Ook in het domein van de getallen kan er een helder onderscheid gemaakt worden tussen een intensiteit en een eenheid. Historisch gezien heeft dit aanleiding gegeven tot begrippen die we hieronder herinterpreteren. De bedoeling is om zo helder mogelijk een nieuw licht te laten schijnen op som (verschil), product (deling), exponent (logaritme en worteltrekking) dankzij de onderzoeken uit het haakformalisme.
Een som is een concrete invulling van het meer abstracte begrip “operatie”.
Een vermenigvuldiging is een concrete invulling van het meer abstracte begrip “operatie”.
Een machtsverheffing is een concrete invulling van het meer abstracte begrip “operatie”.
Een herhaald uitgevoerde operatie geeft een intensiteit aan de eenheid die herhaald wordt. Het is de operatie “gekwantificeerde herhaling van hetzelfde” die de drie voorbeelden van operaties met elkaar verbindt en waarbij de termen van de operatie een andere rol gaan spelen. Het is de rol van intensiteit die anders is dan de rol van eenheid, beide zijn niet gelijkwaardig voor gelijk welke operatie.
Is de operatie een som, dan noteren we het resultaat y×x met y de intensiteit van x en × als symbool voor vermenigvuldiging. Dus y is het aantal maal dat een eenheid in die operatie optreedt en is dus een intensiteit van x voor die operatie. y×x is een korte notering voor x+x+x+...+x en dit y maal, een andere korte notering is Σyx. De vermenigvuldiging is commutatief, wat betekent dat beide termen dezelfde rol kunnen spelen, dus dat y×x niet anders is dan x×y. Voor zowel x als y kunnen we een negatief getal kiezen, maar hier zien we al een eerste indicatie dat een eenheid verschillend is van een intensiteit (de eenheid kan negatief zijn, de intensiteit kan niet negatief zijn voor de operatie “som”). Een verhouding b/a kan beschouwd worden als de intensiteit b van de kleinste rationele eenheid 1/a (dus a-1) voor de operatie “som” en het getal 1 kunnen we dus noteren als Σaa-1. Op het eerste zicht is er dus geen enkele reden om naast de operatie “vermenigvuldiging” ook een operatie “deling” te onderscheiden. We bereiken exact het bedoelde onderscheid door een verschil te maken tussen intensiteit en eenheid, namelijk: een intensiteit kan nul zijn, een eenheid niet, dus b kan nul zijn maar 1/a niet (“delen door nul wordt niet toegelaten”). Een eenheid kan negatief zijn, een intensiteit niet. De som is commutatief en associatief. De vermenigvuldiging is commutatief en associatief.
Is de operatie een vermenigvuldiging, dan noteren we het resultaat van de operatie die herhaald wordt als xy, namelijk het getal dat het resultaat is van een eenheid x die y maal met zichzelf vermenigvuldigd wordt. Dus y is het aantal maal dat een eenheid in die operatie optreedt en is dus een intensiteit van x voor die operatie. Is y een negatief getal dan is de operatie een deling of beter gezegd: y geeft het aantal maal dat het invers van x, namelijk 1/x (dus x-1), vermenigvuldigd wordt. We merken op dat machtsverheffing in het algemeen niet commutatief is: xy is in het algemeen verschillend van yx. Machtsverheffing is in het algemeen ook niet associatief: in het algemeen geldt niet dat <<(xy) tot de macht z>> gelijk is aan <<x tot de macht (yz)>>. Machtsverheffing is wel commutatief en associatief als x en y zich niet onderscheiden van elkaar, dan zijn eenheid en intensiteit niet verschillend. Machtsverheffing is slechts associatief zolang de eenheid gerespecteerd wordt: (axy)z is niet verschillend van (ax)yz, is niet verschillend van (ay)xz enz..., a blijft de rol spelen van eenheid en x, y en z spelen dezelfde rol, het zijn componenten van het product x×y×z. Alle componenten en alle producten van componenten zijn gelijkwaardig. De operatie vermenigvuldiging is fundamenteel in het getallendomein want elk natuurlijk getal is als een product van priemgetallen te schrijven.
Is de operatie een machtsverheffing, dan noteren we het resultaat als yx, namelijk het getal dat het resultaat is van een eenheid x die y maal met zichzelf tot de macht verheven wordt. Dus y is het aantal maal dat een eenheid in die operatie optreedt en is dus een intensiteit van x voor die operatie. Dit wordt soms tetratie genoemd, maar er is hiervoor geen consensus onder wiskundigen en die operatie (en uitbreiding naar “hyperoperaties”) is nog in volle onderzoek.
Een invers is altijd verbonden met een operatie. Het wel of niet commutatief zijn van een operatie heeft een belangrijke invloed op de inverse operatie. Dit is niet anders dan wat we extensief onderzocht hebben met het creatief product en de laatst toegevoegde onderscheiding. Dat zullen we dan ook herkennen bij de getaloperatie machtsverheffing waarbij altijd dezelfde eenheid gebruikt wordt.
Voor de operatie som (x+y), niet verschillend van (y+x), is het invers de operatie verschil en het neutraal element is 0. Neem x+y=z, dan geldt dit zowel voor x als voor y, immers x=z-y en ook y=z-x. De operatie verschil is niet commutatief.
Voor de operatie vermenigvuldiging (x×y), niet verschillend van (y×x) is het invers de operatie deling en het neutraal element is 1. Neem x×y=z, dan geldt dit zowel voor x als voor y, immers x=z/y en ook y=z/x. De operatie deling is niet commutatief.
Voor de operatie machtsverheffing zijn er daarentegen twee verschillende inversen omdat we te maken krijgen met het patroon van niet-commutativiteit, immers xy is verschillend van yx, ze zijn enkel gelijk wanneer zowel x als y gelijk zijn aan 1. Neem xy=z, dan is de eerste soort invers de worteltrekking: x=y√z=z1/y en het tweede soort invers is de logaritme: y=logx(z). Het grondtal x van de logaritme toont duidelijk dat x een eenheid is en indien de machtsverheffing een getal moet opleveren verschillend van 1, dan moet die eenheid verschillend zijn van 1. Dat dit dan een dubbelgetal moet zijn is een essentiële eigenschap die zelden naar waarde geschat wordt.