interval tot uitdrukking komt is slechts helder gedefinieerd dank zij de zin die in het eerste geval niet verandert en niet kan veranderen. We hebben gezien dat we met het tweede interval (het niet commuterende interval) altijd invariantie (eenheid en intensiteit) en evenwicht kunnen uitdrukken.

De aspecten “tijd” en “ruimte”

Wanneer we nu waarnemingen uitvoeren dan zullen we een aspect van dat proces altijd herkennen als

• ofwel een tijdsaspect (of energie aspect), waarneembaar als de (minimale) duur van een proces (bijvoorbeeld een experiment) met meerdere toestanden, duur die enkel kan toenemen en blijft toenemen (of energie die enkel dissipeert en blijft dissiperen). Dit aspect neemt spontaan toe (duaal: neemt spontaan af) en zorgt er dus voor dat iets ooit waarneembaar wordt (duaal: zorgt ervoor dat er geen waarneembaar verschil meer is).

• ofwel een ruimte aspect (of impuls aspect), waarneembaar als het (minimale of maximale) volume (of de (minimale of maximale) oppervlakte, of de (minimale of maximale) afstand, of de (minimale of maximale) hoeveelheid beweging in een bepaalde richting) waarin een experiment met meerdere toestanden beperkt wordt. Dit aspect kan toenemen of afnemen (kan uiteraard ook onwaarneembaar veranderen) en we zeggen dus dat dit van zin kan veranderen op de richting van de evolutie die we noodgedwongen moeten onderscheiden om van orde te kunnen spreken (en dus het tijdsaspect dat we hiervoor kunnen gebruiken). Het aspect “ruimte” is minder gespecificeerd dan “locatie in de ruimte”. Locaties in de ruimte sluiten elkaar uit, ruimte is de disjunctie (mogelijkheid) van de vele locaties waarvan er één bij een experiment gerealiseerd wordt. We kunnen dat vergelijken met een rode bal met “rood” als een mogelijke kleur (disjunctie van voorbeelden van kleuren) van een bal (een bal die een entiteit is die hoe dan ook een concrete kleur heeft als het met al dan niet gekleurd licht beschenen wordt, kleur die uiteraard niet als rood moet gewaardeerd zijn).

Door de ordening merken we dus dat we een tijdsaspect spontaan verbinden met een spoor in de waarneming dat enkel kan toenemen (afnemen), waarmee we dezelfde veronderstelling nemen als in het stappenmodel. Dat contrasteren we met het ruimteaspect dat als spoor zowel kan toenemen als afnemen: het eerste gedrag (enkel toenemen, enkel afnemen) is dus iets anders dan het tweede gedrag (ofwel toenemen ofwel afnemen ofwel gelijk blijven). Dus een van deze rijen kan enkel maar toenemen en die kunnen we daarom t noemen als verwijzend naar een tijdsparameter (de kloktijd, het aantal terugkerende, herhaalbare, identieke toestanden (dus telbaar) in een proces dat parallel loopt met het bestudeerde proces, afnemende intensiteit (dus de dissipatie) van energie enz...). De andere rij wordt gevormd door getallen die kunnen toenemen of afnemen en de volgorde van grotere en kleinere getallen in de rij kan veranderen. We kunnen ons dat één dimensionaal, twee dimensionaal of drie dimensionaal voorstellen. Die dimensies kunnen we dan ook geometrisch interpreteren. De geometrische interpretatie wordt in de huidige stand van wetenschap goed beschreven, zelfs voor effecten van relativiteit.

Getallen

Noteer dat een telling (die getallen genereert als sporen van een meting) altijd positieve gehele getallen genereert, dus “toenemen” (in één richting en één zin evolueren, altijd verder weg van het referentiepunt) versus “toenemen ofwel afnemen ofwel gelijk blijven” (de evolutie in één richting van zin veranderen, soms verder weg van het referentiepunt, soms dichter bij het referentiepunt) zijn operaties met die positieve gehele getallen. Gehele getallen zijn goed gemodelleerd in het haakformalisme. Immers: het aantal AND-atomen kunnen we tellen omdat ze elkaar uitsluiten. Het aantal onderscheidingen k kunnen we tellen want ze genereren 2^k=n atomen (zowel AND- als OR-atomen), het aantal niveauverschillen m (of een selectie van een aantal atomen) kunnen we tellen want het is niet anders dan het aantal atomen. Meer dan n en m hebben we niet nodig om de metriek in een tralie eenduidig vast te leggen. Hebben n en m dezelfde waarde (opwel positief, ofwel negatief) dan is n-m kleiner dan n+m, het eerste getal geeft een afstand in een tralie met n toestanden, het tweede de duale afstand in een tralie met één onderscheiding meer, onderscheiding die niet wordt ingebouwd in de tralie. Immers: als n=m dan is het verschil (n-m) gelijk aan nul en de som (n+m) is een verdubbeling (extra onderscheiding bovenop n). Hebben n en m tegengestelde waarde dan geldt de duale interpretatie van afstand in een tralie.

In een onderscheidingen universum noemen we een aspect dat enkel toeneemt of enkel afneemt “de laatst toegevoegde onderscheiding”. De laatst toegevoegde onderscheiding kunnen we bijvoegen of weglaten. De laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt doet zich dus voor als een minimale intensiteit “tussen” een structuur met n toestanden (dus log₂(n+0) onderscheidingen) en een met minimaal 2n toestanden (dus minimaal log₂(n+1) onderscheidingen). We zullen ruimte (toenemen of afnemen) en tijd (enkel toenemen) dus modelleren als de laatst toegevoegde onderscheiding of als een 1-splitsing, als het koppel (h₁, h₂) dat een symbolisering is van het creatief product (h₁⊗h₂)_ℵ waarbij zowel h₁ als h₂ gecollapste haakuitdrukkingen zijn die de eenheden zijn die een intensiteit krijgen.

Merk op dat dit op abstract niveau goed gedefinieerd is en dat alle concrete toepassingen van rijen getallen hiervan voorbeelden zijn. Er zal altijd een aspect zijn dat kan toenemen en dat kan afnemen, er zal altijd een aspect zijn dat alleen maar kan toenemen vanaf een bepaalde keuze, beide processen zijn niet van elkaar te scheiden omdat beide processen nodig zijn om een ordening te kunnen definiëren.

We zullen dus veronderstellen dat we beschikken over sporen van waarnemingen en dat die sporen positieve gehele getallen zijn. Die getallen zijn het gevolg van tellingen, tellingen die verschillen zijn. Bijvoorbeeld x₀; x₁; x₂; x₃; x₄; x₅; x₆... en t₀; t₁; t₂; t₃; t₄; t₅; t₆.... Hier zullen we veronderstellen dat de rij met t enkel toeneemt. Dat betekent dat het getal dat we bij x_i bekomen gelijk, groter of kleiner kan zijn dan bij x_i-1. Daarentegen: het getal die we bij t_i bekomen is altijd groter dan bij t_i-1. Datzelfde is niet verschillend bij de uitspraak: het getal die we bij t_i bekomen is altijd kleiner dan bij t_i-1. Maar we moeten wel een ordening kiezen en ons daar dan aan houden. Die getallen zijn de intensiteiten van verschillen of sommen.

De metingen x_i en t_i kunnen simultaan uitgevoerd worden, wat in dit geval betekent dat de logische conjunctie van de meetopstellingen niet onmogelijk is (wat enkel empirisch kan blijken) en dat we veronderstellen dat men vrij kan kiezen (disjunctie) om de ene of de andere meetprocedure uit te voeren en er geen verschil zal zijn van uitkomst. De ene meetprocedure kan dan gekozen worden en de andere meetprocedure zal dan simultaan gebeuren en dus mogelijks een niet te kiezen getal opleveren. De simultaneïteit van kiezen en laten gebeuren herkennen we hier in de onvermijdelijkheid van zowel een ruimte aspect als een tijd aspect bij elke meting van zowel een ruimte aspect als een tijd aspect.

Dit zijn rijen getallen die sporen zijn van waarnemingen. Het zijn geen strings, en als getallen verwijzen ze naar de op één moment waargenomen grootte van onbekende onderscheidingen universa die elkaar uitsluiten, waarbij alle onderscheidingen dezelfde ervaringswaarde hebben, waarbij de conjunctie van beide meetprocessen niet onmogelijk is en dus waarbij de disjunctie (of keuzevrijheid) van de meetprocessen gerealiseerd wordt. We bekomen dus getallen die staan voor de grootte van verschillen die een verschil maken in een waarnemingscontext: tellingen of waarderingen van de intensiteit van één parameter die aangeven hoe groot het verschil is met de gekozen referentie. De referentie zorgt voor een waarnemingscontext die “hier en nu” als invariant of stabiel kan beschouwd worden (het is de gekozen meetmethode) zodat enkel het verschil als intensiteit gemeten wordt, en er enkel intensiteiten gemeten worden en dus sporen achterlaten. Dit uit zich niet alleen in intensiteit maar ook in de "dimensie" die aan de variabele toegekend is (de kwalitatieve entiteit seconde, meter, lading, zuurtegraad, ...) die typisch is voor de gekozen waarnemingscontext, en waarmee eigenlijk naar die context verwezen wordt. De "dimensie" is een stabiel aspect van de context omdat die kan verwacht en gekozen worden door de meetmethode te kiezen. De "beschikbaarheid van de variabele" als entiteit E is stabiel en is een entiteit die een andere entiteit karakteriseert, namelijk de entiteit e die als een van zijn karakteristieken dimensie E heeft. Deze dimensie, zowel bij de variabele t als bij de variabele x, is dus een abstracte constructie die stabiel verondersteld wordt. De labels voor de parameter t komen maar éénmaal voor, de labels voor de parameter x komen eveneens maar éénmaal voor, maar door de waarnemingscontext kan het zijn dat we voor x steeds hetzelfde getal moeten gebruiken (afhankelijk van de precisie van de meting bijvoorbeeld) zodanig dat we hier ook alle statistische parameters kunnen bij betrekken (waarbij de frequentie bijvoorbeeld de intensiteit van onzekerheid kwantificeert over wat dan wel stabiel is). Dit zijn dus getallen waarmee rekenkundige bewerkingen mogelijk zijn en die de gekozen parameter lokaal kwantificeren zoals in de gekozen of ingerichte waarnemingscontext blijkt te gebeuren, wat we kunnen modelleren door de waarde van de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ ofwel <ℵ>. In de eerste ordening noemen we deze t (bijvoorbeeld ℵ) en in de tweede ordening noemen we deze laatst toegevoegde onderscheiding x (bijvoorbeeld <ℵ>). Kiezen we ℵ dan gebeurt <ℵ>. We moeten de laatste onderscheiding onderscheiden als ℵ ofwel <ℵ> omdat de meetprocessen verschillend zijn (we voeren niet één proces uit). De conjunctie van onderscheidingen met de laatst toegevoegde onderscheiding modelleert het begrip intensiteit van een “dimensie” omdat “dimensie” simultaan optreedt bij elk waargenomen spoor. Dit maakt ook duidelijk dat de dimensies die onderscheiden worden slechts met elkaar in één tralie geïntegreerd zijn op het niveau van de entiteit e. Deze integratie is er slechts op één moment, één toestand, dus voor één laatst toegevoegde onderscheiding. Enkel in die toestand zijn de intensiteiten van de dimensies “voor de entiteit e” compatibel met elkaar, ze sluiten elkaar niet wederzijds uit, iets dat moet blijken uit de empirisch opstelling (de operationalisering) van de waarneming. Dus (p⊗q)_ℵ∼ <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> ∼ <ℵ<p>><<ℵ><q>> is de uitdrukking die beide toestanden met elkaar verbindt en dit genereert de tralie van de laatst toegevoegde onderscheiding, de genererende tralie van de tralie van de klassieke hypothese.

We kunnen het verband (de simultaneïteit) van twee parameters (waarnemingscontexten <ℵ<p>> en <<ℵ><q>>) die niet in dezelfde meetopstelling gemeten kunnen worden (verschillende dimensies) maar die wel compatibel moeten zijn, dus modelleren door het product of de ratio te nemen van overeenkomstige getallen <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> (bepaald door de ordening). Merk op dat het invers gedefinieerd is in dit geval. Niet alle producten of ratio's zijn echter zinvol. We noemen zinvolle ratio's die ratio's waarbij iets stabiel kan gevonden worden: bijvoorbeeld x₀/t₀ geeft het getal van een lengteverschil ten opzichte van een tijdsverschil, wat we de lokale snelheid v₀ noemen op het moment t₀. De snelheid die dus een lokale snelheid is op het moment van meting (en dus een nieuwe variabele, een nieuwe abstract geconstrueerde entiteit), is terug een getal met een dimensie die afgeleid is van de lengte en de tijd. Het verschil met de individuele dimensies is nu dat de hypothese “snelheid” in dit geval niet gemeten wordt, maar wel berekend kan worden in één tralie, wat niet de veronderstelling was voor de individuele dimensies. Die berekening kan een invariant zijn in verschillende toestanden die gemeten worden als “afstand” en “tijd” en zal op een constante na bepaald zijn (een constante die de uitdrukking is van de relativiteit van een intensiteit ten opzichte van een eenheid). Deze ratio is exemplarisch voor andere niet waargenomen maar berekende verhoudingen (bijvoorbeeld densiteit, moment, energie, maar ook "Gestalt" of het product in de onzekerheidsrelatie van Heisenberg...) die effectief gebruikt worden in het huidige experimenteel gerichte wereldbeeld. De ratio is goed gedefinieerd aangezien de verschillen voor een nulpunt zorgen en het nulpunt van t of x vrij kan gekozen worden (of volgt uit de veronderstelling van orthogonaliteit van drie assen in drie dimensies) en de waarnemingscontext bepaalt.

We hebben nu twee rijen getallen waarvan we vermoeden dat ze met elkaar in relatie staan omdat we iets stabiel vinden als <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> waaruit we besluiten dat de gekozen waarnemingscontexten met elkaar gerelateerd zijn. Met deze getallen kunnen we nu allerhande berekeningen uitvoeren waarbij we parameters (eigenschappen van entiteiten) kunnen maken die niet waargenomen werden, die dus potentieel zijn en die slechts in het waarnemen zelf (op het moment van de meting zelf) niet onderscheiden kunnen worden van <<>>, zij vormen de elkaar uitsluitende toestanden van een tralie. Wat we dus in zijn meest algemene vorm proberen te doen is om met behulp van getallen n_i die meest primitieve tralies van elkaar uitsluitende punten karakteriseren (juist door het aantal van de momenteel opspannende onderscheidingen die door het getal gecodeerd wordt), een “onderliggende” of “afgeleide” entiteit te construeren die een zekere te zoeken stabiliteit in de metingen kan representeren. Met behulp van getallen die intensiteiten zijn van een laatst toegevoegde meetbare onderscheiding of dimensie ℵ (waarbij er veel verschillende dimensies kunnen zijn) gaan we dus proberen een onderliggende tralie te construeren.

Eenheid

In beide meetprocessen herkennen we dat een meeteenheid (een soort meting) moet gekozen worden, respectievelijk een (minimaal) tijdsverschil en een (minimaal) afstandsverschil. We kiezen hier voor “minimaal” en suggereren hiermee een positief natuurlijk getal als aantal eenheden maar dat is irrelevant, we kunnen ook kiezen voor “maximaal” en dan spreken over positieve fracties, of we kunnen kiezen voor gelijk welke referentie daar ergens tussen. Dit is een zeer belangrijk inzicht want de keuze van referentie zal dus de intensiteit van de sporen bepalen. We spreken over verschillen, dus is de nul van de meting goed gedefinieerd voor één van de meetprocessen, namelijk “geen verschil”. We zullen hiervoor de parameter x nemen, de parameter t is dan enkel op intervalniveau meetbaar. Dus, we kunnen veronderstellen dat de parameter x de waarde nul kan hebben, maar dat kunnen we enkel vaststellen als de parameter t verschillend is van nul.

Het is onvermijdelijk dat een universum door een beperkt aantal onderscheidingen opgespannen wordt (en dit wordt impliciet gemodelleerd door de laatst toegevoegde onderscheiding die toelaat om gelijk welke, al dan niet welgevormde, haakuitdrukking h voor te stellen als (h⊗h)_ℵ of als (h⊗h)_<ℵ>) en dat er voor verhoudingen dus een limiet bestaat die we ofwel als zeer groot of als zeer klein kunnen beschouwen en die we voorstellen als een getal. We kunnen dus veronderstellen dat deze limiet zowel in de rij x als in de rij t kan uitgedrukt worden wanneer we de limiet als referentie gebruiken. We hebben de vrije keuze om x_i uit te drukken in fracties van deze limiet v_L=x_i/t_i (en dus als x_i=v_L/t_i) of om t_i uit te drukken als de gehele intensiteit van de reciproce limiet (v_L=x_i/t_i en dus als t_i=x_i/v_L). Dit maakt duidelijk dat deze limiet een schaalfactor is tussen beide totale ordeningen. Dit betekent ook dat er een kleinste (grootste) interval moet bestaan waarbij de grootte van elk gemeten interval een geheel aantal maal dit kleinste interval is of waarbij de grootte van elk gemeten interval een gehele fractie van dit grootste interval is. We veronderstellen nu dat dit kleinste interval één eenheid is, die we als e kunnen aanduiden indien dat nodig zou zijn en dat we dus beide ordeningen als dezelfde as kunnen beschouwen waarvan de metriek verschilt exact zoals aan een as een andere schaal kan gegeven worden (bijvoorbeeld ruimtelijke afstand meten in meter of meten in mijl). We kunnen de grootte van de intervallen dan als gehele getallen modelleren, getallen die de intensiteiten zijn van e. Met de keuze voor deze eenheid drukken we trouwens ook uit dat we tot het inzicht gekomen zijn dat het onmogelijk is om een ruimte aspect Δx te meten zonder ook een Δt te meten en dat het onmogelijk is om een tijd aspect Δt te meten zonder ook een Δx te meten. Dus e kan gemeten worden en afhankelijk van onze keuze kunnen we dan x berekenen of t berekenen. We moeten daarom veronderstellen dat de twee fundamenteel verschillende waarnemingscontexten x₀; x₁; x₂; x₃; x₄; x₅; x₆... en t₀; t₁; t₂; t₃; t₄; t₅; t₆.… eigenlijk verbergen dat beide rijen sporen zijn van (aspecten zijn van) één aspect: de (elkaar uitsluitende) toestanden die we daarom zouden kunnen voorstellen als een rij T₀; T₁; T₂; T₃; T₄; T₅; T₆.... We moeten dezelfde patronen dus ook vanuit één rij getallen kunnen afleiden.

Hiermee zijn we dan in staat een gedeelte van de werkelijkheid te beschrijven, aangezien er nog een gedeelte moet zijn dat niet als verhouding kan beschreven worden (wat de wiskundige commensurabiliteit van parameters genoemd wordt). Dit hoeft ons echter niet te beperken omdat we altijd berekeningen kunnen uitvoeren met getallen. Aan de dualiteit van de werkelijkheid valt niet te ontsnappen.

Evenwicht en het belang van de processnelheid

Een belangrijk inzicht volgend uit het inzicht dat het onmogelijk is om een ruimte aspect Δx te meten zonder ook een Δt te meten (en dat het onmogelijk is om een tijd aspect Δt te meten zonder ook een Δx te meten) is dat we eigenlijk altijd een evenwicht meten. De meting van een ruimte aspect “duurt zo lang als nodig” tot het aspect niet meer verandert (hoe snel moet je de lengte van een wolk meten?), de meting van een tijd aspect impliceert dat we minstens één stap zetten (of moeten gezet hebben), minstens iets moeten herhalen als we iets in de ruimte als invariant herkennen, in het meetproces van een tijd aspect moet er iets zijn dat repetitief is en dus evenzeer invariant. Het “evenwicht” dat we meten is de onvermijdelijke hypothese die verbonden is aan de lokale werkelijkheid, onvermijdelijk omdat een agens-in-context in alle veranderingen wel iets stabiel (“iets dat in evenwicht is”, “iets dat niet verandert in het gedrag dat het vertoont”) moet waarnemen. Inderdaad: sommige processen kunnen na een zekere tijd (die we voor sommige processen gelijk wanneer kunnen laten beginnen en die enkel maar kan toenemen) een evenwicht bereiken en “de tijd die dit in beslag neemt” is misschien voor het agens-in-context lokaal niet waarneembaar als het zich buiten de waarnemingsresolutie bevindt. Dit kunnen we vaststellen doordat een getal in de rij T₀; T₁; T₂; T₃; T₄; T₅; T₆… voor het agens-in-context niet meer verandert, steeds hetzelfde positieve getal verschillend van nul is (het is een telling), terwijl het proces van het bouwen van de rij toch doorgaat: het aantal getallen blijft toenemen. Dit is wat men een “steady state” noemt: de hypothese dat de waarneming verklaard wordt doordat een mogelijke toename simultaan door een mogelijke afname teniet gedaan wordt (en omgekeerd). Dit hebben we kunnen modelleren door een proces te normaliseren. Alle getallen die in die rij zouden opgenomen kunnen worden hebben dezelfde eenheid e en als we zeggen dat evenwicht bereikt is en het getal T_i niet meer verandert zeggen we eigenlijk dat het verschil tussen T_i en T_i+1 kleiner is dan de eenheid e, en zo kunnen we operationeel het wiskundig begrip “nul” betekenis geven: zeer klein en onwaarneembaar kleiner, ordening is niet mogelijk. We hebben de hypothese van een klok of een meetlat dus niet nodig als we dat niet zouden willen: we kunnen evengoed de “eigen”, “interne onvermijdelijkheid van ervaren” gebruiken met de “eigen onvermijdelijke beperkingen” van het agens-in-context, de “eigen waarnemingsresolutie”. Dit komt dan formeel tot uitdrukking door de laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt in de tralie. Impliciet betekent dat dus dat we modelleren dat het evenwicht misschien enkel vanuit het standpunt van een specifiek agens-in-context waarneembaar is.

We kunnen ons nu voorstellen dat elke toestand, als onvermijdelijk stabiel element gedurende een onvermijdelijke tijdsduur die het resultaat is van eigen beperkingen, een lokaal evenwicht uitdrukt dat daardoor een spoor achterlaat en verschillend is van een andere toestand met minstens de eenheid e. Nu hebben we al aangetoond in ons onderzoek naar evenwicht dat een sequentie van simultaneïteitsintervallen van toestanden met vormen K_A•A⊕<K_B•B> en dus ook de intensiteiten K_A⊕<K_B> een gesloten geheel kan vormen. Deze vormen kunnen we karakteriseren doordat ze hierdoor onafhankelijk zijn van een referentie: de evenwichtstoestand is een relatief gegeven aangezien de som niet verandert als we hetzelfde interval I bij elk van de intervallen optellen. Inderdaad (I⊕A)⊕<(I⊕B)> is niet anders dan A⊕<B>.

Het fundamentele verschil tussen de rij x en de rij t (die aanleiding geven tot een zinvolle ratio en die we in de inleiding woordelijk weergegeven hebben) gaan we nu enkel met positieve gehele getallen construeren met dezelfde eenheid e, de onvermijdelijke eenheid verbonden met de waarnemingsresolutie van het agens-in-context. Dus hebben we maar één rij metingen nodig die we als sporen van de rij T₀; T₁; T₂; T₃; T₄; T₅; T₆… interpreteren en de rij x en de rij t leiden we af van dezelfde metingen, ze onderscheiden zich enkel door een andere procedure die beide getallen met elkaar relateert met een schaalfactor. We vertrekken dus van getallen n₀; n₁; n₂; n₃; n₄; n₅; n₆... die intensiteiten zijn van dezelfde eenheid e zoals dit geïntroduceerd werd bij het onderzoek naar verhoudingen. Deze getallen zijn de intensiteiten van een laatst toegevoegde onderscheiding ℵ (waarmee dan het patroon A=(p⊗(<p>⊕q))_ℵ=<q>⊕ℵ•p⊕ℵ•q versus het patroon A^-1=<q>⊕<ℵ•p>⊕<ℵ•q> gebouwd wordt met p en q toestanden) en dus zijn ze niet anders dan een aantal verschillen van toestanden, elk getal is dus de intensiteit van een verschil. Inderdaad, A⊕q=ℵ•(p⊕q) en A^-1⊕q=<ℵ>•(p⊕q) met eenheid (<>⊕p•q), waarbij de laatst toegevoegde onderscheiding de grootte en de zin op de richting van het interval kan weergeven.

We relateren dus de getallen n_i tot een gemeten interval tussen getallen en hiermee introduceren we ook een richting in een tralie. Die gemeten intervallen zijn de rijen die we eerst codeerden als x₀; x₁; x₂; x₃; x₄; x₅; x₆... en t₀; t₁; t₂; t₃; t₄; t₅; t₆… zonder dat we daarmee expliciet een interval wilden uitdrukken terwijl we dat nu expliciet wel doen. We gebruiken daarom de reeds geïntroduceerde nieuwe notering voor een interval om verwarring te kunnen vermijden. Het interval x₀₁=-x₁₀ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₀-n₁. Het interval x₁₀=-x₀₁ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₁-n₀. Dit is een verschil van getallen en hiermee is altijd een evenwicht te modelleren en daarenboven drukken we uit dat de zin van de evolutie voor x kan veranderen. Het interval t₀₁=t₁₀ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₀+n₁. Het interval t₁₀=t₀₁ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₁+n₀ en dat is een keuze die we maken, we hadden evenzeer kunnen kiezen voor (-n₁-n₀). Dus enkel voor de x-intervallen krijgen de getallen een tegengesteld teken en voor de t-intervallen hebben ze hetzelfde teken. Dus de t intervallen kunnen we gebruiken om richting te definiëren (de ordening) en enkel voor de x-intervallen is een verandering van zin op die richting gedefinieerd (het interval x₁₀ is op een bepaalde manier anders dan het interval x₀₁) en bestaat er dus een invers. Voor de t-intervallen is verandering van zin op de richting niet definieerbaar (het interval t₁₀ is niet anders dan het interval t₀₁) omdat het t-interval het referentie punt is voor de ordening die zo ontstaat. Dit kunnen we uitdrukken door te veronderstellen dat in de gecollapste A=(p⊗(<p>⊕q))_ℵ de welgevormde toestand q gelijk is aan <p>. Ze hebben dus een tegengestelde waarde en dat is een unieke situatie (enkel van twee toestanden kan men zeggen dat hun waarde tegengesteld is, voor drie of meer toestanden kan dat niet. Dan is A=(p⊗(<p>⊕q))_ℵ = A=(p⊗(<p>⊕<p>))_ℵ en A=A^-1 is dus niet anders dan p. Dus <q>=p=A=A^-1 is een welgevormde uitdrukking en “geen interval met een richting”. De laatst toegevoegde onderscheiding modelleert dan de grootte van het universum waarin p (en dus ook <q>) moet uitgedrukt worden. Dit herkennen we als de resolutie van de processnelheid.

De getallen x_i en t_i zijn nu dus werkelijk fundamenteel verschillende sporen van “metingen die eigenlijk berekeningen zijn” maar die op een onvermijdelijke manier met elkaar gerelateerd zijn als het ruimte aspect Δx (of n₁-n₀) dat niet kan gemeten worden zonder ook een Δt (of n₁+n₀) te meten, getal dat de resolutie geeft van de meting. De getallen die kunnen toenemen, afnemen of stabiel kunnen blijven zijn sporen van intervallen die in twee richtingen kunnen doorlopen worden en die we kunnen afbeelden op een simultaneïteitsinterval A=(p⊗(<p>⊕q))_ℵ. De getallen die enkel kunnen toenemen (of die enkel kunnen afnemen) en niet stabiel kunnen zijn, zijn sporen van intervallen die in één richting doorlopen worden en die we kunnen afbeelden op een welgevormde haakuitdrukking: de “laatst toegevoegde onderscheiding” ℵ die ervoor zorgt dat p en q toestanden zijn van hetzelfde universum.

Bij het onderzoek naar dynamiek hebben we aangetoond dat ℵ inderdaad de rol kan spelen van de intensiteit van dynamiek die als een projector voorgesteld wordt. En we herkennen hier dat een klassieke vector inderdaad een projector is.

Δt neemt enkel toe, Δx kan evenwicht modelleren

We stellen ons nu een standpunt voor met de coëfficiënten (x_i, t_i) van een 1-splitsing met de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ (namelijk (x_i⊗t_i)_ℵ ), en een standpunt met de coëfficiënten (x_j, t_j) van dezelfde 1-splitsing (namelijk (x_j⊗t_j)_ℵ ). De parameter x gebruiken we voor de coëfficiënten die in de twee zinnen kunnen waargenomen worden (kunnen toenemen en afnemen) dus wat betreft x kan (x_i, t_i) voor (x_j, t_j) waargenomen worden, of kan (x_j, t_i) voor (x_i, t_j) waargenomen worden. Dus (x_i, t_i) is een noodzakelijke voorwaarde voor (x_j, t_j) of omgekeerd en het duale geldt weer voor de voldoende voorwaarde. Voor parameter t is dit onmogelijk juist omdat deze het referentiepunt is voor een ordening die in twee zinnen kan waargenomen worden: dank zij t die alleen maar toeneemt (en bij het bereiken van evenwicht in de meting de intensiteit heeft van de laatst toegevoegde onderscheiding) kunnen we over een totale ordening en dus “voor” en “na” spreken, over “noodzakelijk” en “voldoende”, niet alleen voor aspecten maar ook voor toestanden. We kunnen dat voorstellen door (x_i, t_i) ∼ (n_i-n_i+1, n_i+n_i+1) versus (x_j, t_j) ∼ (n_i+i’-n_i+i’, n_i+i’+n_i+i’). We kunnen niet alleen de getallen x₀₁, x₁₂, t₀₁, t₁₂, berekenen met de getallen n₀, n₁ en n₂ maar we kunnen ook de getallen n₀, n₁ en n₂ berekenen met de intervallen x₀₁, x₁₂ of x₀₂ en de overeenkomstige intervallen t₀₁, t₁₂ en t₀₂. Zo geldt bijvoorbeeld n₀=½(x₀₁+t₀₁) en -n₁=½(x₀₁-t₀₁) waarbij we een aantal met een negatief teken zien verschijnen (of waarbij we de niet-commutativiteit van de berekening x₀₁-t₀₁ zien verschijnen die daardoor de niet-commutativiteit van het creatief product modelleert). Dus de meetprocedures voor x en t die heel verschillend zijn hebben we ook als zodanig geconstrueerd: voor t kiezen we een proces waarvan we enkel het beginpunt kunnen kiezen (er moet dus een getal zijn dat als het kleinste kan genomen worden) en dat dan ononderbroken in één richting doorgaat (voor de zin op die richting kunnen we niet meer kiezen, zin en stappen worden bepaald door onze beperkingen als het agens-in-context) en x blijkt dan meetbaar te zijn (x moeten we laten gebeuren en wat er gebeurt kunnen we vaststellen aan het spoor dat dan achtergelaten wordt, spoor dat zich hier als getal voordoet).

Zoals bij het onderzoek naar verhoudingen en commensurabiliteit kunnen we nu v₀₁ definiëren als de verhouding van de intervallen x₀₁ en t₀₁ dus x₀₁/t₀₁ en we noemen dat dan ook een snelheid. Aangezien t₀₁ verschillend van nul moet zijn kunnen we 1/t₀₁ beschouwen als eenheid en x₀₁ als intensiteit. Merk op dat x₀₁/t₀₁ een meer abstracte verhouding is dan de snelheid die gedefinieerd wordt als een afstandsverschil ten opzichte van een tijdsverschil (wat de klassieke procedure is). Daarenboven is het begrip afstand hier een simultaneïteitsafstand. Tijdsverschillen impliceren dat “tijd” karakteristieken van “ruimte” heeft (en dus een omkeerbare zin op de onvermijdelijke richting), wat een bijkomende veronderstelling is die niet moet gemaakt worden. Natuurlijk kan men tijdsverschillen, die ook genoteerd worden als Δt, gebruiken zolang men niet met negatieve tijd rekent. Die bijkomende veronderstelling zullen we pas reconstrueren als we eerst de fundamentele verschillen uitgewerkt hebben tussen de reeks x (hierbij kan de zin veranderen) en de reeks t (hierbij kan de zin niet meer veranderen eens een richting gekozen is). Dus voorlopig blijven we een Δt noteren als een (n_i+n_j).

Dus eerst modelleren we de “snelheid” of schaalfactor v₀₁ als functie van de gemeten getallen n_i: v₀₁=(n₀-n₁)/(n₀+n₁). We berekenen ook v²₀₁=(n₀-n₁)²/(n₀+n₁)². Er geldt dat v²₀₁=v²₁₀. Het kwadraat van een snelheid gedraagt zich blijkbaar als een tijdsinterval gewoon als gevolg van fundamentele inzichten, inderdaad (n₀-n₁)² is niet verschillend van (n₁-n₀)². Door onze manier van opbouwen met dezelfde eenheid veronderstellen we daarenboven dat de verhouding die we snelheid noemen dimensieloos is, het is een schaalfactor, het is dus gewoon een getal waarmee we allerhande normale getalbewerkingen kunnen uitvoeren.

Evenwicht, snelheid en versnelling

Snelheid is dus op een nieuwe manier gedefinieerd als een verhouding waarbij “de eenheid niet meer vergeten wordt” alhoewel de eenheid niet meer gemodelleerd wordt. Het hier geïntroduceerde getal “snelheid” is hierdoor niets anders dan de “processnelheid” dat eveneens in het haakformalisme gedefinieerd werd als de kwantificering van “A⊕A₀ intervallen” die enkel van intensiteit verschillen. Maar we hebben dat gedaan zonder dat de eenheid vergeten wordt. Dit maakt duidelijk dat we daar ook andere voorbeelden kunnen van vinden. De verhouding v_ij, die we voor de eenvoud “snelheid” genoemd hebben, is niet anders dan een “A⊕A₀ interval”, en met die intervallen kunnen we een nieuw verschil maken en dan ook een nieuwe verhouding met dezelfde steeds toenemende parameter. Om dat te kunnen doen is er minstens één extra toestand nodig bovenop de twee toestanden die gebruikt werden om het eerste verschil te modelleren en dus moeten die toestanden zich in hetzelfde universum bevinden.

Deze verhouding, deze schaalfactor noemen we dan ook “versnelling”. Met verschillende versnellingen zullen we ook een evenwicht kunnen uitdrukken en de veronderstelling dat een versnelling gelijk is aan nul is evenzeer afhankelijk van de beperkingen die het agens-in-context moet aanvaarden of aan zichzelf kan opleggen. Ook versnelling is dus op een nieuwe manier gedefinieerd en is een processnelheid, maar een die pas in een groter universum kan geconstrueerd worden.

Evenwicht en controle

Er zijn dus goede redenen om ook op een meer abstract niveau te spreken van “de verandering van verandering” en dat ook te doen voor de versnelling die kan veranderen in een dan nog groter universum. De schaalfactor die de verandering van versnelling modelleert wordt door ingenieurs “controle” genoemd. Controle is een fundamenteel aspect van de cybernetica. Controle willen hebben is op een praktische manier kunnen omgaan met het enige axioma van het haakformalisme: er zal ook altijd iets anders gebeuren dan datgene dat men doet gebeuren. Met een voorbeeld wordt dit duidelijk. Als een agens al dan niet bewust de richting van een beweging in de ruimte verandert dan voelt het een versnelling en als het zich door die verandering wil loodsen op een manier die kan geanticipeerd worden (bijvoorbeeld veilig), dan vereist dit dat het de verandering van die verandering waarneemt en bijstuurt en dus controleert. Als we bijvoorbeeld in de ruimtevaart gebruik zouden willen maken (zonder dat we daarvoor energie nodig hebben) van de spontane versnelling in een zwaartekrachtveld om de satellieten meer en meer te versnellen, dan zullen we moeten sturen en bijsturen. Als de satelliet zo ver is van de aarde dat het signaal (om het te besturen vanaf de aarde) er te lang zou over doen dan moet de controle door de satelliet zelf gebeuren: het is dan noodzakelijk dat de satelliet karakteristieken van een agens moet vertonen: beslissingen nemen in een bepaalde context “indien…, dan…” en waarnemen wat er dan gebeurt en beslissingen daaraan aanpassen “indien…, dan…, zoniet...”.

Evenwicht en doel

Indien er evenwicht bereikt wordt bij controle dan zeggen we dat een doel bereikt is. Maar ook het doel kan aan verandering onderhevig zijn, kan in een proces betrokken zijn. Dit proces, de zoektocht naar een doel, de verandering van controle en het eventueel bereiken van een evenwicht, kan dus met hetzelfde patroon van een processnelheid gemodelleerd worden. Nieuwe doelen en anti-doelen zoeken is niet anders dan uitvoeren van controle op de controle. In een bedrijfscontext wordt dan van een audit gesproken. Het patroon dat zich hierbij voordoet is dat er telkens andere universa nodig zijn waarin de laatst toegevoegde onderscheiding de verschillende aspecten bij elkaar brengt.