De tabel met de algemene relatie van vier onderscheidingen geeft ook de mogelijkheid om gelijk welke welgevormde haakuitdrukking als creatief product met gelijk welke welgevormde haakuitdrukking te formuleren. De berekening kan volledig mechanisch gebeuren. We starten van de tabel en voegen een kolom bij: s•r die we gekozen hebben om het creatief product als <<<s•r>><r•p>><<s•r><<s•q>>> te noteren:

We merken nu op dat alle kolommen evenveel laag-bits als hoog-bits tellen. Aangezien we nu alle rijen van plaats kunnen verwisselen kunnen we er altijd voor zorgen dat we de kolom s•r in de volgorde brengen van een willekeurig punt op centraal niveau in een drie onderscheidingen universum, en zodanig dat de eerste 8 rijen en de laatste 8 rijen in die kolom elkaars inbedding zijn. De keuze laten we bepalen door de kolommen s•q en <r•p>, en zodanig dat de eerste 8 rijen en de laatste 8 rijen in die kolom identiek zijn, waarmee we uitdrukken dat het punten zijn van het drie onderscheidingen universum. Hiermee hebben we alle mogelijkheden uitgeput aangezien de welgevormde haakuitdrukking gegeven wordt door <<<s•r>><r•p>><<s•r><<s•q>>>.

Met het eenvoudigste voorbeeld waarbij we als s•r kiezen voor een nieuwe onderscheiding bovenop de onderscheidingen van het drie onderscheidingen universum:

Op deze manier zijn dus 12870 combinaties mogelijk, omdat er zich met vier onderscheidingen zoveel punten bevinden op centraal niveau. Voor punten buiten het centraal niveau is het natuurlijk zo dat ze niet door evenveel laag-bits als hoog-bits opgebouwd worden. Het gevolg zal dus zijn dat sommige rijen uit de tabel meerdere malen zullen moeten voorkomen in de opbouw van de bitstring van het resultaat. Dit is immers onvermijdelijk omdat we de 16 mogelijke rijen op een unieke manier gelijst hebben. Hierbij neemt de verscheidenheid van mogelijke oplossingen voor het patroon <<<s•r>><r•p>><<s•r><<s•q>>> natuurlijk exponentieel toe.

Een paar voorbeelden uit het drie onderscheidingen universum

We geven een paar voorbeelden van berekeningen die bit per bit kunnen uitgevoerd worden. Er zijn drie mogelijkheden:

• de waarde van een individuele bit is uniek bepaald, we berekenen dus een ofwel 1 ofwel een 0

• de waarde van een individuele bit kan vrij gekozen worden, we markeren dat met een . (een punt).

• de waarde van een individuele bit kan onmogelijk bepaald worden, we markeren dat met een x.

Creatief product en toegevoegde welgevormde haakuitdrukking gekend, te bepalen: de termen van het creatief product

De procedure is gemakkelijk met een voorbeeld te volgen.

We nemen een willekeurige welgevormde haakuitdrukking niet op centraal niveau als creatief product: 01001111. We kiezen nu als de welgevormde haakuitdrukking die het toegevoegde punt is in het creatief product het punt 10000100, dit punt neemt de rol in van s•r, en zijn inbedding is dus 01111011. De conjunctie van 10000100 en een eerste te construeren ander punt (dit punt neemt de rol in van <s•q>) moet dus een van de punten zijn uit het vectorproduct dat 01001111 maakt. De conjunctie van 01111011 en een tweede te construeren ander punt (dit punt neemt de rol in van r•p) moet dus het andere punt zijn uit het vectorproduct dat 01001111 maakt. We kunnen dat bit per bit opbouwen en de verschillende rijen in de tabel geven de hierbij horende bitsgewijze relaties.

Er zijn met deze keuze van welgevormde haakuitdrukkingen dus 2⁸ mogelijke welgevormde haakuitdrukkingen die voldoen aan het patroon.

De vrije keuze van r zal s bepalen (of omgekeerd) en dit zal dan p en q vastleggen. We nemen als r de laatst toegevoegde onderscheiding in het drie onderscheidingen universum als voorbeeld. Met een punt in de tabel geven we terug aan dat voor de invulling zowel een 1 als een 0 kan functioneren als gevolg van de vrije keuze die in de vorige tabel gemaakt werd.

Creatief product en de termen van het creatief product gekend, te bepalen: toegevoegde welgevormde haakuitdrukking

De procedure is gemakkelijk met een voorbeeld te volgen.

We veronderstellen dat het creatief product gegeven wordt door 10100000 en dat de termen respectievelijk gegeven worden door 10111010 en 11100101. Deze keuze genereert inderdaad het creatief product want 10111010 XOR 11100101 is niet verschillend van 10100000, en 10111010 AND 11100101 is niet verschillend van 11111111. We vullen deze gegevens in in de tabel. We merken op dat de eerste en de derde rij enkel in het geval van de interpretatie van het creatief product als een nevenschikking (laatste kolom) en niet als een vectorproduct (dezelfde laatste kolom) betekende bitwaarden kunnen aangegeven worden. Inderdaad als beide bits van de AND componenten dezelfde zijn leidt dit onvermijdelijk tot 0 voor het vectorproduct en er zou moeten een 1 bekomen worden om 10100000 te kunnen vormen. Niet zo dus bij de interpretatie als nevenschikking (die in dit geval niet verschillend is van het vectorproduct maar dit is een vaststelling die op het niveau van individuele bits niet kan gemaakt worden, wat mooi de grens aangeeft van een modellering met individuele bits).

Merk op dat de vrij te kiezen bits die in de eerste en vierde kolom aangeduid zijn met een punt met elkaar gerelateerd zijn. Er zijn dus 2² kandidaten voor de toegevoegde welgevormde haakuitdrukking s•r.

Een voorbeeld van het ontstaan van een don't care bit

De eis dat het creatief product geen onderscheid maakt tussen vectorproduct en nevenschikking kan ervoor zorgen dat er geen enkele combinatie van bits kan gevonden worden die daaraan voldoet. Dit betekent dat de bit die daarbij betrokken is enkel maar een don't care kan zijn. Dit demonstreren we in de laatste rij van onderstaande kolom.

Gevolg: wanneer het creatief product een atoom is van een universum en de termen uit het creatief product eveneens atomen zijn, dan kan een toegevoegde onderscheiding enkel een gecollapste haakuitdrukking zijn, en zoals uit het voorbeeld blijkt kan dat dus een gecollapst atoom zijn van hetzelfde universum. In het creatief product zijn dus drie atomen en één gecollapst atoom van hetzelfde universum met elkaar verbonden. Dit is een voorbeeld van een 3&1 patroon. Dat betekent dus concreet in het gedemonstreerde voorbeeld:

Dit kan uiteraard uitgebreid worden zodanig dat een collaps van atomen gesommeerd kan worden.

Nota wat betreft de bitplaatsen met een punt versus don't care bits

Met een punt in de tabel geven we aan dat voor de invulling zowel een 1 als een 0 zal functioneren, er is dus een vrije keuze voor. Dit betekent dat de 2^p mogelijkheden die zo ontstaan wel degelijk relevant zijn. Indien de mogelijkheden niet relevant zouden zijn dan zouden we dat aangeven met een x.

Uiteraard is het ook denkbaar dat alle bitplaatsen met een punt kunnen aangegeven worden, voor een drie onderscheidingen universum zijn dat dan 2⁸ en dus 256 punten. Dit kan alleen maar betekenen dat hiermee het geval (h⊗h)_a bereikt wordt dat gelijk is aan h. Bijvoorbeeld (<<b><c>>⊗<<b><c>>)_a is <a<b><c>><<a><b><c>> is <<b><c>> wat ook de invulling zou zijn van a. De werkelijkheid wordt opgespannen door de onderscheidingen van h, wat ook de onderscheidingen zouden zijn waarmee a opgespannen wordt. Op die manier kunnen we modelleren dat in de tijd sporen ontstaan van een interactie, van een dynamiek, die, hoewel ze relevant zijn voor de structuur van de werkelijkheid, ze de dynamiek niet meer kunnen beïnvloeden en dus niet meer relevant zijn voor de dynamiek.

Het ander extreem wordt gegeven door de situatie (<h>⊗h)_a∼<ah><<a><h>> wat betekent dat alle bits van a bepaald zijn: zij moeten identiek zijn met de bits van h, uiteraard dus ook de gecommuteerde vorm (h⊗<h>)_a∼<a<h>><<a>h> wat betekent dat alle bits van a de inbedding zijn van de bits van h.

Creatief product construeren uit een vectorsom met meer dan vier termen

Het 3&1 patroon van het creatief product heeft uiteraard maar vier termen. Toch kennen we welgevormde haakuitdrukkingen met meer termen, bijvoorbeeld de atomen in een drie onderscheidingen universum tellen zeven termen. Hieronder geven we de zeer eenvoudige procedure weer, met behulp van een willekeurig voorbeeld, om vier functionerende termen te berekenen.

De bedoeling is om de 7 termen van het atoom a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a om te zetten in vier termen dat voldoet aan het 3&1 patroon. We schrijven die bedoeling expliciet als volgt neer:

(w•x⊗w•y)_w•v=v•y⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<v•x>=a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a

Er zijn nu zeer veel mogelijkheden maar telkens komt het er op neer om een deel van de zeven termen als welgevormde haakuitdrukking te gaan voorstellen, welgevormde haakuitdrukking die altijd als een vectorproduct te schrijven is, waarbij ook meerdere keuzen kunnen gemaakt worden.

We herschrijven daarom de zeven termen als volgt: (<>⊕a⊕b⊕b•a)⊕(<<>>⊕c⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a). Hierbij is het eerste deel een welgevormde haakuitdrukking, namelijk <ab>. Dit kunnen we als vectorproduct uitdrukken. We kiezen voor een van de termen als zijnde a. We gaan nu over naar het haakmodel. Stel dus <ab>↔a•p, waarbij p de te zoeken welgevormde haakuitdrukking is. Dus a•<ab>↔p en dus <aab><<a><ab>>↔p dus <ab><<a>>↔p en dus <b>a↔p. Nu gaan we terug naar het haakvector model en schrijven dus <<>>⊕<a>⊕b⊕a•b=p. Het eerste deel van onze keuze van het opsplitsen van de zeven termen wordt dus a•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b). We hebben dus het volgende bereikt:

v•y⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<v•x>=a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a=a•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b)⊕(<<>>⊕c⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a)

Hierin kiezen we dat v niet verschillend is van a en y gelijk met (<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b). Dus de term (<<>>⊕c⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a) moet dan noodzakelijkerwijze voorgesteld worden door <w•x>⊕<w•y>⊕<v•x> of dus <w•x>⊕<w•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b)>⊕<a•x>. Dus:

<<>>⊕c⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a=<w•x>⊕<w>⊕w•a⊕<w•b>⊕<w•a•b>⊕<a•x>

Andermaal hebben we zeer veel keuze. Stel nu <w> gelijk met c.

<<>>⊕c⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a=c•x⊕c⊕<c•a>⊕c•b⊕c•a•b⊕<a•x>

<<>>⊕c•a=c•x⊕<c•a>⊕<a•x>

<<>>⊕<c•a>=c•x⊕<a•x>

Hieruit volgt onvermijdelijk dat x gelijk is aan c.

(w•x⊗w•y)_w•v=<w•x>⊕<w•y>⊕<v•x>⊕v•y=(v•x⊗<v•y>)_w•v wordt dus:

(<c>•c⊗<c>•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b))_<c>•a=<<c>•c>⊕<<c>•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b)>⊕<a•c>⊕a•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b)=(a•c⊗<a•(<<>>⊕<a>⊕b⊕a•b)>)_<c>•a

In hybride notatie is dit:

(<>⊗<c>•(<b>a))_<c•a>=<<>>⊕c•(<b>a)⊕<c•a>⊕a•(<b>a)=(c•a⊗<a>•(<b>a))_<c•a>

De vier welgevormde haakuitdrukkingen als termen van het 3&1 patroon zijn dus <<>>⊕(c⊕<c•a>⊕c•b⊕c•b•a)⊕<c•a>⊕(a⊕<>⊕b•a⊕b) en de toegevoegde onderscheiding is <c•a>.

Als we als de toegevoegde onderscheiding <b•a> willen kiezen dan moeten we gewoon maar c en b onderling verwisselen omdat de symmetrie in a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a voor beide duidelijk is. De vier termen zijn dan <<>>⊕(b⊕<b•a>⊕c•b⊕c•b•a)⊕<b•a>⊕(a⊕<>⊕c•a⊕c) en de toegevoegde onderscheiding is <b•a>. In korte en hybride vorm is dit dus (<>⊗<b>•(<c>a))_<b•a>.