Veronderstel twee reeksen getallen die enkel toenemen. Het zijn gehele getallen als ze resultaten zijn (als ze sporen zijn) van een telling, het zijn reële getallen als ze resultaten zijn (als ze sporen zijn) van een berekening. Noem de ene reeks nu pi en de andere reeks qi. Voor elke i is pi-1 kleiner dan pi. Voor elke i is qi-1 kleiner dan qi. De som van een element uit beide reeksen voor een i noemen we ni. Dus pi+qi=ni. Dus ni neemt enkel toe, kan een geheel getal zijn, kan een reëel getal zijn, maar ni kan ook een dubbelgetal zijn waarvan de twee componenten enkel toenemen.
Veronderstel nu pi=qi+mi met mi een positief geheel getal. Dus de stijgende reeks pi en de stijgende reeks qi hebben een getal mi gemeenschappelijk. Dus pi-qi=mi en aangezien we stelden pi+qi=ni verbinden ni en mi de twee reeksen met elkaar. Er geldt ook: 2pi=(ni+mi) en 2qi=(ni-mi). Dit bepaalt de schaalfactor tussen de twee keuzes, namelijk 2=(ni+mi)/pi=(ni-mi)/qi.
Deze getallen interpreteren we nu als aantal bits van een bepaalde soort, die we in een waarneming construeren als een aantal pi versus een aantal pi<> in een universum met ni bits.
2qi=(ni-mi) betekent dat het aantal bits die in de waarneming verschillen een tweevoud is (een even getal als qi een geheel getal is). In de klassieke hypothese worden voor één entiteit slechts twee contradualerende atomen beschouwd. Dus in de klassieke hypothese is (ni-mi) niet anders dan 2 en dus qi=1. De twee toestanden bevinden zich op hetzelfde niveau zonder elkaars inbedding te zijn (dit laatste is trouwens enkel mogelijk bij het 1-onderscheiding universum). Ze hebben dus altijd ni-2 gemeenschappelijke bits en dus is mi=ni-2. Dat betekent dat 2=ni-mi=pi+pi<>. Is ni een dubbelgetal dan zou het zo kunnen zijn dat pi de ene dimensie van het getal kwantificeert en pi<> de andere dimensie van het getal (dat moet natuurlijk niet zo zijn). Dit maakt ook duidelijk dat de klassieke hypothese het mogelijk maakt om een gemiddelde te definiëren dat hierdoor de mogelijke relaties tussen de reeksen pi en qi beperkt. Immers 2qi=2=ni-mi=pi+pi<> en dus is qi=(pi+pi<>)/2. We hebben dit de veronderstelling van continuïteit genoemd, de reeks pi en qi zijn niet onafhankelijk van elkaar en zijn aantallen in één zelfde tralie. Merk op dat 2=pi+pi<> dan de som van twee reële getallen kan zijn (eventueel met ongekend aantal betekende cijfers), dat gelijk is aan een geheel getal.
Met de veronderstellingen is ni een reëel getal en mi is een positief geheel getal dat kleiner is dan ni. Dus 2pi=(ni+mi) kan geïnterpreteerd worden als het aantal bits in een universum met één onderscheiding meer dan het universum dat ni opspant en dus opgespannen wordt door 2ni bits, een a priori onbekend en misschien ook onkenbaar aantal.
Met deze veronderstellingen kunnen we nu verschillende schaalfactoren en dus ook hoeken definiëren die eveneens de twee reeksen getallen met elkaar verbinden op voorwaarde dat we daarvoor een invariante referentie construeren. Die referentie is dan het totaal aantal metingen die in twee elkaar uitsluitende categorieën kunnen ondergebracht worden. We interpreteren dat als de totale intensiteit van de waarneming van het gedrag van een entiteit. Die hoek is niet ruimtelijk maar abstract, we moeten de hoek leren zien als de kwantificering van (on)zekerheid van waarnemen en de verandering van hoek als de evolutie van (on)zekerheid. We geven hiervan een paar voorbeelden.
Een eerste hoek noemen we θ1 met de constructie pi/(qi-mi)=tan2θ1 en dit is niet anders dan pi/(ni-mi-pi). Dit herkennen we als we de getallen interpreteren als een aantal bits: aan de meest eenvoudige waarneming of meting kan altijd een hoek verbonden worden. We voeren de meest eenvoudige meting of waarneming uit en we moeten twee soorten onderscheiden: in het aantal gevallen gelijk aan (ni-mi-pi)/(ni-mi) zal de ervaren toestand zich als de ene soort toestand voordoen, en in het aantal gevallen gelijk aan pi/(ni-mi) zal de ervaren toestand zich als de andere soort toestand voordoen. De som van de aantallen pi en (ni-mi-pi) geeft ons de referentie (ni-mi). Inderdaad: (ni-mi-pi)/(ni-mi)+pi/(ni-mi)=1.
We kunnen ook een tweede hoek θ2 definiëren. Een uitdrukking van het type (pi-qi)/(pi+qi)=(pi-qi)/ni=mi/ni kunnen we met de tan2θ2 =mi/ni constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (ni+mi) vinden we door te stellen: mi/(ni+mi)+ni/(ni+mi)=1
We kunnen ook een derde hoek θ3 definiëren. Een uitdrukking van het type (ni-mi)/(ni+mi)=2qi/2pi kunnen we met de tan2θ3 =qi/pi constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (qi+pi)=ni vinden we door te stellen: qi/(qi+pi)+pi/(qi+pi)=1
We kunnen ook een vierde hoek θ4 definiëren. Een uitdrukking van het type mi/(ni-mi)=mi/(pi+qi-mi) kunnen we met de tan2θ4 =mi/(pi+qi-mi) constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (qi+pi)=ni vinden we door te stellen: mi/(qi+pi)+(pi+qi-mi)/(qi+pi)=1.
De hoeken zijn per definitie een fractie van π. De fractie “van π” is uiteraard een abstracte constructie want voor π kunnen we niet kiezen (π heeft een “onkenbaar aantal” betekende cijfers). De hoeken geven relaties tussen vier getallen (van de vier getallen ni, mi, pi, qi, zijn er maximaal drie te kiezen). De hoeken zijn schaalfactoren. We zullen in de praktijk onvermijdelijk moeten kiezen voor een benadering van π en die benadering drukt onze grens uit als agens-in-context: een hoek drukt de waarnemingsresolutie van een agens-in-context uit. De relaties tussen de vier getallen zijn verhoudingen van een teller tot een noemer, met de voorbeelden zijn dat namelijk pi/(ni-mi-pi), mi/ni, qi/pi, mi/(ni-mi). We kunnen nu veronderstellen dat één van de vier getallen kan gekozen worden en dus telbaar is. We kunnen dat getal interpreteren als een aantal golven. De andere zijn reële getallen met een onbekend aantal betekende cijfers. Die kunnen we interpreteren als een onbekend aantal stappen met een totaal aantal (stappen) dat we als een onvermijdelijke normalisatie moeten interpreteren, onvermijdelijk omdat we maar zo lang konden waarnemen.
We kunnen dat gemakkelijker begrijpen met een voorbeeld. Neem pi versus (ni-mi-pi) en de hoek die kan berekend worden vanuit de verhouding tan2θ = pi/(ni-mi-pi). We veronderstellen nu dat pi het aantal golven is dat we tellen met zekerheid: met zekerheid zeggen we pi maal “ja” (uiteraard duaal: met zekerheid zeggen we pi maal “neen”). Onbekend is het aantal stappen dat we doorlopen hebben: het aantal toestanden (die elkaar uitsluiten) die noodzakelijk zijn om tweemaal “ja” te kunnen zeggen (en dus één volledige golf waar te nemen) en te besluiten dat het gedrag periodiek is. Al is het aantal stappen onbekend, toch zijn we met zekerheid moeten stoppen met waarnemen. Dus het totaal aantal stappen hebben we ook kunnen kiezen (we hebben immers gekozen om te stoppen na een onbekend aantal stappen). Dit beschouwen we nu als de eenheid 1 van de waarneming van het gedrag van de entiteit E. Dit is onvermijdelijk. Gedrag dat resulteert enkel door coördinatie van nog meer toestanden is onvermijdelijk niet waargenomen, we hebben immers zolang niet gewacht, die toestanden zijn niet kunnen gebeuren. Dus: we zeggen pi maal “ja”, gekend geheel getal, en dus hebben we (ni-mi-pi) maal “neen” gezegd, onbekend reëel getal dat we dus niet kunnen tellen (voor alle duidelijkheid: dit is een veronderstelling die volledig duaal te formuleren is). Maar we moeten nu ook veronderstellen dat de som van beide overeenkomt met het onbekend aantal stappen (overgangen van toestand naar toestand) waarmee we de entiteit E waargenomen hebben en een “ja” konden zeggen voor een bepaald gedrag van E. Deze som is (ni-mi)=pi + (ni-mi-pi). Als we de beide termen van de som nu delen door (ni-mi) dan resulteert dit in pi/(ni-mi) + (ni-mi-pi)/(ni-mi) = 1 en dat interpreteren we nu als sin2θ + cos2θ = 1 die een hoek bepalen en de hoek wordt dan ook gegeven door tan2θ = pi/(ni-mi-pi). Het voorbeeld dat we hier uitgeschreven hebben is niet anders dan een Poisson proces, en we kunnen dat dieper onderzoeken. Al deze verhoudingen van getallen die aanleiding geven tot hoeken zijn ook als product van getallen te schrijven en dus ook als verhoudingen van priemgetallen.
Herhaling in gedrag wordt waargenomen wanneer het aantal herkenningen minimaal 2 is: we herkennen iets en we zeggen “ja” en daarop volgend herkennen we het nogmaals en zeggen weer “ja”. Wat we niet weten is wanneer we moeten ophouden met waarnemen (hoe lang willen we wachten tot we een tweede maal “ja” kunnen zeggen). Dit betekent dat we in werkelijkheid altijd moeten stoppen en dit begrijpen we nu als een onvermijdelijke normalisatie die als onmiddellijk gevolg heeft dat een waarnemingseenheid te definiëren is en een hoek als gevolg hiervan (sin2θ + cos2θ = 1). We kunnen dus veronderstellen dat de hoek de fase geeft waarmee twee golven ten opzichte van elkaar verschoven zijn. Als we nu de verhoudingen bekijken die aanleiding geven tot de hoek dan zijn deze pi/(qi-mi) in het eerste voorbeeld, mi/ni in het tweede voorbeeld, qi/pi in het derde voorbeeld, mi/(ni-mi) in het vierde voorbeeld. In het tweede en vierde voorbeeld hebben we verondersteld dat mi een positief geheel getal is, maar het is duidelijk dat we die veronderstelling in het eerste voorbeeld hadden kunnen maken wat betreft pi en in het derde voorbeeld wat betreft qi.
Dit maakt het mogelijk om te spreken over een geheel aantal golven tot een onbekend aantal stappen (bijvoorbeeld mi/ni) als schaalfactor en als we deze verhouding delen door 2π dan is het resultaat een frequentie F. Het getal 2πF=mi/ni wordt ook de “hoeksnelheid” genoemd. De tijd nodig voor één rotatie is de periode T en dus is de hoeksnelheid ook 2π/T=mi/ni. F=mi/2πni en T=1/F=2πni/mi. Inderdaad, de rotatie is niet anders dan de evolutie van een hoek.
We hebben verondersteld dat ni voortdurend toeneemt (zelfs als het een dubbelgetal zou zijn). Stappen zijn additief, maar de eenheid hiervan is onbekend. Om een frequentie te definiëren hebben we moeten veronderstellen dat 2π deel uitmaakt van de eenheid ni. Die eenheid is dus goed gedefinieerd, verondersteld groter te zijn dan 1, maar is niet te kiezen. De verhouding 1/ni (de reciproque van ni) is eveneens een entiteit, maar dan met de dimensie “reciproque stap” of “per stap”. De reciproque stap is een schaal waarbij het totaal verschil altijd groter is dan een deel van het verschil zoals bij de gewone stap (er geldt additiviteit), maar in tegenstelling met de gewone stap waarvan we kunnen veronderstellen dat elke stap even groot is en groter dan 1, is elke stap bij de reciproque stap ook even groot, maar kleiner dan 1. Die verhouding 1/ni is de frequentie F en is dus afhankelijk van ni (van het totaal (!) aantal toestanden die onderscheiden kunnen worden, aantal dat niet a priori bekend is maar goed gedefinieerd is omdat we dan zijn gestopt met waarnemen). In toestand i is de intensiteit van die eenheid (1/ni) het getal mi en dit is een geheel getal, dus te kiezen en te tellen. Het gevolg daarvan is dus dat sommige frequenties F of periodes T een veelvoud zullen zijn van andere en de extrema vallen dan samen. Dit noemt men resonantie: een toename van amplitude door de synchronisatie van golven.
Neem nu twee golven met schaalfactoren f1 en f2. De schaalfactoren zijn benaderingen van π en het aantal golven in die benadering kunnen we altijd tellen en is een geheel getal. Dat aantal noemen we g en de golflengte G wordt dan gegeven door G=g(f1-f2) of G’=g(f1+f2). Inderdaad: voor elk geheel getal g is cos(2π(f1g-f2g)/G)=1 en zo ook cos(2π(f1g+f2g)/G’)=1. Resonantie (namelijk het overeenkomen van punten met maximale zekerheid of het simultaan waarnemen van punten met maximale zekerheid) zal optreden als een van beide resulterende frequenties van zekerheid een geheel veelvoud is van de andere. Intensiteiten (amplitudes van de trillingen) die dan worden opgeteld doen elkaar niet (deels) teniet. Resonantie is dan niet te vermijden in een evenwicht dat gekarakteriseerd wordt door een invariante intensiteit en resonantie zorgt ervoor dat we nieuw gedrag waarnemen in dat evenwicht.
Resonantie (en dus minimaal twee frequenties F1 en F2) zal er voor zorgen dat de intensiteit die waargenomen wordt boven een waarnemingsresolutie kan uitstijgen. We kunnen dat als volgt modelleren.
We veronderstellen een steeds toenemende reeks getallen (pi-q)/(pi+q) die intensiteiten zijn die berekend worden vanuit een steeds toenemende pi met een onveranderlijke q. Dus de reeks getallen waarvan vertrokken wordt is bijvoorbeeld: p1; p2; p3; …. Stel nu pi=q+i/q. Dus bij een niet op voorhand gekend geheel getal i krijgt pi voor het betrokken agens-in-context een waarneembare intensiteit. Dat is dus een geheel aantal maal 1/q. Dat kunnen we nu interpreteren als een geheel aantal maal de verhouding van een som of verschil van schaalfactoren tot een golflengte. Dus i(1/q)=i((f1-f2)/G) of i(1/q)=i((f1+f2)/G’). Hierbij zijn f1 en f2 fracties van (of alternatieven voor) π.
Stel nu dat (pi-q)/(pi+q)=mi/ni dus: (pi-q)=mi en (pi+q)=ni en hieruit volgt mi=i/q. Dus ni-mi=(pi+q)-i/q=(q+i/q+q)-i/q=2q. Hieruit kunnen we besluiten dat 2q het aantal invariante bits geeft in een evoluerend universum dat met meer bits moet beschreven worden. De invariante bits blijken gekwantificeerd te worden door <<G/(f1-f2) of G’/(f1+f2)>>. Deze uitdrukking is een disjunctie van rationale getallen, geen exclusieve disjunctie en rationale getallen zijn onvermijdelijk beperkt.
Een voorbeeld met zes golven met een andere golflengte die kunnen resoneren met elkaar vinden we in de tabel die een aantal golven telt, aantal dat we als alternatief voor een aantal (geordende) stappen kunnen gebruiken (en waarmee we de ordening van de stappen een andere schaal geven).
Terwijl resonantie in het grootst mogelijk universum (hoogste resolutie) zeer waarschijnlijk is (er zijn dan golven met hoge frequentie beschikbaar) neemt de waarschijnlijkheid van resonantie af naarmate de laatst toegevoegde onderscheiding meer benaderd wordt (die golf heeft de laagste frequentie).