Elke agens-in-context ervaart. Ervaren betekent: een toestand een waarde geven, ja zeggen aan een a priori onbekende structuur die een andere structuur uitsluit (dus neen zeggen aan iets anders dan de ervaren context en dit is de uitdrukking van uitsluiting). Het is onvermijdelijk dat dit een ordening met zich meebrengt: een toestand is eerder ervaren dan een andere toestand. Een toestand beschouwen we nu als een eenheid met een intensiteit. Uit de intensiteit van twee eenheden, die toestanden zijn, is een verschil te berekenen. Dat verschil is op zich ook weer een eenheid die dan rechtstreeks gerelateerd is met de onmogelijkheid om twee toestanden simultaan waar te nemen door een specifieke agens-in-context (de specifieke manier om ofwel “ja” ofwel “neen” te zeggen). Die eenheid zullen we nu construeren omdat hiermee impliciet tot uitdrukking komt dat toestanden elkaar uitsluiten (ze gedragen zich werkelijk als getallen met allemaal dezelfde ervaringswaarde, namelijk <<>>, en we kunnen ze dus optellen en aftrekken).

We doen dit op een manier die voor elke toestand kan gelden.

Toestand als welgevormde haakuitdrukking in één onderscheiding

In één onderscheiding zijn er maar twee toestanden, noem ze T en <T>. Hun conjunctie is <<>>, hun disjunctie is <>. Het verschil van beide is ofwel T (<T>⊕<T>) ofwel <T> (T⊕T). De projectoren (<>⊕<T>) en (<>⊕T) zijn orthogonaal en door het bitmodel zien we dat de intensiteit van een projector kan afgelezen worden uit de intensiteit van één bit. Het is dat wat we meten in een ervaren, als de momentane (onvermijdelijke) intensiteit van <>, namelijk de toestand die niet van <> kan onderscheiden worden, de intensiteit van één bit, eenheid die we construeren door de som (verschil) te nemen van een toestand en <>.

We zullen vaststellen dat we die éne bit altijd op een eenvoudige manier zullen kunnen construeren enkel met verschillen. Die getallen zijn eigenlijk sporen van “een momentaan ervaren” en zijn dus onvermijdelijk gebonden aan een agens-in-context. We kunnen ons dan voorstellen dat we berekeningen met die getallen kunnen uitvoeren en dat sommige berekeningen compatibel kunnen zijn met de structuur van de werkelijkheid die ons die sporen levert. Dit is allesbehalve evident omdat we aantoonden dat deze structuur een tralie is. Stel bijvoorbeeld dat we de intensiteit van <> (of <<>>) zouden willen kwantificeren door een bewerking uit te voeren op de intensiteit van twee bits die we opeenvolgend als sporen van een waarneming vinden. De soort bewerking zal dan een onderliggende veronderstelling nodig hebben, bijvoorbeeld:

• optellen veronderstelt dat beide elkaar uitsluiten en dat ze dezelfde eenheid hebben

• kwadrateren en optellen veronderstelt dat eenheden niet negatief kunnen zijn en we hebben het verband van kwadraten met de relatie van relevantie aangetoond (en discriminatie genoemd)

• vermenigvuldigen veronderstelt dat beide van verschillende soort zijn, soort die compatibel moet zijn met de eigenschappen van een priemgetal

• modulo m bewerkingen kunnen rotaties modelleren en modulo 4 relateert andere eigenschappen van getallen met elkaar

• dank zij het onderzoek naar een 1-splitsing hebben we kunnen aantonen onder welke voorwaarden het matrix rekenen kan gebruikt worden

• enz....

Toestand als welgevormde haakuitdrukking in twee onderscheidingen

Elke toestand is door een geschikte transformatie op een toestand in een twee onderscheidingen universum af te beelden. Als we dus de eigenschappen van toestanden in een universum van twee onderscheidingen goed begrijpen, gelden deze voor gelijk welke toestand in gelijk welk universum. Dit volgt ook uit een inzicht van het bitstring model: de som van 3m verschillende AND-atomen zal altijd een haakvector genereren met enkel 3m hoogbits en de rest don’t cares, en dat punt is altijd als een projector te schrijven en een som van 3 projectoren. Bijvoorbeeld met m=1: de som van (...111101111…), (...111110111…), (...111111011…) is (...xxxx111xx…) en dit is de som van (...000000000…) en (...111100011…), punt dat natuurlijk niet anders is dan de som van ((...000000000…) en (...111101111…)), ((...000000000…) en (...111110111…)), ((...000000000…) en (...111111011…)). Het onderscheidingen universum waarin zich dat voor het eerst voordoet is het twee onderscheidingen universum.

We berekenen de mogelijke verschillen van AND-atomen in twee onderscheidingen en de verschillende generaties van verschillen stellen we voor in de volgende tabel: de eerste kolom (generatie_0) geeft de vier toestanden, de tweede kolom (generatie_1) geeft het verschil van twee van die vier toestanden, de derde kolom (generatie_2) geeft het verschil van de verschillen in de vorige kolom enz…. Er zijn vier toestanden waarvan we vertrekken en telkens berekenen we ook maar vier verschillen. Uiteraard kunnen we in totaal zes verschillen berekenen, maar we tonen aan dat dit niet nodig is om de intensiteit van een ervaren toestand (de eenheid die we nu definiëren) te modelleren, en dat in gelijk welk universum.

Om de procedure gemakkelijk te volgen zijn de toestanden in een aantal rijen herhaald en een blok van vier geven we een andere kleur.

Bij een eerste berekening van de vier verschillen valt de term <> weg omdat deze term gemeenschappelijk is voor de vier toestanden. We herkennen hierbij de term <> als een gemeenschappelijk referentiepunt. Verder doet zich dat niet meer voor.

De som van de vier toestanden is <> en de som van de vier verschillen in de volgende generaties is telkens de nulvector. In generatie_2 is het resultaat de som van drie welgevormde haakuitdrukkingen uit generatie_0 (we noemen ze T_i) , en als ze zich niet onderscheiden is die som nul. Dit wordt allemaal expliciet getoond in onderstaande tabel:

Dit maakt ook duidelijk dat er in generatie_2 maar 4 mogelijke verschillen zijn. Indien we de zes verschillen in generatie_1 hadden berekend, zouden we in generatie_2 geen andere dan de berekende 4 gevonden hebben want er zijn maar 4 mogelijkheden om een som van 3 te berekenen uitgaande van (T₁, T₂, T₃, T₄).

Bij het contradualeren van de generaties wordt een patroon duidelijk. Dus als we nu bij elke generatie_elke onderscheiding vervangen door zijn inbedding (en dus de uitdrukking contradualeren) dan zien we (voornamelijk dank zij het bitstring model) het volgende patroon bij de drie eerste generaties. Het patroon bij de volgende generaties is dan een combinatie van het patroon bij de eerste generaties en gaan we nu niet verder onderzoeken.

generatie_1

generatie_2

generatie_3

Bespreking

De bitstrings tonen duidelijk aan dat de beide vormen van de verschillende termen in een generatie_i elkaars contraduaal zijn (de leesrichting van de strings wordt omgekeerd).

De eerste en derde generatie zijn niet verschillend, telkens zijn er 2 don’t cares, één laagbit en één hoogbit.

De tweede generatie neemt een speciale plaats in: vorm 1 en vorm 2 genereren dezelfde set. Telkens zijn er drie hoogbits en één don’t care. De drie hoogbits kunnen we interpreteren als drie dimensies: drie eenheden met elk een eigen intensiteit kunnen door de intensiteit van een punt uit de generatie_2 een gezamenlijke intensiteit krijgen. De intensiteit van het generatie_2 verschil “infecteert” dus drie intensiteiten tezelfdertijd.

De generatie_2 kunnen we ook afbeelden op een atoomniveau van de relatie van relevantie, namelijk de punten (...x),(..x.),(.x..),(x...).

Individuele bits

Een punt uit generatie_1 (zoals ook de inbedding van een uit generatie_3) zal in een som met een punt uit generatie_2 een welgevormde haakuitdrukking maken, niet op niveau van de toestanden maar op niveau van de onderscheidingen. De som is uniek want (<T₁>⊕T₂)⊕(T₂⊕T₃⊕T₄)=<T₁>⊕<T₂>⊕T₃⊕T₄. Dit is dus voor te stellen als een som van verschillen uit de eerste generatie, dus bijvoorbeeld (<T₁>⊕T₃)⊕(<T₂>⊕T₄) en dit patroon zal altijd een welgevormde haakuitdrukking zijn op centraal niveau zoals we verder in algemeenheid aantonen. Het product van die twee termen, namelijk (<T₁>⊕T₂)•(T₂⊕T₃⊕T₄), genereert dan altijd een gecollapst atoom. Het product van twee punten uit generatie_1 genereert ook een gecollapst atoom (bijvoorbeeld: (<T₁>⊕T₂)•(<T₄>⊕T₁) of (xx10)•(0xx1) is (xxx0)).

Dit maakt duidelijk dat elke individuele bit kan bereikt worden door enkel vectorproducten van eerste generatieverschillen te gebruiken. Zo zijn er maar vier want de andere mogelijkheden genereren (xxxx). Die verschillen zijn de enige orthogonale.

(<T₁>⊕T₂)•(<T₄>⊕T₁) of (xx10)•(0xx1) is (xxx0).

(<T₁>⊕T₂)•(<T₂>⊕T₃) of (xx10)•(x10x) is (xx0x).

(<T₂>⊕T₃)•(<T₃>⊕T₄) of (x10x)•(10xx) is (x0xx).

(<T₃>⊕T₄)•(<T₄>⊕T₁) of (10xx)•(0xx1) is (0xxx).

(<T₁>⊕T₂)•(<T₃>⊕T₄) of (xx10)•(10xx) is (xxxx).

(<T₂>⊕T₃)•(<T₄>⊕T₁) of (x10x)•(0xx1) is (xxxx).

Dit betekent dat, enkel voor de laatste twee mogelijkheden, er geldt dat de som een welgevormde haakuitdrukking is. Inderdaad:

(<T₁>⊕T₂)⊕(<T₃>⊕T₄) of (xx10)⊕(10xx) is (1010).

(<T₂>⊕T₃)⊕(<T₄>⊕T₁) of (x10x)⊕(0xx1) is (0101).

De welgevormde haakuitdrukking bevindt zich op centraal niveau en de twee sommen zijn elkaars inbedding. Dat is niet anders dan wat er ook geldt voor de disjunctie (∨) en conjunctie (∧) van de verschillen:

(xx10)∧(10xx) is (1x1x)

(x10x)∨(0xx1) is (0x0x)

Een tweede generatieverschil voegt een intensiteit toe die drie van de vier dimensies simultaan infecteert. Dit is niet anders dan het patroon 3&1: één dimensie met een karakteristiek die anders is dan drie dimensies. Hierbij kunnen geen orthogonale haakuitdrukkingen ontstaan zoals blijkt uit onderstaande tabel.

Zo worden de vier punten xxx1, xx1x, x1xx, 1xxx als eenheden gegenereerd en dat zijn dan mogelijke ervaren atomen die dezelfde eenheid kunnen representeren en die kunnen een intensiteit hebben die we als spoor van een waarneming kunnen interpreteren. Elke welgevormde haakuitdrukking (en dus een potentiële werkelijkheid) kan als een som van deze vier (of hun inbedding) geconstrueerd worden.

Bijvoorbeeld: (<a>⊕a•b)⊕(a⊕b⊕<a•b>)=(xx10)⊕(111x)=(1100) is welgevormd en (xx10)•(111x)=(xx1x) is een gecollapst atoom waarvan de inbedding (xx0x) gegenereerd wordt door (xx10)•(x10x) of (<a>⊕a•b)•(a⊕<b>) die twee punten zijn van de eerste generatie.

En ook: een punt uit generatie_1 (zoals ook de inbedding van een uit generatie_3) zal in een som met een punt uit generatie_2 een gecollapste haakuitdrukking maken, want (<<T₁>⊕T₂>)⊕(T₂⊕T₃⊕T₄)=T₁⊕T₃⊕T₄, dit kan niet welgevormd zijn maar het product van die twee termen genereert dan ook een gecollapst atoom.

Bijvoorbeeld: (a⊕<a•b>)⊕(a⊕b⊕<a•b>)=(xx01)⊕(111x)=(11x1) is gecollapst en (xx01)•(11x1)=(xxx1) is een gecollapst atoom.

Dit is onvermijdelijk aangezien de generatie_2 verschillen drie van de vier bits als van dezelfde soort vastleggen en de generatie_1 twee van de vier vastleggen die van verschillende soort zijn (en er zijn maar twee soorten).

Het onvermijdelijke ervaren laat zich dus kwantificeren als de intensiteit van een momentane (onvermijdelijke) toestand in twee onderscheidingen. Die toestand kennen we niet a priori maar door verschillen te berekenen kunnen we construeren dat er iets “moet geweest zijn” met slechts vier aspecten. Als we iets met die getallen zouden willen doen dan zullen we bewerkingen moeten zoeken die compatibel zijn met de structuur van een tralie in twee onderscheidingen. Dat blijkt gevonden te kunnen worden met lineaire operatoren die de intensiteit van entiteiten op atoombuur niveau getrouw kunnen modelleren.

Verschillen met een vast referentiepunt

Er zijn vier referentiepunten te kiezen. We maken een tabel met verschillen van de andere toestanden met T₄. Er zijn nu drie referenties te kiezen voor een generatie_2 en in de tabel kiezen we <T₃>⊕T₄.

Als we veronderstellen dat T₄ niet verschillend is van <<>>, dan is de meest linkse bit niet relevant en genereert één generatie van het verschil telkens één andere bit als eenheid die een intensiteit kan krijgen.

Verschillen zijn onafhankelijk van een referentiepunt

We zien aan de oorspronkelijke tabel dat die geen verschil oplevert als voor elke toestand een referentietoestand T_r opgeteld wordt.

Algemene toestand als welgevormde haakuitdrukking in vier onderscheidingen

Een algemene welgevormde haakuitdrukking kunnen we schrijven als H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>. We veronderstellen nu dat dit een toestand modelleert. Er kunnen natuurlijk veel toestanden zijn die deze toestand uitsluiten. We kunnen H nu ook noteren als <r•q>•(<>⊕p•q⊕p•q•r•s⊕r•s). Dit laat ons toe een toestand die deze uitsluit te noteren als <r•q>•(<>⊕<p•q>⊕p•q•r•s⊕<r•s>). Er zullen in totaal dus maar vier toestanden zijn die elkaar uitsluiten en vermenigvuldigd worden met dezelfde term.

Het patroon is identiek als bij het meest eenvoudige AND-atoom in twee onderscheidingen. generatie_3 is zoals 1, maar de inbedding, de som van generatie_1 is de nulvector en de som van generatie_2 is de nulvector.

Som van twee generatie_1 verschillen

Er zijn vier generatie_1 verschillen en de som van twee ervan genereren een welgevormde haakuitdrukking. Het resultaat is in één onderscheiding uit te drukken.

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(<s•p>⊕r•p)=s•p

(s•p⊕<s•q>)⊕(s•p⊕s•q)=<s•p>

Som van generatie_1 en generatie_2 verschillen

We vinden dat de som van een punt uit generatie_1 met een punt uit generatie_2 een welgevormde haakuitdrukking is:

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(s•p⊕s•q⊕r•p)=s•q

Het punt uit generatie_2 is de som van de drie punten uit generatie_0 waarvan niet de inbedding genomen werd voor het eerste generatieverschil. Dus (s•p⊕s•q⊕r•p)=(r•q⊕s•p⊕<s•q>⊕r•p)⊕(r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p)⊕(r•q⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>)

Het product van beide termen is de projector van een AND atoom in het universum opgespannen door p•q en r•s, namelijk: (<s•p>⊕<r•p>)•(s•p⊕s•q⊕r•p)=<<>>⊕<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s> en is dus af te beelden op een eenheid met één betekende bit en de rest zijn don’t cares.

De andere mogelijkheden voor termen, welgevormde haakuitdrukkingen en atomen zijn:

(s•p⊕<s•q>)⊕(<s•p>⊕s•q⊕<r•p>)=<r•p> met product <<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s

(<s•p>⊕r•p)⊕(s•p⊕<s•q>⊕<r•p>)=<s•q> met product <<>>⊕p•q⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>

(s•p⊕s•q)⊕(<s•p>⊕<s•q>⊕r•p)=r•p met product <<>>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s

De som van die vier projectoren is <<>>.

Het patroon van deze som van generatie_1 en generatie_2 die een welgevormde haakuitdrukking oplevert is <T₁>⊕<T₂>⊕T₃⊕T₄. We kunnen zo zes mogelijke sommen maken.

<T₁>⊕<T₂>⊕T₃⊕T₄

<T₁>⊕T₂⊕<T₃>⊕T₄

<T₁>⊕T₂⊕T₃⊕<T₄>

T₁⊕<T₂>⊕<T₃>⊕T₄

T₁⊕<T₂>⊕T₃⊕<T₄>

T₁⊕T₂⊕<T₃>⊕<T₄>

We bewijzen nu dat er in dat patroon enkel welgevormde haakuitdrukkingen ontstaan en dat ze de drie componenten zijn die in generatie_2 gesommeerd worden:

(<r•q>⊕s•p⊕s•q⊕r•p)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕s•q⊕<r•p>)⊕(r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p)⊕(r•q⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>)=s•q

(<r•q>⊕s•p⊕s•q⊕r•p)⊕(r•q⊕s•p⊕<s•q>⊕r•p)⊕(<r•q>⊕s•p⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(r•q⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>)=s•p

(<r•q>⊕s•p⊕s•q⊕r•p)⊕(r•q⊕s•p⊕<s•q>⊕r•p)⊕(r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p)=r•p

(r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕s•q⊕<r•p>)⊕(<r•q>⊕s•p⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(r•q⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>)=<r•p>

(r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕s•q⊕<r•p>)⊕(r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p)=<s•p>

(r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(r•q⊕s•p⊕<s•q>⊕r•p)⊕(<r•q>⊕s•p⊕<s•q>⊕<r•p>)⊕(<r•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p)=<s•q>

Twee projectoren in de generatie-1

Er zijn verschillende mogelijkheden, neem bijvoorbeeld s•p, dan is dit te interpreteren als dezelfde coëfficiënt voor eenheden (projectoren) in generatie_1 en generatie_2.

Generatie_1 heeft één projector als eenheid, generatie_2 heeft altijd twee projectoren en er is altijd een variant te vinden waarbij een van beide de projector is van de eerste generatie. Enkel in generatie_2 ontstaat een projector met 4-vector p•q•r•s.

Som van de generatie_1

We kunnen zes sommen maken van de generatie_1 verschillen, er zijn maar drie mogelijke resultaten, waarvan er twee orthogonaal zijn.

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(s•p⊕<s•q>)=(<r•p>⊕<s•q>)

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(<s•p>⊕r•p)=s•p

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(s•p⊕s•q)=(<r•p>⊕s•q)

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(<s•p>⊕r•p)=s•p

(<s•p>⊕<r•p>)⊕(s•p⊕s•q)=(<r•p>⊕s•q)

(s•p⊕<s•q>)⊕(s•p⊕s•q)=<s•p>

De projector met 4-vector ontstaat als volgt:

Generatie_2 als projectordeel

We nemen de vier elkaar uitsluitende toestanden met zelfde referentie en splitsen de referentie af. Dan zien we dat het projectordeel niet anders is dan een som van projectoren. Het projectordeel is de generatie_2 van een andere toestand dan een van de vier toestanden met dat projectordeel.

Som en verschil van toestanden genereren orthogonale eenheden

Som en verschil zijn voor generatie_1 en generatie_2 zo geschreven dat de orthogonaliteit onmiddellijk duidelijk is:

We kunnen nu veronderstellen dat alle componenten van de som elkaar uitsluiten

Wanneer we veronderstellen dat alle componenten elkaar uitsluiten dan is er in generatie_1 geen verschil tussen een som en een product en dan wordt de tabel:

De som van de toestanden is r•q, de som van de generatie_1 is nu ook r•q, de som van de generatie_2 is de nulvector, de som van de generatie_3 is de nulvector.

Dit maakt duidelijk dat deze constructie niet beperkt is tot één generatie, ook voor de volgende generatie kan dan hetzelfde uitgevoerd worden wat we in de volgende tabel illustreren:

Interpretatie

Wanneer we r•q interpreteren als de eenheid van de laatst toegevoegde onderscheiding dan kunnen we veronderstellen dat we op die manier de eigen tijd van elke agens kunnen modelleren. We kunnen dat interpreteren dat de generatie_1 nu de ervaren toestanden modelleert en dus eigenlijk het startpunt is. Noemen we de generatie_1 “snelheid” of “afgeleide naar de tijd”, dan is dat het startpunt. De versnelling is nu niet de generatie_2, dat wordt dan de snelheid en de generatie_3 is de versnelling.

Als p•q en p•q•r•s elkaar uitsluiten dan geldt <>⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>⊕r•s=<<>> dus <p•q>⊕<p•q•r•s>=<>⊕<r•s> en dus p•q⊕p•q•r•s=<<>>⊕r•s en dit is de projector van een toestand in een één onderscheiding universum.

Als r•s⊕<p•q•r•s> elkaar uitsluiten is dat <<>>⊕<p•q> en dit is de projector van een toestand in een één onderscheiding universum.

Als <p•q>⊕p•q•r•s elkaar uitsluiten is dat <<>>⊕<r•s> en dit is de projector van een toestand in een één onderscheiding universum.

Als <r•s>⊕<p•q•r•s> elkaar uitsluiten is dat <<>>⊕p•q en dit is de projector van een toestand in een één onderscheiding universum.

De som van die vier projectoren is <<>>. Dit is dus fundamenteel. Zo een som van vier projectoren gedraagt zich als een welgevormde haakuitdrukking met een waarde.

Structuur in de verschillen

We merken dat een punt uit generatie_2 een punt uit generatie_1 (of generatie_3 enz…) impliceert, inderdaad: de conjunctie van (xx10) en (111x) is (111x). Dat punt uit generatie_1 impliceert vervolgens een punt uit generatie_0, inderdaad: de conjunctie van (xx10) en (1110) is 1110. In de relatie van simultaneïteit bevindt 1110 zich dus tussen 111x en xx10 en kan dus de rol innemen van een laatst toegevoegde onderscheiding als welgevormde haakuitdrukking (omdat deze zich altijd tussen twee andere haakuitdrukkingen bevindt).

De volledige structuur kunnen we berekenen door alle mogelijke conjuncties en disjuncties te berekenen. Nu hebben we wel alle verschillen nodig die we kunnen construeren op basis van de AND-atomen.

We rekenen bijvoorbeeld alle conjuncties uit:

De procedure kan volledig mechanisch gebeuren en de tralie kan dan grafisch voorgesteld worden.

Verschillen in drie onderscheidingen

De toestanden in twee onderscheidingen hebben een gemeenschappelijke term die bij de berekening van het eerste verschil voor alle verschillen verdwijnt. Dit geldt niet voor het drie onderscheidingen universum. Dus voor het twee onderscheidingen universum is de som van de vier toestanden een waarde, maar dat is niet zo voor de som van de acht toestanden in drie onderscheidingen. Voor drie onderscheidingen is de som van de 8 atomen gelijk aan nul.

Ook in het drie onderscheidingen universum kunnen we de eenheid van één bit construeren door een vermenigvuldiging: (xxxxxx10)•(xxxx111x) is xxxxxx1x. Dit genereert dus hetzelfde patroon, maar de twee termen zijn één stap verder gelegen dan de termen die we nodig hadden in het twee onderscheidingen universum.

Uiteraard kunnen we de inbedding van de eenheid van één bit ook construeren door de vermenigvuldiging van twee punten uit de generatie_1, bijvoorbeeld: (xxxxxx10)•(xxxxx10x) is xxxxxx0x.

De sommen zijn nu allemaal gelijk aan de nulvector. Dat is alleen maar zo voor een universum met een oneven aantal onderscheidingen (3, 5, 7, 9, ...,) want het aantal atomen is dan een drievoud plus twee (2³=2*3+2, 2⁵=10*3+2, 2⁷=42*3+2, 2⁹=170*3+2, ...). De coëfficiënten van 3 (dus 2, 10, 42, 170, 682, 2730, 10922, 43690, 174762, 699050, 2796202, 11184810, 44739242, 178956970, …, (2/3)(4ⁿ-1)) zijn de partiële sommen van de oneven machten van 2 en zijn bekend als de reeks a020988 van de Sloane “On-Line Encyclopedia of Integer Sequences” (OEIS). De binaire voorstelling van deze getallen is 10, n maal achter elkaar (bijvoorbeeld 42 is in binair formaat 101010 en is het derde getal in de reeks, 170 is in binair formaat 10101010 en is het vierde getal in de reeks).

Verschillen in meerdere onderscheidingen

Eén verschil geeft de mogelijkheid om de werkelijkheid met één onderscheiding te modelleren. De eenheid is de projector van de onderscheiding.

Twee verschillen geven de mogelijkheid om het verschil van een verschil te berekenen en zo kan een twee onderscheidingen universum geconstrueerd worden. De vier eenheden zijn de projector van de vier toestanden. De intensiteiten worden gegeven door vier verschillende verschillen van een verschil.

De studie van de uitbreiding naar drie onderscheidingen toont aan dat dit onmiddellijk de uitbreiding impliceert naar het modelleren van toestanden in gelijk welk universum. Elk universum kan geconstrueerd worden door enkel gebruik te maken van operaties op toestanden.

Verschillen in onderliggende universa

Elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding. Dat geldt dus ook voor een willekeurige toestand in het grootste universum. Maar dat betekent ook dat niet alle onderliggende universa de gekozen laatst toegevoegde onderscheiding gebruiken en dat zien we ook in de berekenbare verschillen. We kunnen dus onderzoeken hoe toestanden van onderliggende universa kunnen gerelateerd worden aan toestanden in het hoogste universum. Dit onderzoek kunnen we in drie onderscheidingen uitvoeren omdat we bewezen hebben dat gelijk welke toestand altijd als een vectorproduct met een twee onderscheidingen toestand kan uitgedrukt worden.

In drie onderscheidingen zijn er drie onderliggende twee onderscheidingen universa waarvan er maar twee de laatst toegevoegde gebruiken. Dus onderliggend is er een tralie met enkel (a, b); enkel (a, c); enkel (b, c). Maar er is ook een structuur te onderscheiden die het gevolg is van het vectorproduct van beide onderliggende onderscheidingen. Dit wordt duidelijk met een voorbeeld en met de binaire voorstelling ervan.

We kiezen voor c als laatst toegevoegde onderscheiding en maken een lijst van conjuncties met c en een andere onderscheiding:

De drie welgevormde haakuitdrukkingen zijn atoomburen, maar geen contradualerende atoomburen.

Links van het typografisch punt zien we enkel hoogbits. Rechts van het typografisch punt zien we de drie binaire vormen waarmee we alle punten van een twee onderscheidingen universum kunnen genereren als we ook hun inbedding zouden benutten. Het zijn punten met een hoogbit op dezelfde plaats, dus als we de som berekenen van deze drie zullen de gemeenschappelijke hoogbits een don’t care genereren.

Zo zijn er nog drie andere tabellen (we kunnen de conjunctie nemen van c met de inbedding van a, met de inbedding van b of met de inbedding van zowel a als b):

We tonen met het eerste voorbeeld dat deze sommen bereikt worden door generatie_2 verschillen.

Het patroon is hiermee zeer duidelijk. De inbedding van som van de drie conjuncties (en dus 3 hoogbits in plaats van drie laagbits) wordt bereikt door ofwel a, ofwel b ofwel b•a in te bedden, een voorbeeld geven we hieronder:

Het generatie_2 verschil resulteert in één mogelijkheid met drie betekende bits. Dit is dus één mogelijkheid uit de vier mogelijkheden die we in het algemeen geval voor de generatie_2 verschillen vonden. In haakvectorvorm is xxxx.111x niet anders dan <a>⊕<b>⊕b•a⊕c•a⊕b•c⊕<c•b•a> en dit is niet anders dan (<a>⊕<b>⊕b•a)⊕<c>•(<a>⊕<b>⊕b•a)=(<<>>⊕<c>)•(<a>⊕<b>⊕b•a). We kunnen dat ook in projectorvorm schrijven als (<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>). Wat we hier nu zien is een vectorproduct van twee eenheden. Beide termen zijn immers idempotent, dus (<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)

Dat patroon zien we ook in de verschillen van de generatie_1:

a⊕<b>⊕<c•a>⊕b•c=(a⊕<b>)⊕<c>•(a⊕<b>)=(<<>>⊕<c>)•(a⊕<b>)=(<>⊕c)•(<a>⊕b)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<a>⊕b)

b⊕<b•c>⊕b•a⊕<c•b•a>=(b⊕b•a)⊕<c>•(b⊕b•a)=(<<>>⊕<c>)•(b⊕b•a)=(<>⊕c)•(<b>⊕<b•a>)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<b>⊕<b•a>)

<a>⊕<b•a>⊕c•b•a⊕c•a=(<a>⊕<b•a>)⊕<c>•(<a>⊕<b•a>)=(<<>>⊕<c>)•(<a>⊕<b•a>)=(<>⊕c)•(a⊕b•a)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(a⊕b•a)

Hier zien we slechts drie van de vier generatie_1 verschillen in het algemeen geval van twee onderscheidingen a en b.

Het product van een generatie_1 verschil met het generatie_2 verschil is invariant hetzelfde punt uit de generatie_1, inderdaad: de generatie_2 is telkens hetzelfde extremum van de collapste punten. Individuele bits kunnen op die manier niet bereikt worden, ze zijn enkel te bereiken door producten van generatie_1 verschillen.

(xxxx.x01x)•(xxxx.1x0x)=(xxxx.xx0x)∼<<>>⊕a⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>⊕c•b•a

(xxxx.x01x)•(xxxx.01xx)=(xxxx.x0xx)∼<<>>⊕<a>⊕b⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a⊕c•b•a

(xxxx.1x0x)•(xxxx.01xx)=(xxxx.0xxx)∼<<>>⊕a⊕b⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<c•b•a>

Aangezien (<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>) idempotent is, is die term invariant voor een product en de drie producten zijn dus

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<a>⊕b)•(<b>⊕<b•a>)

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<a>⊕b)•(a⊕b•a)

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<b>⊕<b•a>)•(a⊕b•a)

Het belang om deze verschillende vormen neer te schrijven is dat hiermee het patroon van het product van een generatie_1 verschil met het generatie_2 verschil duidelijk kan worden. Beschouw daartoe (<>⊕c) als de eenheid van het generatie_1 verschil en (a⊕b⊕<b•a>) als de eenheid van het generatie_2 verschil en de andere termen van het product kunnen dan als de intensiteiten van die eenheden geïnterpreteerd worden.

Dit proces van het expliciteren van eenheden kan uiteraard verder gezet worden en hieruit blijkt dat er vier eenheden zijn en de enige intensiteiten zijn <> en b•a.

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<a>⊕b)•(<b>⊕<b•a>)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•a•(<>⊕b•a)•b•(<>⊕<a>)

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<a>⊕b)•(a⊕b•a)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•a•(<>⊕b•a)•<a>•(<>⊕<b>)

(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•(<b>⊕<b•a>)•(a⊕b•a)=(<>⊕c)•(a⊕b⊕<b•a>)•b•(<>⊕<a>)•<a>•(<>⊕<b>)

Sommen van generatie_1 verschillen genereren de inbeddingen ervan

(xxxx.x01x)⊕(xxxx.1x0x)=(xxxx.10xx)

(xxxx.x01x)⊕(xxxx.01xx)=(xxxx.0x1x)

(xxxx.1x0x)⊕(xxxx.01xx)=(xxxx.x10x)

Deze eigenschappen contrasteren dus met het algemeen geval (waarbij een welgevormde haakuitdrukking kon gemaakt worden met sommen van generatie_1 verschillen).