De veronderstelling die getallen mogelijk maakt is de keuze voor één eenheid en één schaal. Als we vasthouden aan die keuze dan voeren we een “ja” uit: al onze schalen hebben dezelfde waarde. Schalen kunnen we vrij kiezen maar dan moeten we ook rekening houden met de operatie die we willen uitvoeren. Exponentiatie is niet commutatief, het getalproduct wel. Bij het getalproduct kunnen beide getallen de functie innemen van eenheid of van intensiteit. Bij exponentiatie is dat niet zo. Om met getallen als eenheden tralies op te bouwen hebben we echter exponentiatie nodig. We tonen nu aan onder welke voorwaarden voor een n in een exponent (n is positief of negatief) we twee (!) schalen kunnen vinden zodanig dat het getal in de exponent zich voordoet als de intensiteit van de eenheid 1 als gewoon getalproduct, dat betekent dus dat gⁿ=ng of dus g^n-1=n, wat duidelijk maakt dat dit voor één (geheel) getal enkel geldt voor n=1.

Als we nu g verschillend van 1 nemen, dus van het dubbelgetal type g=(1±k), dan kunnen we n als intensiteit beschouwen van g en niet als eenheid. Dat betekent dus dat we veronderstellen dat we n in (gelijke) stappen kunnen onderverdelen. Op die manier drukken we ook uit dat de priemgetallen de eenheden zijn van deze intensiteiten want enkel voor een priemgetal geldt dat het kan gedeeld worden door één getal verschillend van 1: het priemgetal zelf. Een product van verschillende priemgetallen modelleert dan simultaneïteit: dezelfde intensiteit voor meerdere eenheden. We kunnen dan veronderstellen dat er een zinvolle kleinste eenheid is van die intensiteit, stel 0<1/k<1 met k een positief getal. Dus dat n(1/k)=1 de intensiteit is van die kleinste eenheid (die a priori onbekend is maar verschillend van nul), en daarvan hebben we een onbeperkt aantal ter beschikking, inclusief alle mogelijke producten van priemgetallen. We berekenen dan het verschil van gⁿ en ng, en we tonen de grafiek f(n)=gⁿ-ng en onderzoeken zijn nulpunten.

Hieronder de grafiek voor g=(1+0,6) in stappen van 0,1n (de intensiteit n van de zinvolle kleinere eenheid 1/2×1/5 waar twee priemgetallen bij betrokken zijn) tussen n=-10 en n=60. Voor n=0 is f(n) natuurlijk 1. De twee stappen waarbij de schaal gelijk is aan 1,6 zijn te vinden voor f(n)=0, namelijk n=10 (dus g^0,1×10-0,1×10g, wat de kleinste stap reflecteert) en een getal n met 38<n<39. In dit tweede geval geldt dan ook (in hybride notatie): g^38<n<39 =(38<n<39)g, en met een resolutie van 15 cijfers is dit n=38,9046357052191. We geven ook de best passende veelterm van graad vier, hoe groter de graad, hoe beter de passing. De passing is te zien aan de determinatiecoëfficiënt R².

De grafiek is afhankelijk van het getal g. We tonen nu ook de grafiek voor g=(1+0,5) in stappen van 0,1n tussen n=-10 en n=60. Voor n=0 is f(n) natuurlijk 1, en de twee stappen waarbij de schaal gelijk is aan 1,5 zijn te vinden voor f(n)=0, namelijk n=10 en 49<n<50.

Dit illustreert een normalisatie die we kunnen doorvoeren door de schaal g aan te passen tussen stap 38<n<39 of 49<n<50 afhankelijk van de eigenwaarde.

Dus elke processtap (dus elke n) vereist een eigen normalisatie om de schaal te kunnen modelleren die de niet commutatieve cumulatie gⁿ (het product van n maal g) gelijkstelt aan de “klassieke cumulatie ng” (de som van n maal g) die wel commutatief is. De twee keuzen voor n waarbij f(n)=0 geven dan, naast het getal 1, ook een tweede mogelijkheid tot normalisatie bij elke stap in een proces waarin we de intensiteit van de eenheid kunnen modelleren als (1±k)ⁿ. Er zijn ontelbaar veel toepassingen van deze inzichten want begrenzing is niet te vermijden.

Typisch zien we nu dat f(n) voor een positieve k twee mogelijke waarden heeft: ofwel positief, ofwel negatief. Kiezen we eigenwaarde k negatief, dan is f(n) monotoon dalend. Bij een eigenwaarde k=1,5937435 is er geen negatieve waarde meer voor de functie en is er maar één nulpunt meer. A portiori is dit dus ook voor g gelijk aan de constante e van Euler (e=g=2,71828182845904). Dan is de waarde van f(n) altijd positief. Als n groter is dan 1 en bij elke stap groter gekozen wordt, dan is de waarde (1+1/n)ⁿ een steeds betere benadering van het getal e. Door de constante e te gebruiken als grondtal voor exponenten benaderen we dus de werkelijkheid zonder rekening te kunnen (of moeten) houden met schaaleffecten als gevolg van duale (positief versus negatief) relaties. Dit heeft echter andere gevolgen: wanneer we eⁿ schrijven als (1+k)ⁿ, dan is duidelijk dat k=1,71828182845904 en dus is k groter dan 1, en dus zal na één processtap al meer dan een verdubbeling van de gekozen eenheid optreden. Hiermee wordt een fluctuatie rond 1 gemodelleerd, die op een andere schaal (met een andere keuze van k) niet waarneembaar is.