In het getallendomein stellen we een som van verhoudingen voor als Σ_i1/(1±k_i) waarin we kunnen veronderstellen dat k_i=m_i/n_i en 0<k_i<1, dus ook k_i is een verhouding. We tonen aan dat dit de meest algemene vorm is (in het getallendomein) van een eenheid die een intensiteit kan krijgen. De eenheid is dan een dubbelgetal en met dubbelgetallen (en hun uitbreiding als kettingbreuken) kunnen we tralies construeren. Dit maakt dan duidelijk dat de modulo-n getallen in het getallendomein aan de basis liggen van de structuur tussen mogelijke eenheden. De intensiteit van die eenheden wordt dan gemodelleerd door de exponent van 1/(1±k_i).

Met k als eigenwaarde kunnen we zowel positieve als negatieve feedback kwantificeren en we zien dat de exponenten van 1/(1±k) daarbij een belangrijke rol spelen. k is altijd voor te stellen als (n-m)/(n+m) en deze laatste vorm heeft belangrijke toepassingen.

We hebben ook begrepen dat een verhouding niet anders is dan een product maar dan met een eenheid die getransformeerd werd.

Laten we nu vertrekken van één rij positieve gehele getallen: n₀, n₁, n₂, … die bijvoorbeeld sporen zijn van metingen met toestanden T₀, T₁, .… Om geen verwarring mogelijk te maken voor deze veronderstelling kan een absolute waarde expliciet genoteerd worden zoals |n₀|, |n₁|, |n₂|, …

We gaan nu verschillende processen beschouwen die de geordende opeenvolging met sommen en verschillen van zo’n getallen kunnen genereren. Een voorbeeld van zo’n proces is het Fibonacci proces (het som proces of verschil proces dat een Fibonacci viertal genereert). Een Fibonacci proces stopt nooit en begint nooit: we kunnen ons voorstellen dat de rij naar rechts steeds uitbreidt, zowel als de rij naar links. Een proces dat een evenwicht bereikt kunnen we modelleren door minimaal twee Fibonacci rijen met elkaar te combineren, we hebben immers bewezen dat alleen dan de nul bij elke stap kan bereikt worden.

De sommen interpreteren we als intervallen met namen t_ij. De verschillen interpreteren we als intervallen met namen x_ij. Het verschil tussen beide is commutativiteit of niet en dat is een fundamenteel verschil. We hebben trouwens vastgesteld dat een som van eerste generatieverschillen (die we als snelheid kunnen interpreteren) leidt tot een projector die verschillend is van de projectoren die vanuit een verschil geconstrueerd worden en we hebben vastgesteld dat de som van twee eerste generatie verschillen een welgevormde haakuitdrukking genereren in één onderscheiding. Dus sommen van verschillen zijn belangrijk om te onderzoeken.

Al de berekeningen met de intervallen en hun verhoudingen zijn dus dimensieloos. Sommen zijn goede kandidaten voor intensiteiten. Sommen genereren priemgetallen en die maken een unieke eenheid mogelijk als het invers van een priemgetal, eenheid die dan een intensiteit kan krijgen. Verschillen zijn goede kandidaten voor eenheden die een intensiteit gelijk aan nul kunnen construeren. We modelleren dat door t_ij verschillend van nul te nemen en dan kunnen we 1/t_ij beschouwen als eenheid en x_ij als intensiteit van de verhouding x_ij/t_ij. We benadrukken nog eens dat x_ij/t_ij een meer abstracte verhouding is dan de snelheid die gedefinieerd wordt als een afstandsverschil ten opzichte van een tijdsverschil (wat de klassieke procedure is). De verhouding v is niet meer en niet minder dan een goed gedefinieerd en meetbaar rationaal getal dat vanuit twee andere getallen geconstrueerd wordt: v=(n-m)/(n+m).

Som van twee verhoudingen v_ij als rekenkundig gemiddelde

De verhoudingen die we definieerden zijn rationale getallen en kunnen we dus optellen.

We sommeren nu de twee opeenvolgende verhoudingen v₀₁=(n₀-n₁)/(n₀+n₁) en v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂). Deze verhoudingen zijn goed gedefinieerd en maken het mogelijk om een evenwicht te modelleren zelfs met meer dan twee schaalfactoren. Dus (n₀-n₁)/(n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(n₁+n₂)=((n₀-n₁)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)(n₀+n₁))/(n₀+n₁)(n₁+n₂)=(2n₀n₁-2n₁n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)=2(n₀n₁-n₁n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂).

Dit maakt het duidelijk dat we met deze som een “gemiddelde verhouding” kunnen berekenen, “het rekenkundig gemiddelde”, namelijk de som van de helft van de twee verhoudingen, identiek met de helft van de som van de twee verhoudingen

Dit interpreteren we als de verhouding van een interval 2(n₀n₁-n₁n₂) dat kan toenemen of afnemen tot een interval (n₀+n₁)(n₁+n₂) dat alleen maar kan toenemen. Deze eerste berekening maakt ook duidelijk dat de teller de functie inneemt van een variabele intensiteit, terwijl de noemer hier de functie inneemt van de eenheid die enkel maar kan toenemen, inderdaad een meer uitgebreide som van intervallen v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) zal als noemer het product hebben van alle noemers die gesommeerd worden, namelijk П_k(n_ik+n_jk), en dit kan alleen maar toenemen. We kunnen zo een som van drie en meer schaalfactoren hieronder uitgebreid onderzoeken.

De teller is de intensiteit

2(n₀n₁-n₁n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂) stelt ons in staat om een interval of “een ruimteafstand” te relateren aan de gemiddelde snelheid van twee opeenvolgende schaalfactoren of snelheden v₀₁ en v₁₂. Dit interval is dus niet anders dan (n₀n₁-n₁n₂). We kunnen dit interval de naam s₀₂ geven en is dus van het “type x” en dus niet commutatief en is de helft van de teller 2(n₀n₁-n₁n₂). Wanneer alle n_i gelijk zijn aan elkaar (de situatie van evenwicht) zal dit interval ook gelijk zijn aan nul. Maar dit zal ook gelijk zijn aan nul in het geval dat n₀n₁=n₁n₂ en dit hangt niet af van n₁, alleen van n₀=n₂. Het interval (n₀n₁-n₁n₂)=n₁(n₀-n₂) verschilt duidelijk van het interval (“de afstand”) (n₀-n₂) die aanleiding zou geven tot de snelheid v₀₂ die met de tijd (n₀+n₂) zou gerelateerd zijn en die we noteerden als x₀₂. Het interval is een meervoud van (n₀-n₂), namelijk n₁(n₀-n₂). Dit is het commutatief product van de getallen n₁ en (n₀-n₂) en kunnen we ook interpreteren als intensiteit versus eenheid. Een van beide kan dan niet meer gehalveerd worden (een halve koe is een kadaver), neem bijvoorbeeld n₁ als intensiteit van de eenheid (n₀-n₂), dan wordt duidelijk dat als we voor n₁=½ kiezen, s₀₂ gegeven wordt door (n₀-n₂)/2. We zouden ook andere keuzen kunnen maken zoals we dat kunnen voor alle intensiteiten.

De noemer is de eenheid

Ook het tijdsinterval verschilt aangezien in het algemeen (n₀+n₂) ook verschilt van (n₀+n₁)(n₁+n₂).

Dit geeft ons de mogelijkheid om te berekenen wanneer (n₀+n₂) en (n₀+n₁)(n₁+n₂) gelijk zouden zijn aan elkaar, waarmee we dan de veronderstelling van een klassiek rekenkundig gemiddelde voor de enkel toenemende parameter modelleren. We berekenen dus onder welke voorwaarde geldt dat (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂) = n₀(n₁+n₂)+n₂(n₁+n₁²/n₂). Dus zowel (n₁+n₂)=1 en (n₁+n₁²/n₂)=1 moet gelden. Hieruit volgt dat de keuze is: n₁=n₂=½. Dit betekent dus dat de veronderstelling dat men een rekenkundig gemiddelde kan berekenen voor “tijdafstanden” een bepaalde keuze veronderstelt van de waarde voor sommige getallen n_i van de intervallen waarmee men het gemiddelde berekent. De veronderstelling is dus dat alle intervallen van het type x_ij van het type (n_i-½) zijn en we kunnen dit dus het volgende symbool geven: x_ni½. Alle intervallen van het type t_ij zijn dan van het type (n_i+½)=t_ni½. En het interval met naam s_i½ is dan niet anders dan (n_i½ -½½)=½(n_i-½) en dit is de helft van het interval x_i½. Daarenboven zal bij deze keuze het interval v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂) gelijk worden aan nul. Van de drie getallen v₀₁, v₀₂, v₁₂ die een evenwicht uitdrukken is er één gelijk aan nul zonder dat de getallen n_i gelijk aan nul moeten zijn: een van de getallen n_i is n (bijvoorbeeld n₀=n) en verschillend van al de andere (die gelijk zijn aan elkaar en zich niet meer van elkaar kunnen onderscheiden: ze zijn allemaal gelijk aan ½). De drie getallen reduceren tot twee getallen die aan elkaar gelijk zijn, we berekenen dus maar één getal, namelijk (n-½)/(n+½). Dit is een verhouding en dus maar één schaal en we kunnen ons de vraag stellen of we dat mogen laten overeenkomen met een snelheid aangezien we wel duidelijk snelheid als iets begrijpen dat twee toestanden “met elkaar verbindt” en die toestanden sluiten elkaar uit. We hebben dus maar één intensiteit gemeten en de intensiteit van alle andere toestanden vastgelegd met de waarde ½. Dit is een belangrijk inzicht omdat het opgebouwd is vanuit het fundament dat empirisch kan getoetst worden.

De toenemende parameter kunnen we ook modelleren met gelijke stappen, dus de situatie dat n₀+i/n₀ de intensiteit van de steeds toenemende t geeft na i stappen.

We kunnen nu modelleren wat n₁(n₀-n₂) zou zijn in die veronderstelling. We substitueren: (n₀+1/n₀)(n₀-(n₀+2/n₀))=(-n₀-1/n₀)/n₀=-2-2/n₀². Het interval (n₀n₁-n₁n₂) is dus niet verschillend van -2 (met een waarnemingsresolutie die nog kleiner is dan 1/n₀). De noemer (n₀+n₁)(n₁+n₂) wordt dan (n₀+(n₀+1/n₀))((n₀+1/n₀)+(n₀+2/n₀))=(2n₀+1/n₀)(2n₀+3/n₀)=(1+2n₀²)(2+3/n₀²) dus gelijk aan 2 (met een waarnemingsresolutie die nog kleiner is dan 1/n₀). De verhouding n₁(n₀-n₂) is dus de intensiteit -1 met een nog kleinere waarnemingsresolutie dan de oorspronkelijke 1/n₀.

Betekenis

In de constructie (n₀-n_i) of (n₀+n_i) zijn, voor alle i, behalve 0, de getallen n_i niet verschillend van ½. Dat is trouwens de enige mogelijkheid voor de gelijkheid (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂) met n₁=n₂. Het gevolg is dan dat de verhouding v₁₂ gelijk wordt aan nul en dit betekent dat zowel t_0i als x_0i voor alle i dezelfde waarde hebben en dat we dus x_0i/t_0i als de snelheid of schaalfactor van één punt moeten interpreteren. Maar de interpretatie in het haakformalisme is duidelijker: n₀ is de intensiteit van één toestand die verschillend kan zijn van de intensiteit van een andere toestand. Alle “x intervallen” zijn dan van het 1-splitsing type (n_i-½), alle “t intervallen” van het 1-splitsing type (n_i+½) en dat terwijl de n_i die we hier gebruiken verschillend zijn van ½ en staan voor de intensiteit van één punt, het zijn dus de elementen van de ene rij metingen die allemaal een andere waarde kunnen hebben en die we interpreteren als de sporen n₀; n₁; n₂; n₃; n₄; n₅; n₆… van de rij T₀; T₁; T₂; T₃; T₄; T₅; T₆… De rij x intervallen en de rij t intervallen wordt dan niet afgeleid van opeenvolgende getallen in de rij n_i maar wordt door een andere procedure geconstrueerd die daar “loodrecht” op staat (de orthogonaliteit van een 1-splitsing) en enkel gebruik maakt van de referentie constante -½ en +½. Inderdaad: het loodrechte is hier in standaard taal: een vaste waarde (hier ½) is iets anders dan een waarde die variabel is (hier n_i). Dus zo iets als een “puntsnelheid” of “lokale schaalfactor” is niet anders dan de intensiteit van een ervaren eenheid (n_i-½)/(n_i+½), een “lokaal evenwicht n_i” dat gevolgd kan worden door een willekeurige andere intensiteit (n_j-½)/(n_j+½) van een toestand die de eerste uitsluit en een nieuw lokaal evenwicht weergeeft dat niet gerelateerd is aan het “lokaal evenwicht n_i”. Dus: het verband tussen beide toestanden wordt niet meer gemodelleerd en dit is een ingrijpend gevolg van de veronderstelling van een klassiek gemiddelde voor tijdafstanden. Klassiek verliest men dus de mogelijkheid om verbanden tussen toestanden te modelleren. In de klassieke hypothese kan men niet modelleren dat de laatst toegevoegde onderscheiding de grootte van een universum zou kunnen wijzigen. Wat er wel mogelijk is, is om een stap te modelleren vanuit een lokaal evenwicht.

We zullen nu aantonen dat we hiermee eigenlijk de vorm van een dubbelgetal reduceren tot een gewoon getal. Noem daartoe de puntsnelheid het getal m_i dan kunnen we met m_i ook een uitdrukking vinden voor n_i, namelijk (n_i-½)/(n_i+½)=m_i, n_i=m_i(n_i+½)+½, n_i(1-m_i)=(½m_i+½) en dus n_i=½(1+m_i)/(1-m_i). Het referentiepunt ½ treedt hier op als schaalfactor van het patroon van een verhouding (1+m_i)/(1-m_i). Dit geldt uiteraard ook voor een referentiepunt verschillend van ½. Het teken van m_i zal bepalen of het minteken zich in de teller of de noemer bevindt van de verhouding. Op geen enkele manier kunnen we nog door een ervaringswaarde te geven aan de verhouding (1+m_i)/(1-m_i) een intensiteit geven die anders is voor de 1 als voor de m_i. Dit is dus geen volwaardig dubbelgetal.

We kunnen nog andere vormen vinden voor de verhouding (½-n_i)/(½+n_i). Stel (½+n_i)=n’_i. Dan is (½-n_i)=½-(n’_i-½)=1-n’_i. Dus (½-n_i)/(½+n_i)=(1-n’_i)/n’_i=(1/n’_i-1). Voor een intensiteit n’_i groter dan 1 is 1/n’_i is te interpreteren als een fractie van 1 en dit is verschillend van een meervoud van die fractie, bijvoorbeeld m’_i/n’_i. Dit illustreert ook duidelijk dat 1 en 1/n’_i geen onafhankelijke eenheden zijn: de schaal die we toepassen voor 1 passen we ook toe voor 1/n’_i. Dit maakt duidelijk dat de schaalfactor van intervallen een vermomd dubbelgetal is dat op een 1-splitsing zou kunnen afgebeeld worden als beide componenten een eigen intensiteit zouden kunnen krijgen. De begrenzing van de eenheid kunnen we in de loop van stappen in een proces ook modelleren.

De voorwaarde voor een klassiek rekenkundig gemiddelde voor de enkel toenemende parameter, namelijk (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂), is ook een specifieke invulling van het patroon (de meer abstracte relatie) van de eis van behoud van patronen. De vergelijking (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂) kunnen we in de standaard taal lezen als een product van twee sommen (dit is de term rechts van =) dat gelijk is aan een som (dit is de term links van =). We drukken dat nu in de standaard taal uit door expliciet de eenheid te beklemtonen: een product van de soort som moet dezelfde soort som blijven. We hebben daartoe de voorwaarden in het algemeen geval onderzocht: de voorwaarde is om getallen modulo 4 te gebruiken en we hebben dan afgeleid dat kwadraten dan ook modulo 2 kunnen afgebeeld worden. De getallen n_i zijn dan kwadraten en er zijn dan geen problemen meer van commensurabiliteit. Inderdaad kunnen we met die benadering het hele haakformalisme reconstrueren. In de modulo 4 modellering herkennen we ook dat de getallen 1 en 2 een speciale rol innemen.

Dit bevestigt dan ook dat we het haakformalisme volledig kunnen opbouwen met enkel gehele getallen en dat de getallen die hierin de rol van atomen gaan innemen de priemgetallen zijn. Exact dat herkennen we als we de som willen nemen van verhoudingen van getallen: we kunnen ze enkel sommeren als we ze allemaal op dezelfde noemer gebracht hebben en de priemgetallen spelen daarin een wezenlijke rol. We zullen trouwens heel precies kunnen aangeven dat dit, langs de Lorentz transformatie, aan de basis ligt van de speciale relativiteitstheorie.

Besluit

De veronderstelling dat er zo iets als een klassiek rekenkundig gemiddelde tijd bestaat heeft als gevolg dat de getallen die sporen kunnen zijn van toestanden verondersteld worden om verhoudingen te zijn. Het patroon van die verhouding is ½(1+m_i)/(1-m_i). In een verhouding worden de soorten (en dus de eenheden die niet kunnen gehalveerd worden) gegeven door de priemgetallen (een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts twee natuurlijke getallen als deler heeft, namelijk 1 en zichzelf, en enkel 2 kan gehalveerd worden).

Het klassieke gemiddelde heeft alleen maar zin bij een proces evenwicht, en we begrijpen daardoor dat een proces evenwicht dikwijls impliciet verondersteld wordt in de klassieke benadering van de werkelijkheid zonder dat dit evenwicht expliciet gemodelleerd wordt, wat we in het haakformalisme dus wel doen. Dit is een belangrijke conclusie want het relateert de beperkingen van een agens-in-context tot begrippen die we ook kennen vanuit de onderzoeken naar de spontane processen in de fysische werkelijkheid. In zekere zin geeft het de feedback begrippen uit de cybernetica een meer fundamentele status dan de begrippen uit de klassieke fysica. Inderdaad: we zien dat de fysica “ver van evenwicht” (Prigogine en anderen) meer aanleunt bij de inzichten van de cybernetica en de toename van entropie (het nooit bereiken van een procesevenwicht) moet expliciet in de klassieke fysica geïntroduceerd worden als axioma. In tegenstelling hiermee moet dit in het haakformalisme niet bijkomend verondersteld worden: het is immers het centraal axioma: er gebeurt ook altijd iets anders dan datgene waarvoor een agens kiest.

Het klassiek rekenkundig gemiddelde berekenen lijkt een onschuldige “wiskundige” procedure maar dit is maar schijn: kiezen om klassieke rekenkundige gemiddelden te berekenen is kiezen voor ½ en daarmee een evenwicht modelleren die een beperking oplegt aan de (soms bewust gekozen) resolutie van waarnemen. Inderdaad: telkens als we een klassiek gemiddelde nemen houden we geen rekening met andere mogelijke aspecten die verschillen kunnen genereren die zowel in de ene als in de andere richting hadden kunnen waargenomen worden en “die elkaar opheffen” omdat ze (op een willekeurig veronderstelde manier) in de ene of de andere richting een verschil maken. We kunnen bijvoorbeeld van de snelheid van de aarde praten in haar baan om de zon door gelijk welk punt van die aarde te beschouwen, of dat nu lokaal op dit moment in een lichtjes andere richting gaat of niet. Door een klassiek gemiddelde te nemen drukken we uit

• dat een entiteit op verschillende schalen te beschrijven is en dat we een onderscheid waarnemen dat een verschil is dat een verschil maakt, dat dus een relevant verschil is

• dat we variatie reduceren. Dus ontnemen we onszelf de mogelijkheid om de werkelijkheid met meer onderscheidingen te beschrijven dan de onderscheidingen die we al gebruiken. Dit is duidelijk in het feit dat het interval (n₀n₁-n₁n₂)=n₁(n₀-n₂) een meervoud is, en niet de helft van (n₀-n₂). Het getal n₁ kan gelijk welk getal zijn en hoeft niet gelijk te zijn aan ½.

Een gemiddelde berekenen is uiteraard zinvol maar niet onvermijdelijk en het is goed dit te expliciteren omdat dit op een nieuwe manier het verschil tussen het klassieke wereldbeeld en het wereldbeeld van het haakformalisme onthult. De keuze voor een klassiek gemiddelde legt eigenlijk een eenheid vast, noem deze e. Het betekent dat het kwadraat van de eenheid e gelijk moet zijn aan 1, want er moet gelden dat (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂), dus (en₀+e½) = (en₀+e½)(e½+e½) of dus e(n₀+½) = e²(n₀+½)(½+½) en hieruit volgt dat e gelijk moet zijn aan e².

Som van drie verhoudingen v_ij

Ook met een som van drie verschillen kunnen we een schaalinvariant evenwicht tussen intervallen modelleren. Bijvoorbeeld voor x_ij met x₀₁+x₁₂+x₂₀=0, dus we modelleren een som tussen drie getallen die een verschil zijn en die te noteren is als (n₀-n₁)+(n₁-n₂)+(n₂-n₀)=0.

De verhouding v_ij hebben we gedefinieerd uitgaande van de getallen n_i als (n_i-n_j)/(n_i+n_j). Aangezien richting enkel in de teller gedefinieerd wordt kunnen we nu onderzoeken onder welke voorwaarden zou kunnen gelden dat v₀₁+v₁₂+v₂₀=0. Hier staat de som (n₀-n₁)/(n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(n₁+n₂)+(n₂-n₀)/(n₂+n₀)=0. Dit is niet anders dan de verhouding ((n₀-n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀)+(n₁-n₂)(n₀+n₁)(n₂+n₀)+(n₂-n₀)(n₀+n₁)(n₁+n₂))/(n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀). De teller is dus (n₀-n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀)+(n₁-n₂)(n₀+n₁)(n₂+n₀)+(n₂-n₀)(n₀+n₁)(n₁+n₂) en beschouwen we als de intensiteit van de eenheid die gegeven wordt door de noemer: namelijk (n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀).

De verhouding kan enkel gelijk zijn aan nul voor de teller gelijk aan nul, dat is dus de intensiteit van de eenheid van de verhouding.

We zoeken de voorwaarden waaronder kan gelden dat:

(n₀-n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀)+(n₁-n₂)(n₀+n₁)(n₂+n₀)+(n₂-n₀)(n₀+n₁)(n₁+n₂)=0

Dit is:

n₀n₁n₂+n₀n₁n₀+n₀n₂n₂+n₀n₂n₀-n₁n₁n₂-n₁n₁n₀-n₁n₂n₂-n₁n₂n₀

+

n₁n₀n₂+n₁n₀n₀+n₁n₁n₂+n₁n₁n₀-n₂n₀n₂-n₂n₀n₀-n₂n₁n₂-n₂n₁n₀

+

n₂n₀n₁+n₂n₀n₂+n₂n₁n₁+n₂n₁n₂-n₀n₀n₁-n₀n₀n₂-n₀n₁n₁-n₀n₁n₂

Door eliminatie vinden we een vorm met slechts 6 termen:

n₀n₁n₂+n₀n₁n₀+n₀n₂n₂+n₀n₂n₀-n₁n₁n₂-n₁n₁n₀-n₁n₂n₂-n₁n₂n₀

n₁n₀n₂+n₁n₀n₀+n₁n₁n₂+n₁n₁n₀-n₂n₀n₂-n₂n₀n₀-n₂n₁n₂-n₂n₁n₀

n₂n₀n₁+n₂n₀n₂+n₂n₁n₁+n₂n₁n₂-n₀n₀n₁-n₀n₀n₂-n₀n₁n₁-n₀n₁n₂

n₁n₀n₀+n₀n₂n₂-n₀n₀n₂+n₁n₁n₂-n₀n₁n₁-n₁n₂n₂

Dit betekent dat de evenwicht situatie gemodelleerd wordt door de voorwaarde dat n₁n₀n₀+n₀n₂n₂-n₀n₀n₂+n₁n₁n₂-n₀n₁n₁-n₁n₂n₂ gelijk moet zijn aan nul.

Speciaal verhelderend is het als we de voorwaarde n₁n₀n₀+n₀n₂n₂-n₀n₀n₂+n₁n₁n₂-n₀n₁n₁-n₁n₂n₂ schrijven als n₀²n₁+n₁²n₂+n₂²n₀-n₀²n₂-n₁²n₀-n₂²n₁. Deze volledig symmetrische vorm kunnen we beschouwen als de disjunctie van

een vierkantsvergelijking in de onbekende n₀

of

een vierkantsvergelijking in de onbekende n₁

of

een vierkantsvergelijking in de onbekende n₂

Wat er dan ontstaat is te volgen als we de vierkantsvergelijking in de onbekende n₀ eens volledig uitschrijven en oplossen:

n₀²(n₁-n₂)+n₀(n₂²-n₁²)+n₁²n₂-n₁n₂²

De determinant is:

(n₂²-n₁²)²-4(n₁-n₂)(n₁²n₂-n₁n₂²)

n₂⁴+n₁⁴-2n₁²n₂²-4(n₁³n₂-n₁²n₂²-n₁²n₂²+n₁n₂³)

n₂⁴+n₁⁴-2n₁²n₂²-4n₁³n₂+8n₁²n₂²-4n₁n₂³

n₁⁴-4n₁³n₂+6n₁²n₂²-4n₁n₂³+n₂⁴

(n₁-n₂)⁴

De wortels zijn dus:

(-(n₂²-n₁²)+(n₁-n₂)²)/2(n₁-n₂)=((n₁-n₂)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)²)/2(n₁-n₂)=((n₁+n₂)+(n₁-n₂))/2=n₁

(-(n₂²-n₁²)-(n₁-n₂)²)/2(n₁-n₂)=((n₁-n₂)(n₁+n₂)-(n₁-n₂)²)/2(n₁-n₂)=((n₁+n₂)-(n₁-n₂))/2=n₂

Dus de vierkantsvergelijking in de onbekende n₀ is

n₀²(n₁-n₂)+n₀(n₂²-n₁²)+n₁²n₂-n₁n₂²=(n₀-n₁)(n₀-n₂)

Dit maakt duidelijk dat dit geen identiteit kan zijn, de geschrapte (n₁-n₂) wordt gemist. Inderdaad:

n₀²(n₁-n₂)+n₀(n₂²-n₁²)+n₁²n₂-n₁n₂²=-(n₁-n₂)(n₀²-n₀(n₁+n₂)+n₁n₂)=-(n₀-n₁)(n₁-n₂)(n₀-n₂). Merk het minteken op.

Voor elk van de termen van het product doet dat patroon zich voor.

Besluit

De som van de verhoudingen v₀₁+v₁₂+v₂₀ komt overeen met de verhouding -(n₀-n₁)(n₁-n₂)(n₀-n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₀+n₂) en dit is niet anders dan het product van verhoudingen -((n₀-n₁)/(n₀+n₁))((n₁-n₂)/(n₁+n₂))((n₀-n₂)/(n₀+n₂))=-(v₀₁)(v₁₂)(v₂₀). De gezamenlijke eenheid van (n₀-n₁)/(n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(n₁+n₂)+(n₂-n₀)/(n₂+n₀) is (n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀).

Er geldt dus: v₀₁+v₁₂+v₂₀+(v₀₁)(v₁₂)(v₂₀)=0

Er zijn dus drie nulpunten voor de verhouding v₀₁+v₁₂+v₂₀, een disjunctie van de voorwaarden (n₁=n₂) of (n₀=n₁) of (n₀=n₂).

Bespreking

Deze conclusie is uniek voor drie termen, doet zich niet voor voor twee termen, noch voor meer dan drie termen. Dit patroon kennen we: een som van drie haakuitdrukkingen met dezelfde waarde is gelijk aan de nulvector.

De voorwaarde n₀²n₁+n₁²n₂+n₂²n₀-n₀²n₂-n₁²n₀-n₂²n₁ kunnen we interpreteren op verschillende manieren en al deze manieren hebben dezelfde waarde. De voorwaarde is de disjunctie van bijvoorbeeld:

n₀²(n₁-n₂)+n₁²(n₂-n₀)+n₂²(n₀-n₁)

of

n₁(n₀²-n₂²)+n₀(n₂²-n₁²)+n₂(n₁²-n₀²)

of

n₁(n₀-n₂)(n₀+n₂)+n₀(n₂-n₁)(n₂+n₁)+n₂(n₁-n₀)(n₁+n₀)

of

n₀n₁(n₀-n₁)+n₀n₂(n₂-n₀)+n₁n₂(n₁-n₂)

of

enz...

Zelfs als we geen waarde (bijvoorbeeld 0) toekennen aan de voorwaarde zullen al deze vormen dezelfde waarde hebben en met een combinatie van twee of drie of meer kunnen we een waarde nul berekenen (bijvoorbeeld een som van de twee eerste min twee maal de laatste is nul), waarde nul die een goed onderbouwde betekenis heeft in de modulo3 benadering van het haakformalisme.

n₀²(n₁-n₂)+n₁²(n₂-n₀)+n₂²(n₀-n₁)+n₁(n₀²-n₂²)+n₀(n₂²-n₁²)+n₂(n₁²-n₀²)-2(n₀n₁(n₀-n₁)+n₀n₂(n₂-n₀)+n₁n₂(n₁-n₂))=0

of

n₁(n₀²-n₂²)+n₀(n₂²-n₁²)+n₂(n₁²-n₀²)+n₀n₁(n₀-n₁)+n₀n₂(n₂-n₀)+n₁n₂(n₁-n₂)-2(n₀²(n₁-n₂)+n₁²(n₂-n₀)+n₂²(n₀-n₁))=0

of

enz...

Het patroon van de Lorentz boost

Aangezien v₀₁+v₁₂+v₂₀=0 een gewone getalvergelijking is, moet ook gelden dat v₀₁+v₁₂=-v₂₀=v₀₂. Hierdoor is v₀₂ de som van v₀₁ en v₁₂. We bewijzen nu dat we v₀₂ kunnen berekenen als de volgende relatie tussen v_ij intervallen v₀₁ en v₁₂: (v₀₁+v₁₂)(1+v₀₁v₁₂)^-1. We bewijzen dat door het berekenen van alle v_ij termen als verhoudingen van getallen:

(v₀₁+v₁₂)(1+v₀₁v₁₂)^-1

{(n₀-n₁)/(n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(n₁+n₂)}{1+(n₀-n₁)(n₁-n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)}^-1

{(n₀-n₁)(n₁+n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)+(n₀+n₁)(n₁-n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)}{(n₀+n₁)(n₁+n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)+(n₀-n₁)(n₁-n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)}^-1

{(n₀-n₁)(n₁+n₂)+(n₀+n₁)(n₁-n₂)}{(n₀+n₁)(n₁+n₂)+(n₀-n₁)(n₁-n₂)}^-1

{2n₀n₁-2n₁n₂}{2n₀n₁+2n₁n₂}^-1

{n₀-n₂}{n₀+n₂}^-1

v₀₂

Dus er geldt v₀₂=(v₀₁+v₁₂)(1+v₀₁v₁₂)^-1.

QED

Deze relatie is bekend geworden als “som van snelheden in een Lorentz boost” wanneer de verhoudingen v_ij geïnterpreteerd worden als klassieke fysische snelheden, maar we beperken onze benadering niet tot die standaard interpretatie.

Aangezien de v_ij relaties die we tot nu toe bestudeerd hebben in twee zinnen kunnen doorlopen worden, kunnen uit de reeds gemaakte berekeningen alle andere mogelijk getalrelaties afgeleid worden die het gevolg zijn van het evenwicht van drie specifieke verhoudingen v₀₁+v₁₂+v₂₀=0. We kunnen bijvoorbeeld een nieuwe verhouding berekenen (die nog geen naam gekregen heeft) met verschillen van verhoudingen, zoals bijvoorbeeld (v₀₁+v₂₁)(1+v₀₁v₂₁)^-1, verhouding die natuurlijk niet verschillend is van (v₀₁-v₁₂)(1-v₀₁v₁₂)^-1. Maar v₂₁ functioneert in een ander zicht op het evenwicht en dit is v₁₀+v₂₁+v₀₂=0 wat natuurlijk in het standaard patroon te schrijven is als v₂₁+v₁₀+v₀₂=0.

Eenheid en evenwicht

Door de berekening van een som van verhoudingen zijn we op een punt gekomen waar duidelijk wordt wat de gevolgen zijn voor de veronderstelling van de standaard interpretatie van de Lorentz transformatie: de reeks x en de reeks t kunnen in dezelfde eenheid uitgedrukt worden en dus is de verhouding x/t een verhouding die onafhankelijk is van de eenheid. Stel immers dat de verhouding niet onafhankelijk is van een eenheid en dat we de eenheid van de verhouding aangeven met e dan geldt ev₀₂=(ev₀₁+ev₁₂)(1+e²v₀₁v₁₂)^-1. Dit is niet anders dan v₀₂=(v₀₁+v₁₂)(1+e²v₀₁v₁₂)^-1 en de eenheid verdwijnt niet in de term (1+e²v₀₁v₁₂).

We kunnen nu echter wel onderzoeken wat het gevolg is van een eenheid die verschillend is van 1. Hiertoe stellen we met n een willekeurig gekozen getal: e²=1/n². Er geldt nu n^-1v₀₂=(n^-1v₀₁+n^-1v₁₂)(1+n^-2v₀₁v₁₂)^-1, dus v₀₂=n²(v₀₁+v₁₂)(n²+v₀₁v₁₂)^-1.

De betekenis van het getal n kunnen we nu als volgt achterhalen: veronderstel het getal v₀₁ gelijk aan n en bereken v₀₂, dus v₀₂=n²(n+v₁₂)(n²+nv₁₂)^-1=n(n+v₁₂)(n+v₁₂)^-1=n, dus v₀₁ = v₀₂, dus n=(n₀-n₁)/(n₀+n₁)=(n₀-n₂)/(n₀+n₂), dus (n₀-n₁)(n₀+n₂)=(n₀-n₂)(n₀+n₁) en dus n₀n₂-n₀n₁=-n₀n₂+n₀n₁ en dus n₁=n₂ en dus v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂)=0 (dus het verschil is waarneembaar klein en onwaarneembaar kleiner).

Het evenwicht dat dan verondersteld wordt is v₀₁+v₁₂+v₂₀=0=v₀₁+v₂₀. Dus v₀₁=v₀₂=n. Het gevolg van de veronderstelling dat de eenheid een verhouding is (e²=1/n²), is dus dat er geen proces evenwicht beschreven wordt maar een grens van de waarnemingsresolutie. Van de drie getallen v₀₁, v₀₂, v₁₂ is er één gelijk aan nul zonder dat de getallen n_i gelijk aan nul moeten zijn: een van de getallen n_i (neem nu n₀) is verschillend van alle andere en verschillend van nul. De getallen die verschillend zijn van n₀ kunnen gelijk zijn aan elkaar en zich dus niet meer van elkaar onderscheiden en zo we willen kunnen we die andere getallen voorstellen door m_i/n₀ omdat n₀ verschillend is van nul. We kunnen dus schrijven: v₀₁=v₀₂=n=(n₀-m_i/n₀)/(n₀+m_i/n₀). Al die getallen m_i/n₀ die gelijk zijn aan elkaar drukken een “lokaal evenwicht” uit dat niet anders is dan de grens van onderscheidbaarheid.

Met verschillende getallen 1/n_i (die daardoor verschillende eenheden kunnen representeren) kunnen we een tralie opspannen, op voorwaarde dat we de n_i relatief priem kiezen. Elke 1/n_i beelden we dan af op een AND-atoom en is dus te interpreteren als de eenheid van een toestand die alle andere uitsluit.