Wat we tellen is een eenheid, gesymboliseerd als 1. Deze eenheid herkennen we omdat ze opgespannen wordt door onderscheidingen die allemaal dezelfde waarde hebben. Het patroon <x_i><<x>_i> codeert voor deze manier om de eenheid weer te geven als welgevormde haakuitdrukking. Wanneer we deze eenheid x noemen, de variabele (intensiteit van een invariante eenheid) die geteld wordt, dan kan in het haakformalisme geplaatst worden dat de machten van de eenheid x een vectorruimte opspannen. Maar 1 heeft ook verschillende wortels. De n-eenheidswortels zijn complexe getallen C_k die 1 opleveren wanneer zij tot een macht n worden verheven. Dus C_kⁿ=1. Met de n-periodieke sequentie van de complexe getallen is ook een vectorruimte op te spannen. De opbouwende basisvectoren zijn wiskundig te modelleren vanuit de eenheidscirkel van het complexe vlak waarbij we de volgende relaties benutten: e^ix=cosx + isinx en e^iπ+1=0 en in algemene vorm Σ_ke^2πik/n=0 met de som over k van 1 tot n (de meest primitieve vorm als k en n relatief priem zijn).

Nu blijkt dat gelijk welke relatie van de intensiteit van de eenheid x tussen twee uitersten, noem deze f(x) tussen x=0 en x=L, tot op willekeurige nauwkeurigheid kan gemodelleerd worden door een gewogen som van sinusoïden. Dit noemt men de fourier transformatie en de studie van de frequenties van de sinusoïden is de fourieranalyse. Dit doet men door het interval tussen 0 en L op te splitsen in gelijke deelintervallen en er van uit te gaan dat sinusoïden met de geschikte frequentie de waarde hebben van f(x) op dat punt (bijvoorbeeld f(L/2) voor het punt in de helft van het interval). Een sinusoïde die door de uiterste punten gaat heeft de laagste frequentie en dus de grootste golflengte en die noemt men de fundamentele harmonische en die is dus gerelateerd aan “de grootste waarneming” en dus het grootste universum dat men nuttig en nodig acht.

We vragen ons nu af welk verband er is tussen de sinusoïden van de fourieranalyse en de repetitieve strings van het haakformalisme. De onderscheidingen die de tralie van het haakformalisme opspannen zijn immers als repetitieve strings op te bouwen, maar dan strings waarvan de frequentie telkens verdubbelt. Bijkomende basisvectoren worden gevormd door het product van de onderscheidingen, dus als we de onderscheidingen kunnen afbeelden kunnen we ook die product basisvectoren construeren in plaats van ze te moeten poneren.

Zonder introductie van onderscheidingen vinden we de afbeelding terug van zowel <<>> als <>, we zullen aantonen hoe we dan onderscheidingen kunnen introduceren. We laten n toenemen enkel door te verdubbelen.

Er worden bij de eerste verdubbeling dus twee getallen gegenereerd die lineair afhankelijk zijn van elkaar: +1 en -1. Als we de hoek als meeteenheid nemen dan gebeurt de ompoling tussen + en - om de π.

Dus +i en -i zijn evenzeer lineair afhankelijk en af te beelden op <<>> en <>, maar als we de hoek als meeteenheid nemen dan gebeurt de ompoling tussen + en - nu om de π/2 in plaats van om de π.

De wortels van de eenheid zijn elkaars toegevoegde.

Nemen we de hoek als een lineaire dimensie dan kunnen we deze ompoling als volgt afbeelden: voor n=2 (++--) en voor n=4 (+-+-). Dit is dan een van de afbeeldingen die we gebruikt hebben voor het twee onderscheidingen universum.

In een volgende stap worden vier getallen gegenereerd waarvan er twee lineair onafhankelijk zijn van elkaar: ±1/√2(1+i) en ±1/√2(1-i).

We bereiken nu een nieuwe situatie. Als we de hoek als meeteenheid nemen dan gebeurt de ompoling tussen + en - nu om de π/4 maar nu is er een keuze tussen ±1/√2(1+i) en ±1/√2(1-i). Inderdaad tonen we aan dat 1+i versus -1-i volledig compatibel is met de modulo3 benadering van het haakformalisme, maar hetzelfde kan gezegd worden van 1-i versus -1+i. Dit laatste hebben we niet expliciet uitgeschreven maar de studie van de eerste variant maakt dit duidelijk.

De variant van het haakformalisme met bitafbeelding 1+i en -1-i hebben we gebruikt om hieruit projectoren af te leiden die het grote voordeel hebben dat ze geen onderscheid maken tussen punten en hun inbedding (bijvoorbeeld geen onderscheid maken dus AND-atomen en hun inbedding de OR-atomen).

Hier ontstaat dus een bifurcatie: er zijn twee manieren om de uitbreiding te maken naar het drie onderscheidingen universum voor n=2 (++++----) en voor n=4 (++--++--) voor n=8 (+-+-+-+-).

Bij een volgende stap ontstaat weer een bifurcatie.

De som van de getallen levert complexe getallen waarbij er 8 niet verschillend zullen zijn van 0; 4 zuiver reëel zullen zijn; 4 zuiver imaginair en de 12 overige een reëel en een imaginair gedeelte hebben.

Een volgende stap genereert zestien getallen en een nieuwe bifurcatie.

Fourier benadering van de evolutie van de intensiteit van haakuitdrukkingen

Dank zij het haakformalisme kunnen we expliciet maken waarom alle operationeel te onderbouwen fenomenen te benaderen zijn met fourier analyse: ze zijn allemaal vanuit onderscheidingen opgebouwd en onderscheidingen kunnen als repetitieve patronen gemodelleerd worden. Een fourier transformatie op een willekeurige functie uitvoeren betekent dat de getallen die in de functie gecodeerd zijn geprojecteerd worden in een onderscheidingen universum. De fourier coëfficiënten zijn dan op een zodanige manier met elkaar verbonden dat ze atoomburen kunnen coderen van eenzelfde universum. Het zijn atoomburen omdat enkel deze te tellen zijn en ze worden altijd opgespannen door enkel andersduale componenten (bijvoorbeeld is een atoombuur in het drie onderscheidingen universum <>⊕a•b⊕a•c⊕b•c en in het vier onderscheidingen universum is dit <a•b>⊕<a•c>⊕<a•d>⊕<b•c>⊕<b•d>⊕<c•d>⊕<a•b•c•d>).

Wat het tijdsdomein van de transformatie genoemd wordt zien we nu duidelijk als de voorstelling in functie van de laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt, het is de onderscheiding die zorgt voor de basis harmonische, het is de onderscheiding die blijkbaar het gevolg is van een willekeurige keuze van de grootte die gemodelleerd wordt.

Wat het frequentiedomein genoemd wordt is het onderscheidingen universum dat de tralie (de structuur) zal opspannen (met dus de wel ingebouwde onderscheidingen die de eenheid die geteld wordt karakteriseert).

Het is nuttig expliciet op te merken dat de krachtige inzichten van het haakformalisme door de fourieranalyse verborgen wordt in getallen die nu op een niet meer uit te rafelen manier met elkaar verbonden zijn. Dit wordt duidelijk doordat we expliciet de wortels van 1 uitgeschreven hebben (en dan ergens moesten stoppen in het aantal cijfers na de komma): al de wortels kunnen uitgedrukt worden als lineaire sommen van basisvectoren 1 en i (en dus in het 1-splitsing model), meer dan deze twee dimensies (gevisualiseerd in de eenheidscirkel in een vlak) is er niet nodig alhoewel de structurele relaties dieper gaan en met de gehele getallen n (of rationale getallen 1/f) kan beschreven worden. Dit brengt met zich mee dat deze bekende lineaire wiskundige techniek zonder problemen kan gevolgd worden en dus coëfficiënten zonder verdere beschouwingen met elkaar vermenigvuldigd worden hoewel het inzichtelijker zou zijn om de getallen die structuur coderen uit de coëfficiënten af te splitsen.

Het is dat laatste dat door het haakformalisme perfect uitgevoerd wordt, omdat het ontwikkeld kan worden als een operationeel te onderbouwen structuurwetenschap vooraleer er getallen geïntroduceerd worden, en het dus mogelijk maakt om de veronderstellingen die moeten ingevoerd worden om getallen terug te vinden te onderzoeken op hun gevolgen voor een inzicht in de operationeel te onderbouwen structuur van de werkelijkheid. Dit kan geïllustreerd worden doordat de getallen die afgesplitst kunnen worden van de getallen die structuur coderen ook als (kwantum)waarschijnlijkheden kunnen geïnterpreteerd worden, met een interpretatie die operationeel transparant is.

We verwachten dan ook dat ook de fourieranalyse exponentieel eenvoudiger kan gemaakt worden door de inzichten van het haakformalisme toe te passen (bijvoorbeeld enkel producten van een even aantal sinusoïden gebruiken).