Wat we tellen is een eenheid, gesymboliseerd als 1. Wanneer we deze eenheid x noemen, de variabele die geteld wordt, dan kan uit de structuur van de vectorruimte die in het haakformalisme aan de tralie van de werkelijkheid toegekend wordt afgeleid worden dat de gehele (positieve of negatieve) machten van de eenheid x een vectorruimte opspannen.

We merken nu op dat 1 ook reciproque (positieve of negatieve) machten heeft, dit zijn de verschillende wortels van 1. De n-eenheidswortels zijn complexe getallen C_k die 1 opleveren wanneer zij tot een macht n worden verheven. Een n-eenheidswortel is primitief voor alle k kleiner dan n, dus er geldt dat C_k≠1 voor k = 1, 2, 3, ..., n-1. Alle primitieve n-eenheidswortels zijn verschillend. Aangezien C_nⁿ=1 zijn er dus k verschillende n-eenheidswortels C_k inclusief dus 1 zelf. Een gehele macht m van een n-eenheidswortel is eveneens een n-eenheidswortel, immers (C_k^m)ⁿ = (C_kⁿ)^m. Wanneer de gehele macht m negatief is wordt de complex geconjugeerde van de eenheidswortel bereikt. Er geldt dan dat C_k^m= C_k^n-m. Bijvoorbeeld: 1/C_k=C_k^-1=C_k^n-1.

We zullen de “n-eenheidswortels” nu gewoon “eenheidswortels” noemen, en impliciet houden dat ze met elkaar gerelateerd zijn in een universum met n wortels van 1.

De eenheidswortels leiden op een nieuwe manier tot een modulo benadering, de modellering die we gebruiken om naar bitstrings over te gaan in het haakformalisme. Inderdaad: C_k^a= C_k^b enkel en alleen als a=b modulo n want dan geldt dat a=b+cn voor een geheel getal c en dus C_k^a= C_k^b+cn=C_k^bC_k^cn= C_k^b (C_kⁿ)^c= C_k^b (1)^c= C_k^b

Er is een ruimte interpretatie van eenheidswortels beschikbaar. De eenheidswortels kunnen voorgesteld worden als punten van de eenheidscirkel in een vlak, “het complexe vlak” genoemd, dat opgespannen wordt door de reële vector 1 en de complexe vector i, en zij zijn in dat complexe vlak eenheidsvectoren in de richting van de hoekpunten van een n-zijdige regelmatige veelhoek met een hoekpunt op 1. Als we de hoek in rekening nemen kunnen we een primitieve eenheidswortel ook schrijven als C_k=e^2πik/n omdat C_kⁿ =(e^2πik/n)ⁿ=e^2πik =1^k=1. Inderdaad e^iπ+1=0, e^iπ=-1, e^i2π=1.

Er is ook een tijd interpretatie van eenheidswortels beschikbaar. We merken daartoe op dat 1/n ook als f kan geschreven worden. De primitieve eenheidswortels C_k=e^2πik/n voor k = 1, 2, 3, ..., n-1 kunnen dan in het algemeen als C_k=e^2πikf aangegeven worden. Hierbij kan k als een tijd parameter en f als een frequentie geïnterpreteerd worden. Het getal 2πf wordt ook een hoeksnelheid genoemd. Deze nieuwe interpretaties laten toe het golfkarakter van de eenheid uit te drukken. De primitieve eenheidswortels C_k=e^2πikf vindt men wanneer 1/f en k onderling ondeelbaar zijn (relatief priem, co-priem). De verhouding 1/n=f maakt ook duidelijk dat er een grens zal te verwachten zijn voor deze benadering.

De eenheidswortels spannen ook een vectorruimte op voor alle periodieke sequenties van complexe getallen. De vectorruimte die opgespannen wordt door de primitieve eenheidswortels kan als volgt kan geconstrueerd worden: vorm de volgorde van complexe getallen « C_k^-2, C_k^-1, C_k⁰, C_k⁺¹, C_k⁺², » voor elke k = 1, 2, 3, ..., n waarbij de aanhalingstekens (guillemets) aanduiden dat het patroon in beide richtingen eindeloos doorgaat zoals we ook toepasten als notatie bij ongekend lange bitstrings.

Deze volgorde is n-periodiek aangezien C_k^+k+n= C_k^+k. C_k⁺ⁿ= C_k^+k voor elke k = 1, 2, 3, ..., n

Bijvoorbeeld voor n tot en met 4:

Deze paar voorbeelden maken al duidelijk dat we met de ongekend lange strings sommering en vermenigvuldiging kunnen definiëren zoals we bij het hanteren van ongekend lange 1-splitsing universum naamstrings hebben uitgelegd, en dat we hierbij rekening zullen moeten houden met faseverschijnselen. Zo begrijpen we dat bijvoorbeeld « (-1+i3^1/2)2^-1 » (een element uit een sequentie in n=3) als een lineaire combinatie van « 1 » en « i » kan uitgedrukt worden (sequenties in n=4). De vectoren 1 en i zijn echter zodanig verstrengeld met elkaar dat ze enkel in de relatie e^ix=cosx + isinx met elkaar kunnen gecombineerd worden.

Met de sequenties in n=4 kunnen we een afbeelding in het twee onderscheidingen universum construeren als we van een getallen sequentie overgaan op het teken voor het getal zoals in de tabel gedemonstreerd wordt. Inderdaad hebben we aangetoond dat alle welgevormde haakuitdrukkingen in een twee onderscheidingen universum kunnen afgebeeld worden als creatief product.

De sequenties van primitieve eenheidswortels C_k=e^2πikf zijn dus voldoende om de tralie van de werkelijkheid als vectorruimte op te spannen. De genererende onderscheidingen kunnen we voorstellen als rotaties. Het begrip “rotatie” is eveneens een model voor het creatief product onder voorwaarde dat men een laatst toegevoegde onderscheiding beschouwt (x⊗y)_ℵ waarvoor (x⊗x)_ℵ, het creatief kwadraat, de eenheid is. De eenheid hoeft geen waarde toegekend te krijgen. Hiermee hebben we de cyclische groep C_n geconstrueerd in het haakformalisme en (x₁⊗x₂⊗x₃⊗x₄⊗x₅...⊗x_n)_ℵ wordt dan de notering in het haakformalisme van een rotatie over 2π/n en (x₁⊗x₂⊗x₃⊗x₄⊗x₅...⊗x_n=x₁)_ℵ de notering in het haakformalisme van een rotatie over 2π. Op die manier is de Fourier analyse in het haakformalisme te modelleren. Het tijdsdomein wordt hierbij voorgesteld door de laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt in de tralie. Het frequentie domein codeert de resolutie van de waarneming (hoe groter n, hoe meer onderscheidingen, hoe meer elkaar uitsluitende toestanden kunnen onderscheiden worden).

Merk op dat deze repetitieve sequenties sequenties zijn van getallen. Dit zijn getallen die structuur coderen, ze zijn met elkaar gerelateerd omdat ze één “hoek” x (of 2πk) weergeven. Dit zijn dus geen coëfficiënten die de intensiteit van wat waargenomen is zouden kunnen coderen (bijvoorbeeld als een amplitude). Wanneer men beide soorten getallen mengt (structuur getallen en intensiteit getallen) dan verliest men het inzicht in wat men onderzoekt. Dit is analoog met het verschil tussen de vectorruimte die opgespannen wordt door (1+x)ⁿ die isomorf is met de vectorruimte van het onderscheidingen universum en de vectorruimte die opgespannen wordt door xⁿ die het onderscheidingen inzicht verdoezelt dat beschikbaar is met de modellering langs (1+x)ⁿ.