Een kettingbreuk is een structuur van dubbelgetallen met het patroon a + 1/(b + 1/(c + 1/(d + 1/...))).

Elk rationaal getal p/q is te schrijven als een kettingbreuk en elke kettingbreuk (en elk deel ervan) is een dubbelgetal. De teller gelijk aan 1 in het tweede deel van het dubbelgetal gedraagt zich als de grootste gemene deler en is een eenheid die een intensiteit kan krijgen.

We verwachten dan ook dat het mogelijk moet zijn om de patronen van het haakformalisme te construeren met kettingbreuken. We tonen dat aan met de modellering van een som als de inbedding van “iets anders in de getallenwereld”, een complement met 1, een invers met 1 en de modellering van “een contraduaal in de getallenwereld”.

Een eenvoudig voorbeeld: 8/5 is niet anders dan (1+3/5). 3/5 is niet anders dan 1/(5/3). 5/3 is niet anders dan (1+2/3). 2/3 is niet anders dan 1/(3/2). 3/2 is niet anders dan (1+1/2). 2/1 is niet anders dan 1/(2/1). 2/1 is niet anders dan (1+1). De grootste gemene deler van 8 en 5 is 1.

Dus 8/5=1+3/5=1+1/(1+2/3)=1+1/(1+1/(1+1/2))=1+1/(1+1/(1+1/(1+1)))

We nemen nu 8/6, waarbij de grootste gemene deler gelijk is aan 2

8/6=1+2/6=1+1/(6/2)=1+1/3=(2/2)(1+1/3)=(2/2)(4/3) en de grootste gemene deler van 4 en 3 is 1. De grootste gemene deler van 8 en 6 zien we al in de eerste stap.

Het patroon van een kettingbreuk is dus p/q=a + 1/(b + 1/(c + 1/(d + …))) en dus kan p/q voorgesteld worden als [a; b, c, d, …]. Het eerste getal in deze lijst is het enige dat gelijk kan zijn aan 0, wat dan betekent dat q groter is dan p. De lijst eindigt altijd op 1 voor een rationaal getal, voor een irrationaal getal eindigt de lijst niet. Rationale getallen kunnen we kiezen, irrationale getallen kunnen enkel gebeuren. Dus [0; a, b, c, d, 1] is een uniek rationaal getal kleiner dan 1 en kan een intensiteit krijgen. Deze intensiteit komt alleen voor in de teller: dit staat los van de grootste gemene deler van p en q, die een deel is van de structuur (dus een deel van de tralie). We merken op dat [0; a, b, c, d, 1] altijd kan geschreven worden als [0; a, b, c, d+1].

Het invers van een rationaal getal p/q is q/p of dus 1/(p/q), dus stel dat a verschillend is van 0 dan is q/p niet anders dan [0; a, b, c, d, …]. We zien hetzelfde patroon van getallen.

Wanneer we alle verhoudingen kleiner dan 1 uitdrukken in deze nieuwe schrijfwijze, dan is duidelijk dat er een structurele relatie is tussen verhoudingen die elkaars complement zijn ten opzichte van 1. We geven daar eerst een voorbeeld van, een fundamentele onderbouwing volgt verder.

Verhouding

Kettingbreuk

1/8

[0; 8] = [0; 7, 1]

2/8

[0; 4] = [0; 3, 1]

3/8

[0; 2, 1, 2] = [0; 2, 1, 1, 1]

4/8

[0; 2] = [0; 1, 1]

5/8

[0; 1, 1, 1, 2] = [0; 1, 1, 1, 1, 1]

6/8

[0; 1, 3] = [0; 1, 2, 1]

7/8

[0; 1, 7] = [0; 1, 6, 1]

De tabel maakt duidelijk dat we een complement met 1 voor een [0; a, b, c, d, 1] als volgt vinden: [0; 1, a-1, b, c, d, 1]. Immers: neem [0; a, X] = 0+1/(a+1/X)=1/(aX+1)/X=X/(1+aX) en bereken nu [0; 1, a-1, X]=1/(1+1/(a-1+1/X))

=1/(1+1/(aX-X+1)/X))

=1/(1+X/(aX-X+1))

=1/((aX-X+1+X)/(aX-X+1)

=1/((aX+1)/(aX-X+1)

(aX-X+1)/(aX+1)

(aX+1)/(aX+1)-X/(aX+1)

1-X/(aX+1)

en dus is 1-X/(aX+1)+X/(1+aX)=1

QED

Getallen met dezelfde noemer kunnen gesommeerd worden. Hieruit volgt dat bijvoorbeeld [0; 7, 1]+[0; 3, 1]=[0; 2, 1, 1, 1] of dus 1/8+2/8=3/8.

Dit toont ook de relatie met het modulo rekenen: elk getal kan geschreven worden modulo 8 en wordt dan geschreven als een dubbelgetal. Bijvoorbeeld: 53 kan geschreven worden als 48+5 en dus 53/8 als 6+5/8, maar 53 kan ook geschreven worden als 56-3 en dus als 7-3/8, en dat is uiteraard niet anders dan (6+1)-3/8 en dit is niet anders dan 6+(1-3/8).

Quaternaliteit

We kunnen nu ook een nieuw invers van een kettingbreuk construeren voor coëfficiënten verschillend van 0, invers dat eveneens een involutie is zoals het complement ten opzichte van 1 een involutie is. Dit legt onmiddellijk al de relatie met het complement van een welgevormde haakuitdrukking en de inbedding van de individuele onderscheidingen.

Contradualeren

We definiëren een nieuw invers voor de kettingbreuk [0; a, b, c] als [0; c, b, a]. Dat invers kunnen we een contraduaal noemen, zoals we ook de invertering van een bitstring gekarakteriseerd hebben. Dit geeft ons de mogelijkheid om complement en duaal te definiëren voor een verhouding zoals we dat ook voor bitstrings gedaan hebben.

We bewijzen dat de verhoudingen die elkaars contraduaal zijn dezelfde teller hebben en dus hun inversen dezelfde noemer hebben.

[a; b, c] heeft dezelfde teller als [c; b, a] is te bewijzen door de verhouding die gemodelleerd wordt te vergelijken

[a; b, c]∼a+1/(b+1/c)=a+1/(bc+1)/c=a+c/(bc+1)=(abc+a+c)/(bc+1)

[c; b, a]∼c+1/(b+1/a)=c+1/(ab+1)/a=c+a/(ab+1)=(abc+a+c)/(ab+1)

QED

[0; a, b, c] en [0; c, b, a] hebben dus dezelfde eenheid en kunnen dus gesommeerd worden.

Complementeren en contradualeren

Naast het inverteren van een kettingbreuk kunnen we een kettingbreuk dus ook complementeren en contradualeren. We geven hiervan eerst een aantal voorbeelden die het verschil duidelijk maken.

Noemer 2

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/2

[0; 2] = [0; 1, 1]

a=1-a

A=A’

Noemer 3

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/3

[0; 3] = [0; 2, 1]

a

A=A’

2/3

[0; 1, 2] = [0; 1, 1, 1]

1-a

A=A’

Merk op dat dit een heel unieke situatie is.

Noemer 4

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/4

[0; 4] = [0; 3, 1]

a

A

2/4

[0; 2] = [0; 1, 1]

b=1-b

B=B’

3/4

[0; 1, 3] = [0; 1, 2, 1]

1-a

A’

Noemer 5

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/5

[0; 5] = [0; 4, 1]

a

A

2/5

[0; 2, 2] = [0; 2, 1, 1]

b

B

3/5

[0; 1, 1, 2] = [0; 1, 1, 1, 1]

1-b

B’

4/5

[0; 1, 4] = [0; 1, 3, 1]

1-a

A’

Complement en contraduaal zijn niet verschillend.

Noemer 6

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/6

[0; 6] = [0; 5, 1]

a

A

2/6

[0; 3] = [0; 2, 1]

b

B

3/6

[0; 2] = [0; 1, 1]

c=1-c

C=C’

4/6

[0; 1, 2] = [0; 1, 2, 1]

1-b

B’

5/6

[0; 1, 5] = [0; 1, 4, 1]

1-a

A’

Complement en contraduaal zijn niet verschillend, ook voor de nieuwe eenheid die centraal toegevoegd wordt.

Noemer 7

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/7

[0; 7] = [0; 6, 1]

a

A

2/7

[0; 3, 2] = [0; 3, 1, 1]

b

B

3/7

[0; 2, 3] = [0; 2, 2, 1]

c

C

4/7

[0; 1, 1, 3] = [0; 1, 1, 2, 1]

1-c

B’

5/7

[0; 1, 2, 2] = [0; 1, 2, 1, 1]

1-b

C’

6/7

[0; 1, 6] = [0; 1, 2, 1]

1-a

A’

Complement en contraduaal zijn niet verschillend enkel voor de uiterste eenheden van het modulair patroon.

Noemer 8

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/8

[0; 8] = [0; 7, 1]

a

A

2/8

[0; 4] = [0; 3, 1]

b

B

3/8

[0; 2, 1, 2] = [0; 2, 1, 1, 1]

c

C

4/8

[0; 2] = [0; 1, 1]

d=1-d

D=D’

5/8

[0; 1, 1, 1, 2] = [0; 1, 1, 1, 1, 1]

1-c

C’

6/8

[0; 1, 3] = [0; 1, 2, 1]

1-b

B’

7/8

[0; 1, 7] = [0; 1, 6, 1]

1-a

A’

Complement en contraduaal zijn niet verschillend, ook voor de nieuwe eenheid die centraal toegevoegd wordt.

Vanaf deze verhouding wordt het verhelderend om de quaternale benamingen expliciet te gebruiken, omdat er duidelijke viergroepen ontstaan.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

1/8

[0; 8]

Start

[0; 7, 1]

Start

7/8

[0; 1, 7]

complementeren

[0; 1, 6, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

7/8

[0; 1, 7]

contradualeren

[0; 1, 6, 1]

leesrichting omdraaien

1/8

[0; 8]

dualeren

[0; 7, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Hieruit volgt dat 1/8 (en 7/8) zelfduaal is. Complement en contraduaal zijn niet verschillend.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

2/8

[0; 4]

Start

[0; 3, 1]

Start

6/8

[0; 1, 3]

complementeren

[0; 1, 2, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

6/8

[0; 1, 3]

contradualeren

[0; 1, 2, 1]

leesrichting omdraaien

2/8

[0; 4]

dualeren

[0; 3, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Hieruit volgt dat 2/8 (en 6/8) zelfduaal is, dit is niet anders dan ¼ en ¾. Complement en contraduaal zijn niet verschillend.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

3/8

[0; 2, 1, 2]

Start

[0; 2, 1, 1, 1]

Start

5/8

[0; 1, 1, 1, 2]

complementeren

[0; 1, 1, 1, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

3/8

[0; 2, 1, 2]

contradualeren

[0; 2, 1, 1, 1]

leesrichting omdraaien

5/8

[0; 1, 1, 1, 2]

dualeren

[0; 1, 1, 1, 1, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Hieruit volgt dat 3/8 (en 5/8) andersduaal is. Start en contraduaal zijn niet verschillend. We zien een symmetrische kettingbreuk [0; 2, 1, 2] met 2 als eerste getal en 2 als laatste getal.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

4/8

[0; 2]

Start

[0; 1, 1]

Start

4/8

[0; 1, 1]

complementeren

[0; 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

4/8

[0; 1, 1]

contradualeren

[0; 1, 1]

leesrichting omdraaien

4/8

[0; 2]

dualeren

[0; 1, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

De verhouding ½ is duidelijk een klasse apart. Complementeren, dualeren en contradualeren onderscheiden zich niet van elkaar. Dit maakt ½ zowel zelfduaal als andersduaal. Het getal 2 neemt dus een speciale plaats in, een situatie die voor de eenheden van het haakformalisme enkel kan vergeleken worden met de speciale plaats van de al-nul vector.

Noemer 9

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/9

[0; 9]

a

A

2/9

[0; 4, 2]

b

B

3/9

[0; 3]

c

C=C’

4/9

[0; 2, 4]

d

B’

5/9

[0; 1, 1, 4]

1-d

B’

6/9

[0; 1, 2]

1-c

C’

7/9

[0; 1, 3, 2]

1-b

B’

8/9

[0; 1, 8]

1-a

A’

Dit leidt tot:

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

1/9

[0; 9]

Start

[0; 8, 1]

Start

8/9

[0; 1, 8]

complementeren

[0; 1, 7, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

8/9

[0; 1, 8]

contradualeren

[0; 1, 8]

leesrichting omdraaien

1/9

[0; 9]

dualeren

[0; 8, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Hieruit volgt dat de verhouding 1/9 (en 8/9) zelfduaal is. Complement en contraduaal zijn niet verschillend.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

2/9

[0; 4, 2]

Start

[0; 4, 1, 1]

Start

7/9

[0; 1, 3, 2]

complementeren

[0; 1, 3, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

4/9

[0; 2, 4]

contradualeren

[0; 2, 3, 1]

leesrichting omdraaien

5/9

[0; 1, 1, 4]

dualeren

[0; 1, 1, 3, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

De verhouding 2/9 (en 7/9) is niet zelfduaal. De verhouding 4/9 (en 5/9) is niet zelfduaal. De relatie is evenmin andersduaal.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

3/9

[0; 3]

Start

[0; 2, 1]

Start

6/9

[0; 1, 2]

complementeren

[0; 1, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

6/9

[0; 1, 2]

contradualeren

[0; 1, 2]

leesrichting omdraaien

3/9

[0; 3]

dualeren

[0; 2, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

De verhouding 3/9 (en 6/9) is zelfduaal. Complement en contraduaal zijn niet verschillend.

Noemer 10

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/10

[0; 10]

a

A

2/10

[0; 5]

b

B

3/10

[0; 3, 3]

c

C

4/10

[0; 2, 2]

d

D

5/10

[0; 2]

e=1-e

E=E’

6/10

[0; 1, 1, 2]

1-d

D’

7/10

[0; 1, 2, 3]

1-c

C’

8/10

[0; 1, 4]

1-b

B’

9/10

[0; 1, 9]

1-a

A’

We vinden terug dat complementeren en contradualeren zich niet onderscheiden van elkaar. De symmetrie is opvallend en wordt veroorzaakt door de factor 2.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

1/10

[0; 10]

Start

[0; 9, 1]

Start

9/10

[0; 1, 9]

complementeren

[0; 1, 8, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

9/10

[0; 1, 9]

contradualeren

[0; 1, 8, 1]

leesrichting omdraaien

1/10

[0; 10]

dualeren

[0; 9, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Zelfduaal

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

2/10

[0; 5]

Start

[0; 4, 1]

Start

8/10

[0; 1, 4]

complementeren

[0; 1, 3, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

2/10

[0; 1, 4]

contradualeren

[0; 1, 3, 1]

leesrichting omdraaien

2/10

[0; 5]

dualeren

[0; 4, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Zelfduaal

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

3/10

[0; 3, 3]

Start

[0; 3, 2, 1]

Start

7/10

[0; 1, 2, 3]

complementeren

[0; 1, 2, 2, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

7/10

[0; 1, 2, 3]

contradualeren

[0; 1, 2, 2, 1]

leesrichting omdraaien

3/10

[0; 3, 3]

dualeren

[0; 3, 2, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Zelfduaal

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

4/10

[0; 2, 2]

Start

[0; 2, 1, 1]

Start

6/10

[0; 1, 1, 2]

complementeren

[0; 1, 1, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

6/10

[0; 1, 1, 2]

contradualeren

[0; 1, 1, 1, 1]

leesrichting omdraaien

4/10

[0; 2, 2]

dualeren

[0; 2, 2, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Zelfduaal

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

5/10

[0; 2]

Start

[0; 1, 1]

Start

5/10

[0; 1, 1]

complementeren

[0; 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

5/10

[0; 1, 1]

contradualeren

[0; 1, 1]

leesrichting omdraaien

5/10

[0; 2]

dualeren

[0; 1, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

De verhouding ½ is duidelijk een klasse apart.

Noemer 11

Het volgende voorbeeld is een verhouding met enkel getallen die relatief priem zijn.

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/11

[0; 11]

a

A

2/11

[0; 5, 2]

b

B

3/11

[0; 3, 1, 2]

c

C

4/11

[0; 2, 1, 3]

d

C’

5/11

[0; 2, 5]

e

B’

6/11

[0; 1, 1, 5]

1-e

B’

7/11

[0; 1, 1, 1, 3]

1-d

C’

8/11

[0; 1, 2, 1, 2]

1-c

C’

9/11

[0; 1, 4, 2]

1-b

B’

10/11

[0; 1, 10]

1-a

A’

Er zijn 10 verhoudingen mogelijk en we vinden twee gesloten verzamelingen van 4 en 1 van twee verhoudingen:

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

1/11

[0; 11]

Start

[0; 10, 1]

Start

10/11

[0; 1, 10]

complementeren

[0; 1, 9, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

10/11

[0; 1, 10]

contradualeren

[0; 1, 9, 1]

leesrichting omdraaien

1/11

[0; 11]

dualeren

[0; 10, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Zelfduaal

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

2/11

[0; 5, 2]

Start

[0; 5, 1, 1]

Start

9/11

[0; 1, 4, 2]

complementeren

[0; 1, 4, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

5/11

[0; 2, 5]

contradualeren

[0; 2, 4, 1]

leesrichting omdraaien

6/11

[0; 1, 1, 5]

dualeren

[0; 1, 1, 4, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Noch zelfduaal, noch andersduaal.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

3/11

[0; 3, 1, 2]

Start

[0; 3, 1, 1, 1]

Start

8/11

[0; 1, 2, 1, 2]

complementeren

[0; 1, 2, 1, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

4/11

[0; 2, 1, 3]

contradualeren

[0; 2, 1, 2, 1]

leesrichting omdraaien

7/11

[0; 1, 1, 1, 3]

dualeren

[0; 1, 1, 1, 2, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Noch zelfduaal, noch andersduaal.

Noemer 12

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/12

[0; 12]

a

A

2/12

[0; 6]

b

B

3/12

[0; 4]

c

C

4/12

[0; 3]

d

D

5/12

[0; 2, 2, 2]

e

E=E’

6/12

[0; 2]

f=1-f

F=F’

7/12

[0; 1, 1, 2, 2]

1-e

E=E’

8/12

[0; 1, 2]

1-d

D’

9/12

[0; 1, 3]

1-c

C’

10/12

[0; 1, 5]

1-b

B’

11/12

[0; 1, 11]

1-a

A’

We vinden terug dat complementeren en contradualeren zich niet onderscheiden van elkaar. De symmetrie met de factor 2 doet zich ook voor.

We onderzoeken nu enkel het opvallend geval van de symmetrie in de tabel.

Verhouding

Kettingbreuk

Quaternale benaming van de operatie

Maximale kettingbreuk

Operatie voor een kettingbreuk

5/12

[0; 2, 2, 2]

Start

[0; 2, 2, 1, 1]

Start

7/12

[0; 1, 1, 2, 2]

complementeren

[0; 1, 1, 2, 1, 1]

1 invoegen, 1 aftrekken

5/12

[0; 2, 2, 2]

contradualeren

[0; 2, 2, 1, 1]

leesrichting omdraaien

7/12

[0; 1, 1, 2, 2]

dualeren

[0; 1, 1, 2, 1, 1]

leesrichting omdraaien en 1 invoegen, 1 aftrekken

Dit betekent dat de verhouding 5/12 (en 7/12) andersduaal is. Als we dat vergelijken met de verhouding 2/5, dus [0; 2, 2], dan is duidelijk dat dit het gevolg is van het oneven aantal van het getal 2 in de kettingbreuk. Hetzelfde fenomeen hebben we gezien bij 3/8 of dus [0; 2, 1, 2], waarvan het complement 5/8 is of dus [0; 1, 1, 1, 2]=[0; 1, 1, 1, 1, 1]

Hetzelfde kunnen we dus verwachten bij een onbeperkt aantal andere verhoudingen waarvan we nu een aantal voorbeelden geven.

In het algemeen dus bij

[0; 2, n, 2] of dus

[0; 2, n+1/2]=[0; 2, (2n+1)/2]

[0; 2+2/(2n+1)]=[0; (4n+4)/(2n+1)]=(2n+1)/(4n+4)

Dit is gemakkelijk verder uit te breiden met:

In het algemeen dus bij

[0; 2, n, n, 2] of dus

[0; 2, n, n+1/2]=[0; 2, n, (2n+1)/2]

[0; 2, n+2/(2n+1)]=[0; 2, (2n2+n+2)/(2n+1)]

[0; 2, (2n2+n+2)/(2n+1)]

[0; 2+(2n+1)/(2n2+n+2)]

[0; (2(2n2+n+2)+(2n+1))/(2n2+n+2)]

[0; (4n2+4n+5)/(2n2+n+2)]=(2n2+n+2)/(4n2+4n+5)

Merk op dat de kwadratische vergelijkingen in de verhouding geen reële wortels hebben, de wortels zijn dubbelgetallen die complexe getallen zijn.

De speciale 2

We kunnen aantonen dat normalisatie met behulp van reciproque machten van 2 ervoor zorgt dat (bij de modellering van een tralie van welgevormde haakuitdrukkingen met behulp van de techniek van de lineaire algebra) het verschil tussen onderscheidingen universa met een even aantal onderscheidingen en een met een oneven aantal onderscheidingen geen rol meer spelen. Die normalisatie leidt tot de symmetrie die in bijvoorbeeld de volgende tabel duidelijk wordt:

Verhouding

Kettingbreuk

Complement

Contraduaal

1/16

[0; 16]

a

A

2/16

[0; 8]

b

B

3/16

[0; 5, 3]

c

C

4/16

[0; 4]

d

D

5/16

[0; 3, 5]

e

C’

6/16

[0; 2, 1, 2]

f

E=E

7/16

[0; 2, 3, 2]

g

F=F

8/16

[0; 2]

h=1-h

G=G’

9/16

[0; 1, 1, 3, 2]

1-g

F’=F’

10/16

[0; 1, 1, 1, 2]

1-f

E’=E’

11/16

[0; 1, 2, 5]

1-e

C’

12/16

[0; 1, 3]

1-d

D’

13/16

[0; 1, 4, 3]

1-c

C’

14/16

[0; 1, 7]

1-b

B’

15/16

[0; 1, 15]

1-a

A’



We nemen daar het invers van

Verhouding

Kettingbreuk

Toegevoegde

Contraduaal

16/1

[16]=[15; 1]

a

A

16/2

[8]=[7; 1]

b

B

16/3

[5; 3]=[5; 2, 1]

c

C

16/4

[4]=[3; 1]

d

D

16/5

[3; 5]=[3; 4, 1]

e

C’

16/6

[2; 1, 2]

f

E=E

16/7

[2; 3, 2]

g

F=F

16/8

[2]=[1; 1]

h=1/(1-1/h)

G=G’

16/9

[1; 1, 3, 2]

1/(1-1/g)

F’=F’

16/10

[1; 1, 1, 2]

1/(1-1/f)

E’=E’

16/11

[1; 2, 5]

1/(1-1/e)

C’

16/12

[1; 3]

1/(1-1/d)

D’

16/13

[1; 4, 3]

1/(1-1/c)

C’

16/14

[1; 7]

1/(1-1/b)

B’

16/15

[1; 15]

1/(1-1/a)

A’

A, B, D en G zijn gehele getallen. Alleen C vormt een viertal. Als we dubbel tellen voor E en F dan is dat ook voor hen het geval