Een eenheid kunnen we onderscheiden van zijn intensiteit door een operatie uit te voeren en waar te nemen wat er invariant is voor de gekozen operatie.

Bijvoorbeeld:

We nemen een liter water, we voeren de operatie uit om er een liter water bij te voegen en we stellen vast dat we twee liter water bekomen. Blijkbaar is “een volume” een eenheid omdat 1+1=2.

Tegenvoorbeeld:

We nemen een liter water, we voeren de operatie uit om er een liter ethanol bij te voegen en we stellen vast dat we minder dan twee liter mengsel bekomen. Blijkbaar is de eenheid “volume van een mengsel” niet invariant in tegenstelling met de eenheid “volume van een zuivere vloeistof”: ethanol en water vormen een nieuwe entiteit en we leiden daardoor af dat ze in elkaar kunnen doordringen tot een nieuwe structuur. Als we de verhouding constant zouden houden dan zou die eenheid niet veranderen.

Conventioneel stelt men het resultaat van het n maal uitvoeren van een operatie op P als de exponent n (groter of gelijk aan 2) van P die de “eenheid met intensiteit” is die de operatie ondergaat. Idempotentie is dan gedefinieerd door de eis dat Pⁿ niet kan onderscheiden worden van P. De invariant wordt eenheid genoemd van de operatie en de operatie op de eenheid wordt de identiteitstransformatie genoemd.

We hebben de keuze uit verschillende operaties bijvoorbeeld:

• het vectorproduct voor een projector: (<>⊕h)•(<>⊕h)=(<>⊕h)

• het vectorproduct voor de waarde <<>>: <<>>•<<>>=<<>>

• de vectorsom voor de nulvector X: X⊕X=X

• het creatief product voor een willekeurige haakuitdrukking h: (h⊗h)_a=h

• de disjunctie voor een welgevormde haakuitdrukking h: (hh=h)

• de conjunctie voor een welgevormde haakuitdrukking h: (<<h><h>>=h)

• de machtsverheffing voor het getal 1: 1ⁿ kan niet onderscheiden worden van 1.

• het minimum of maximum voor getallen. Neem twee getallen a en b, dan selecteert min(a, b) het kleinste van de twee en dan selecteert max(a, b) het grootste van de twee. Met h een getal is zowel min(h, h) als max(h, h) idempotent en beide operaties kunnen dus de functie van een idempotente eenheid opnemen in dezelfde richting maar tegengestelde zin.

• Het gemiddelde van getallen g, of dat nu het “rekenkundig gemiddelde” is, het “harmonisch gemiddelde” of het “geometrisch gemiddelde”: het gemiddelde van g en g is g.

• het matrixproduct (of tensorproduct) voor de m×m matrix met het getal 1 op de hoofddiagonaal en de andere getallen gelijk aan nul.

Het gevolg hiervan is dat de operatie enkel een resultaat oplevert als de operatie uitgevoerd wordt op iets dat verschilt van de eenheid. Dit inzicht is zo bedrieglijk eenvoudig dat we hiervan een voorbeeld geven. We kunnen enkel tellen (dus “iets” sommeren) wanneer het verschilt van nul, en dan is het de afspraak dat we dat “1” noemen en intuïtief lijkt het duidelijk dat we “als 1” dan het kleinste verschil nemen dat een verschil maakt, en dat we altijd “dezelfde 1” nemen. Dat is dan de eenheid van het product, niet van de som. De som, “een geteld kwantum”, is dus de intensiteit van de eenheid van product. Eenheden tellen we discontinu. Dat doet zich ook voor bij de machtsverheffing. De eenheid die we vrij kunnen kiezen als grondtal van machtsverheffing moet verschillend zijn van 1 om de operatie van machtsverheffing zin te geven en zal dus altijd minstens als een dubbelgetal gemodelleerd kunnen worden. De machtsverheffing, “een kwantum”, is dus de intensiteit van de eenheid (1±k) met k verschillend van nul.

We zien dus de volgende reeks in eenheden die een intensiteit kunnen hebben: van nul (eenheid van som) naar 1 (eenheid van product) naar (1±k) (eenheid van machtsverheffing). Zoals we bewezen hebben, kunnen we deze reeks altijd uitbreiden met een eenheid in het 3&1 patroon: een van de vier mogelijke vormen (+1+k+j-i); (+1-k+j+i); (+1+k-j+i) en (+1-k-j-i).

Dit alles zijn zeer praktische inzichten die ons in staat te stellen om een keuze te maken tussen de beschikbare wiskundige technieken om bepaalde aspecten van de werkelijkheid te beschrijven. De technieken die expliciet of impliciet gebruik maken van limieten kunnen we inzetten voor intensiteiten van eenheden, niet voor de eenheden zelf, we kunnen dat heel precies modelleren. Eenheden zijn altijd begrensd. Elke waarneming heeft altijd een ondergrens en een bovengrens. Bijvoorbeeld: een koe wordt zwaarder of lichter en hierdoor varieert haar gewicht. Het gewicht van deze eenheid (een aspect van een concrete koe) karakteriseert de koe niet. Hoewel we kunnen veronderstellen dat haar gewicht verdubbelt, toch wordt ze geen twee koeien, en dit is evenmin zo als haar gewicht halveert. De helft van het gewicht van de koe kunnen we natuurlijk ook waarnemen door ze in twee te delen maar een halve koe is geen koe meer maar een half kadaver van een koe. Het gemiddelde van twee koeien is een koe. Een koe is echter geen productie eenheid voor koeien, je hebt daar minimaal een koe en een stier voor nodig, slechts die nieuwe eenheid genereert de gewenste emergente eigenschappen. Maar zelfs dan heb je nog andere productie eenheden nodig om te verhinderen dat beide runderen de laatste zouden zijn van een uitstervend ras. En we weten amper welke processen en welke entiteiten nodig zijn in een hele ecologie om zichzelf te kunnen onderhouden.