Met verschillen kan een nul geconstrueerd worden en dit drukt een evenwicht uit, een situatie waarin er geen verandering meer waargenomen wordt. Een nul betekent operationeel: zeer klein en onwaarneembaar kleiner en dat is natuurlijk afhankelijk van de waarnemingsmogelijkheid van een agens-in-context. Relaties die een uitdrukking zijn van evenwicht veranderen niet als hetzelfde interval bij alle intervallen bijgeteld wordt die de gesloten lus vormen. We hebben aangetoond dat de Lorentz transformatie ook in dat geval een invariant vertoont die we m genoemd hebben. Aan m moesten we geen eisen stellen, m kan zelfs gelijk zijn aan nul (een “Lorentz nulpunt”) en dat heeft grote gevolgen.

We nemen nu de schaalfactor v_ij als een verhouding van aantallen gemeten in twee toestanden: v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j). We veronderstellen een procesevenwicht en dat is niet anders dan de uitdrukking dat een som van schaalfactoren gelijk is aan nul, bijvoorbeeld v_ij+v_jk+v_ki=0. Met de verschillen van aantallen gemeten in twee toestanden wordt dus een nul geconstrueerd en dit drukt een evenwicht uit, een situatie waarin er geen verandering meer waargenomen wordt. Dit evenwicht verandert niet als de aantallen in de drie betrokken toestanden met eenzelfde getal gesommeerd worden. Dat is dus het getal m. In plaats van v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) beschouwen we nu v_ij+m=(m+n_i-m-n_j)/(m+n_i+m+n_j)=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j) en in deze verhouding is enkel de noemer afhankelijk van m.

We voeren nu de volgende substitutie uit: we stellen t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m, zodanig dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j. Noteer dat het product van twee opeenvolgende t nu gelijk is aan een negatief kwadraat en het optreden van de disjunctie <<+√-1 of -√-1>> in de versnelling.

Dus v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j)=(n_i-n_j)/(t_i-t_j). Dit noemen we een (klassieke) snelheid. Deze substitutie wordt iets helderder wanneer we het karakter van m als negatief getal expliciet tonen. We stellen daarom het nieuw symbool <m> voor als “een positieve m”, dus “een negatieve m” is niet anders dan -<m>. Dus t_i-t_j=2m+n_i+n_j=-2<m>+n_i+n_j=(n_i-<m>)+(n_j-<m>). Deze vorm maakt heel duidelijk dat we nog altijd twee getallen hebben waarvan de som alleen maar kan toenemen in dezelfde zin. Inderdaad, neem m=0, dan is ook <m>=0, en dan geldt dat t_i-t_j=n_i+n_j.

We merken nu op dat m als negatief getal kan modelleren dat de noemer van de schaalfactor ook als een verschil uitgedrukt wordt. Hiermee kunnen we onderzoeken wat de gevolgen zijn van die hypothese. De klassieke interpretatie hiervan is dat men de schaalfactor v_ij interpreteert als een (ruimte-) afstandsverschil tot een tijdsverschil en een tijdsverschil blijft dan toenemen vanaf een willekeurig gekozen toestand die we dan als referentie nemen om de verschillen te berekenen. Het tijdsverschil wordt dan monotoon groter en dit kunnen we dan gebruiken om andere verschillen te ordenen ten opzichte van deze gekozen ordening. Dit is een speciale constructie, dit is wel een verschil maar een verschil dat zich niet gedraagt als een ruimteafstand. Een ruimteafstand kan toenemen en afnemen, een tijdafstand kan alleen maar toenemen. Empirisch is dat goed onderbouwd: nog nooit is iemand erin geslaagd iets te laten terugkeren in de tijd zodanig dat wat er reeds gebeurd is zou kunnen beïnvloed worden, nog nooit is iemand erin geslaagd een noodzakelijke voorwaarde voor het heden te wijzigen. Noodzakelijke voorwaarden kunnen enkel afgeleid worden van sporen die gevonden worden en zijn daardoor hypothesen en ze blijven hypothesen. Iets gelijkaardigs geldt ook voor de toekomst: het heden is een noodzakelijke voorwaarde voor verschillende mogelijke toekomstige gebeurtenissen. Nog nooit is er iemand in geslaagd om slechts één toekomstige gebeurtenis te kiezen, er zal altijd ook iets anders gebeuren.

Door een verschil te nemen voor de meting van tijd (en dus onvermijdelijk een nul) veronderstellen we dus een evenwicht dat door een willekeurig gekozen toestand zelf uitgedrukt wordt. Het getal m is immers een getal dat een toestand karakteriseert (en van toestand tot toestand kan verschillen van intensiteit). Om een klassieke snelheid te modelleren moeten we wel voor twee toestanden dezelfde referentietoestand kiezen en dit is geen vrije keuze hoewel we gelijk welke referentie zouden kunnen kiezen. De veronderstelling is dan dat elke toestand van een spontaan proces dan als “begintoestand” kan gekozen worden, wat niet anders is dan de veronderstelling dat alle toestanden van het proces a priori gekend zijn. Dat is een meer algemene manier om de veronderstelling uit te drukken dat een spontaan proces onafhankelijk is van de gekozen beginvoorwaarden, wat een uitspraak is die algemeen aanvaard werd tot Poincaré oplossingen probeerde te vinden voor het drielichamenprobleem en zo de deterministische chaos ontdekte. Er zijn dus processen bekend met een grote gevoeligheid voor de beginvoorwaarden: een toestand kiezen maakt het onmogelijk om sommige volgende toestanden te voorspellen. Dit verbaast ons natuurlijk niet na de analyse van m. Dit geeft al een belangrijk gevolg van de hypothese van tijdsverschillen: enkel sommige anticipeerbare processen kunnen gemodelleerd worden.

Dus in plaats van de hypothese v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) met slechts 2 onbekenden, beschouwen we v_ij=(n_i-n_j)/(t_i-t_j) en dit noemen we een (klassieke) snelheid. Het valt onmiddellijk op dat de noemer nu nul kan zijn, en dit op het gekozen nulpunt in de tijd (en zo men wil: “telkens weer”). De verhouding is dan ongedefinieerd of, zo men wil, ongekend groot en onwaarneembaar groter zoals de lichtsnelheid in vacuum. Dit legt dan een maximale resolutie vast. Deze verhouding heeft 4 onbekenden en om deze naar twee onbekenden te reduceren kan men een invariant kwadraat definiëren als (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)², een verschil van twee kwadraten met vier onbekenden, volledig analoog als voor het meer abstractere (n_i+n_j)²-(n_i-n_j)² dat eveneens een verschil is van twee kwadraten, maar dan met twee onbekenden en dat we “de eigen ij-tijd” genoemd hebben. Het kwadraat (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)² herkennen we als de “eigen tijd” zoals die ook in de speciale relativiteitstheorie gebruikt wordt. Het gevolg hiervan is dat de parameter “tijd” het karakter van een dimensie krijgt (een verschil dus, een projector) en zich, zoals ruimte, gedraagt als een getal dat geordend wordt ten opzichte van een vrij te kiezen “nul”, vrij te kiezen betekent dat de ordening (meer, minder) niet ten opzichte van iets anders bepaald wordt. De reden is echter niet dezelfde als voor ruimtegetallen (verschillen) die een geordende referentie nodig hebben om daarvan hun ordening af te leiden. De reden is voor de tijdsgetallen (verschillen) dat de ordening op elk moment (“opnieuw”) kan ontstaan. Het dimensionaal en metrisch karakter van de tijd ontstaat dus door het vasthouden aan één keuze van nulpunt dat dan een vaste referentie is voor het monotoon toenemen van tijdsverschillen. In de praktijk kan elke agens-in-context daar vrij voor kiezen, maar we kunnen natuurlijk ook kiezen om “een gezamenlijk verleden standpunt” als referentie te gebruiken (bijvoorbeeld een big bang).

Een invariant kwadraat als (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)² kunnen we construeren met behulp van de Lorentz referentie eenheid m zoals we veronderstelden met t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m, zodanig dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j. Dus de snelheid (n_i-n_j)/(t_i-t_j) is dezelfde als v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j) en de eigen tijd is de negatieve versie van de eigen ij-tijd want 4(m+n_i)(m+n_j)=4(t_i)(-t_j). De wortel nemen uit een negatief getal vereist het mogelijk maken van √-1. Dat is wat men klassiek moet doen om een verschil te maken tussen “tijdsverschillen” en “ruimteverschillen” maar het gevolg is dan dat “tijd” een parameter is zoals “ruimte” en impliciet de hypothese uitdrukt dat men “terug kan gaan in de tijd”. Inderdaad: alle klassieke natuurwetten zijn symmetrisch voor omkering van het teken van de parameter tijd.

Die keuze is inderdaad altijd mogelijk. We kunnen immers veronderstellen dat elk getal m en elk getal n_i, en dat voor alle i, gelijk zijn aan een kwadraat (waarmee we ook de eis naar commensurabiliteit oplossen zodanig dat we enkel met te kiezen getallen overblijven indien we dat willen). <m> is dan ook een kwadraat. We stelden dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j=-2<m>+n_i+n_j=(n_i-<m>)+(n_j-<m>). De beide termen, (n_i-<m>) en (n_j-<m>) zijn dan een verschil van kwadraten. Nu hebben we eraan herinnerd dat alle priemgetallen verschillend van 2 in het patroon a²-b² kunnen geschreven worden. Elk mogelijk geheel getal kan daarenboven als product van priemgetallen geschreven worden en dan ook altijd als (product van) het patroon a²-b² geschreven worden (verschil van kwadraten). Dat is juist wat we nodig hebben om met getallen de eenheden van het haakformalisme te kunnen modelleren. Elk priemgetal is een mogelijke eenheid met een intensiteit en de getallen 1 en 2 nemen hierin een speciale plaats.

Het nulpunt van een tijdsverschil

Een tijdsverschil kan alleen maar vanaf een gekozen nulpunt het karakter van een ordening krijgen en we kunnen altijd veronderstellen dat we een nulpunt kunnen kiezen. Als een nulpunt mogelijk is noemen we dat een ratio meting. Dus als we klassieke tijd willen modelleren dan moeten we ook een nulpunt definiëren. De “eigen tijd” is onvermijdelijk gedefinieerd ten opzichte van een nulpunt, een waarnemingsgrens waarbij ordening niet meer mogelijk is en niet enkel een waarnemingsresolutie.

De definitie van de getallen die tijd voorstellen, namelijk t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m en de eis dat tijd het karakter moet hebben van een complex getal maakt duidelijk dat het nulpunt ook gegeven kan worden door te veronderstellen dat n_i+n_j=0, en hierdoor heeft de tijdparameter het patroon t_i=n_i+m en t_j=n_i-m met n_i een reëel getal en m een zuiver imaginair getal, twee getallen die onafhankelijk van elkaar kunnen gekozen worden. Dan is t_i-t_j=2m. Dan is v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) niet gedefinieerd (of, zo we willen, ongekend groot en onwaarneembaar groter). Maar v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m) en is dus goed gedefinieerd. Dan wordt t_i-t_j=2m en n_i-n_j=-2n_j=2n_i. De beide getallen, namelijk m en n_i, die nu nog overschieten van de vier oorspronkelijke getallen (namelijk n_i, n_j, t_i, t_j) kunnen onafhankelijk van elkaar gekozen worden en m kunnen we ook kiezen als nul. Hiermee wordt het getal m het nulpunt van een tijdsverschil dat we naar willekeur kunnen kiezen, nulpunt dat dan ook v_ij+m ongekend groot en onwaarneembaar groter maakt. Hier zien we dus de intensiteit van gemiddelde verschillen ½(t_i-t_j)=m en ½(n_i-n_j)=n_i=-n_j. Dat is niet hetzelfde als de veronderstelling van de zinvolheid van een gemiddelde som. Een gemiddelde som zorgt ervoor dat het verband tussen toestanden niet meer gemodelleerd wordt, waardoor een “puntsnelheid” kan gedefinieerd worden die los staat van een procesevenwicht. Dus door de keuze t_i-t_j=2m en n_i-n_j=-2n_j=2n_i kan verondersteld worden dat v_ij verschillend is van 0 (de teller is zeker verschillend van nul als n_i verschillend van nul is, terwijl n_i+n_j=0 betekent dat er een getal verondersteld wordt dat de evolutie in de ene richting exact in de andere richting kan compenseren, gegeven een waarnemingsresolutie voor de nul). Hierbij kan v_ij ook de derde component zijn in een procesevenwicht. Een echt procesevenwicht met drie schaalfactoren wordt mogelijk en het evenwicht is de uitdrukking van een verschil dat geen verschil meer maakt.

Met n_i+n_j=0 wordt 4(m+n_i)(m+n_j) niet anders dan 4(m+n_i)(m-n_i)=4(m²-n_i²) en door invulling van de waarde van de getallen m en n_i wordt dit (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)², de “eigen tijd” zoals die ook in de speciale relativiteitstheorie gebruikt wordt. Dan wordt 1/γ_ij+mγ_ji+m=(t_i-t_j)²-(n_i-n_j)²/(2m)²=1-v²_ij+m=(t_i-t_j)²-(n_i-n_j)²/(t_i-t_j)², waarbij we de klassieke definitie van snelheid zien verschijnen: een verschil van twee metingen tot een tijdsverschil dat verschillend is van nul.

Tijdsverschil en trilling

De veronderstelling n_i+n_j=0 betekent dat we nu de mogelijkheid krijgen om een verband te leggen met een model van het haakformalisme dat volledig compatibel is met een 1-splitsing. Het betekent dat de getallen waarmee elkaar uitsluitende stappen (de toestanden) kunnen gekwantificeerd worden dezelfde waarde hebben en positief of negatief zijn (dit is een disjunctie, geen exclusieve disjunctie, een exclusieve disjunctie zouden we kunnen uitdrukken als “ofwel positief, ofwel negatief”). Dit kunnen we ook gebruiken om een trilling rond een evenwicht te modelleren. We kunnen inderdaad veel fysische trillingen om ons heen waarnemen en het model dat we nu kunnen ontwikkelen kan ook gebruik maken van de rijkdom van inzichten rond interferenties, resonanties enz… van die fysische trillingen.

De eenheid van de getallen kunnen we dan voorstellen als +1, -1, +1, -1, …. met een intensiteit gegeven door 2n en dus met een frequentie (namelijk een aantal 2n per tijdseenheid 2m) van n/m. De frequentie is één getal en dat getal is terug een verhouding. Deze voorstelling als een reeks getallen suggereert dat ze elkaar uitsluiten en dus “in de tijd” en “in de ruimte” gegeven zijn (de intensiteit is de “lengte” van de voorstelling van de reeks getallen). Dit is niet het inzicht van het model, het inzicht is abstracter: we moeten ons een disjunctie “op een bepaald moment” of “op een bepaalde plaats” voorstellen, geen exclusieve disjunctie. We mogen ons niet laten misleiden door het onvermijdelijke gegeven dat er wel iets moet neergeschreven worden en dat dit onvermijdelijk in de ruimte gebeurt, of dat er wel iets moet medegedeeld worden en dat dit onvermijdelijk in de tijd gebeurt. We hebben een gelijkaardige opmerking gemaakt voor de beperkingen van een Venn diagram en de interpretatie van “trillingen”. We beschouwen dus een verhouding n/m en dit is een schaalfactor. De schaalfactor beschrijft één karakteristiek van een trilling, de amplitude van de trilling is een bijkomende karakteristiek die we kunnen waarnemen als verschillende trillingen in één toestand met elkaar interfereren.

De ordeningsparameter die enkel kan toenemen kunnen we dan interpreteren als een hoek: een hoek kan nul zijn en kan blijven toenemen in een bepaalde richting en een goniometrische functie van de hoek zal een getal opleveren dat kan variëren tussen -1 en +1. Die hoek is niet ruimtelijk maar abstract, we hebben de hoek leren zien als de kwantificering van (on)zekerheid van waarnemen en de verandering van hoek als de evolutie van (on)zekerheid.

De keuze voor een nulpunt in de ordeningsparameter betekent dus de keuze voor een resolutie van een afstand n_i-n_j=-2n_j=2n_i die overeenkomt met een maximale resolutie die door een golfverschijnsel mogelijk gemaakt wordt.

De Fourier analyse laat inderdaad toe om elk punt in een toestandsruimte (zowel discontinu als punten op een baan die continu is) als een lokale superpositie van trillingen met verschillende amplitudes te beschrijven. In de praktijk zal de langste golflengte overeenkomen met de laatste onderscheiding die bereikt wordt in een gekozen tijdsverschil, kiest men een groter tijdsverschil dan heeft men een grotere golflengte nodig. De overeenkomende golf wordt dan de fundamentele harmonische genoemd, een geheel aantal maal die basisverhouding (basisfrequentie) geeft de mogelijke boventonen en al deze frequenties kunnen een verschillende amplitude hebben.

Besluit

We hebben aangetoond dat we het kwadraat van de eigen tijd van de speciale relativiteitstheorie ook kunnen uitdrukken als het meer abstracte 4(m+n_i)(m+n_j): de eigen ij-tijd. De eigen ij-tijd is een term van de verhouding 1/γ_ij+mγ_ji+m=4(m+n_i)(m+n_j)/(2m+n_i+n_j)²=1-v²_ij+m waarbij n_i en n_j de getallen zijn die bij een metrische afstand (bijvoorbeeld een ruimtelijke afstand, een afstand tussen vermogens enz...) n_i-n_j gemeten worden en die een unieke toestand kwantificeren. Hierbij verloochenen we niet meer het karakter van de ordening van tijd. De beperkingen en mogelijkheden die we nu operationeel kunnen vaststellen kunnen dan geïnterpreteerd worden als de sporen van verleden keuzes, de noodzakelijke voorwaarden voor het heden en de toekomst. Het “ervaren nu” (waarbij er ook altijd iets anders blijkt te gebeuren) is daarbij een voldoende voorwaarde om hypothesen voor die verleden keuzes te construeren en is een noodzakelijke voorwaarde om iets in de toekomst te laten gebeuren.