Op een bepaald moment heeft het universum dat we ervaren een bepaald aantal mogelijke realisaties waarvan op dat moment maar één gerealiseerd wordt. Het universum heeft dus een bepaalde intensiteit en het volgende moment kan die intensiteit anders zijn maar dat hoeft niet. De intensiteit is dus ofwel groter ofwel kleiner ofwel onveranderd. Aangezien er ook altijd iets anders gebeurt dan wat we doen gebeuren moeten we ervan uitgaan dat de intensiteit altijd groter zal zijn dan de intensiteit van het universum waarvoor we kiezen. Toch willen we herhaaldelijk hetzelfde doel kunnen herkennen, ook als dat wat we doen gebeuren een spontaan proces is. Het is trouwens pas als iets herhaaldelijk gebeurt dat we iets kunnen leren. Dan zal het doel soms gerealiseerd worden in een toestand T1, soms in een toestand T2. Beide realisaties sluiten elkaar uit. Beide realisaties realiseren het doel. Het doel is simultaan met T1 en het doel is simultaan met T2. Twee toestanden is een minimum aantal, maar gewoonlijk onderscheiden we meerdere toestanden, meerdere elkaar uitsluitende spontane processen met hetzelfde doel. Soms zijn we in staat om het spoor dat ontstaat bij het bereiken van het doel te bewaren zodanig dat ook die sporen elkaar uitsluiten. Het meest eenvoudige spoor is “ja” (versus “neen”) en het spoor moet het herkennen zijn van iets invariant (het doel) en dus wordt het bereikt bij een evenwicht. Het evenwicht is te herkennen aan een verschil dat geen verschil meer maakt: het doel is bereikt, het verschil met het doel is waarneembaar willekeurig klein en onwaarneembaar kleiner. Er is dus altijd een “eindtoestand” als spoor te gebruiken. Het doel is er als een entiteit, iets dat dus te tellen is en opgespannen wordt door een aantal onderscheidingen in conjunctie met aspecten die variëren van realisatie tot realisatie, van ervaren toestand tot ervaren toestand, en de variatie van de mogelijke processen is irrelevant voor de toestand waarin we het doel als gerealiseerd vinden. De onderscheidingen tijdens het spontaan proces moeten niet toegankelijk zijn voor ons (ze moeten dus geen aspecten zijn van een input), wat betekent dat het mogelijk is dat ze niet te manipuleren zijn, dat we niet in staat zijn om sommige variatie te beperken, en dat kunnen we leren. Dat is karakteristiek voor een spontaan proces: we zijn niet in staat om het proces te beïnvloeden, of we kiezen er voor om het proces niet te beïnvloeden.
Natuurlijk zullen we niet alle processen spontaan laten gebeuren. We zullen proberen de deelprocessen van een totaal proces te beïnvloeden zodanig dat we de variatie beperken van belangrijke aspecten van de deelprocessen en om ons daarbij te helpen is inzicht nodig in hoe variatie ontstaat en kan begrensd worden. Dat betekent dat we zoeken om het universum, dat nog kan gebeuren, kleiner te maken dan voorheen: we zijn dan in staat om een aantal relevante onderscheidingen te kiezen en die te beperken, wat we dan laten gebeuren zal in elk geval een kleinere spreiding vertonen van toestanden waarin het doel zich finaal zal bevinden. En dan laten we het gemodificeerde proces terug spontaan verlopen en we doen dat herhaaldelijk in het totaal proces. We onderscheiden daarbij de onvermijdelijke stappen Ti die leiden naar een evenwicht, een toestand waarin we iets herkennen en de relevante aspecten niet meer variëren. We verzamelen sporen van de relevante gebeurtenissen, sporen die we kunnen ordenen naarmate ze beschikbaar zijn. Hoe langer we het proces laten lopen (of hoe groter het volume dat we moeten veronderstellen) hoe meer gebeurtenissen. Dit zijn niet alleen meer gebeurtenissen van dezelfde soort, maar we kunnen ook gebeurtenissen verzamelen die veel voorkomen en gebeurtenissen die weinig voorkomen. Beide soorten gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die we (achteraf) herkennen en waarbij we een relevant verschil hebben dat een verschil maakt. Gebeurtenissen die we niet herkennen kunnen we niet verzamelen, gebeurtenissen die we niet kunnen onderscheiden van elkaar kunnen we niet in een andere categorie onderbrengen. Zowel gebeurtenissen die weinig voorkomen als gebeurtenissen die veel voorkomen, kunnen voorkomen en moeten dus als een mogelijke logische combinatie van onderliggende onderscheidingen (aspecten) kunnen beschreven worden. En dat levert natuurlijk het aanknopingspunt om op zoek te gaan naar die onderscheidingen en de tralies die daardoor opgespannen kunnen worden. Een andere manier om dat uit te drukken is dat we op zoek gaan naar een relevante schaal waarop de gebeurtenissen moeten beschreven worden, een schaal is een verhouding (product) van intensiteit en eenheid waarbij we ervan uitgaan dat we de eenheid naar believen kunnen veranderen.
Wat we herkennen kunnen we zelf kiezen (anders zouden we het niet herkennen). Wat we herkennen is dus een soort. Bijvoorbeeld: we nemen het gedrag waar van een jagende kat en simultaan nemen we een kat waar, nemen we een dier waar enz... Wat we waarnemen hangt af van het evenwicht in het proces van waarnemen en is niet op voorhand gekend. Het typisch gedrag van een jagende kat wordt niet door iedereen herkend. We kunnen leren waarnemen door hetzelfde proces verschillende malen waar te nemen, door herhaaldelijk “ja of neen” te zeggen. Hoe ingewikkeld ook datgene zou zijn dat we moeten leren waarnemen, toch weten we dat het “ja of neen” is en aangezien “ja” en “neen” elkaar uitsluiten is er geen verschil tussen de disjunctie en de exclusieve disjunctie. We veronderstellen nu dat het aantal keren dat we “ja” zeggen het proces kan karakteriseren. Immers het proces doorloopt een aantal toestanden (zelfs al kan het waarnemend agens ze niet onderscheiden) en in sommige toestanden zeggen we “ja” als we iets herkennen (en dus zeggen we “neen” als we dat iets niet herkennen) en we zeggen altijd iets, ofwel “ja” ofwel “neen”, en dit is het aantal, de intensiteit van eenheid 1, de eenheid die we willen meten.
Sommige spontane processen kunnen we dus herhalen. Dit betekent dat we veronderstellen dat het resultaat van het proces (het evenwicht dat bereikt wordt nadat de stappen van het deelproces doorlopen zijn) niet beïnvloed wordt door het aantal maal t dat we het proces uitvoeren. Dit betekent dat we veronderstellen dat het resultaat van het proces dat herhaald wordt niet beïnvloed wordt door feedback tussen de (deel)processen die herhaald worden. Het aantal t kunnen we tellen, dit is het aantal maal dat evenwicht bereikt werd in het deelproces en evenwicht is het gevolg van negatieve feedback waarvan de intensiteit onder de waarnemingsresolutie beland is en dan niet meer (waarneembaar) verandert. Het aantal keren “ja” is slechts een fractie van t en noemen we daarom pt, met 0<p<1. De dimensie van p is dus “per t”, dus de eenheid is 1/t en dus een verhouding (men spreekt ook van de densiteit p of de kans p). Het aantal keren “neen” berekenen we dan als (t-pt)=(1-p)t. De intensiteit van 1/t is in het ene geval p, in het andere geval (1-p).
We gebruiken hierbij het symbool t en suggereren hierdoor dat dit iets met tijd zou kunnen te maken hebben. Dat is ook zo maar het is de “eigen tijd” van het proces, het aantal stappen waarbij de verdubbeling, verdrievoudiging enz… optreedt die het mogelijk maakt te tellen, en dit heeft slechts zijdelings te maken met “tijd”. We kunnen dit met een voorbeeld van het gooien van een muntstuk beter begrijpen. Stel dat we vijf maal een muntstuk opgooien (dit is het totaalproces) en vijf maal waarnemen welke zijde bovenaan ligt bij het bereiken van evenwicht (het deelproces). Een eerste reeks levert op: (ja, ja, neen, neen, ja). Een tweede reeks levert op: (ja, neen, neen, neen, ja). De eerste reeks geeft een verdubbeling van “ja” bij de tweede stap, de tweede reeks geeft een verdubbeling bij de vijfde stap. We kunnen ons inbeelden dat er ook een reeks (ja, neen, neen, neen, neen) zou kunnen waargenomen worden waarbij de “eigen tijd” (nog ?) niet kan vastgesteld worden omdat er geen herhaling is van “ja”. Het totaalproces is dus niet het opgooien van een muntstuk maar het genereren van een reeks van vijf resultaten door het uitvoeren van vijf opeenvolgende processen van dezelfde soort (namelijk het opgooien van een muntstuk, het deelproces). Het totaalproces kan tien seconden in beslag nemen maar evenzeer drie weken. Die vijf deelprocessen op hun beurt kunnen ook in tijdsduur verschillen, het evenwicht wordt niet altijd even snel bereikt, een muntstuk blijft soms even doorrollen en doorloopt dan meer tijd dan anders, maar realiseert maar één stap relevant voor het totaalproces. We zien dus dat een gedetailleerde analyse laat zien dat het totale proces een positieve feedback is (verdubbeling van een resultaat na een aantal stappen) van deelprocessen die een evenwicht bereiken en dus kunnen gemodelleerd worden door negatieve feedback. De deelprocessen worden gekarakteriseerd door het aantal keren “ja” (p) en het aantal keren “neen” (1-p). Dit moet de entiteit die we waarnemen karakteriseren want, hoewel we nog andere variatie waarnemen, kan die verhouding stabiel blijken te zijn, karakteristiek voor een bepaalde entiteit, vandaar ook de term “verwachtingswaarde”. We beseffen daarbij dat er een ondergrens moet zijn in het totale proces en ook een bovengrens (onder meer bepaald wordt door ons geduld). De ondergrens in het totale proces is één maal want één maal een deelproces uitvoeren dat een evenwicht bereikt levert ons met zekerheid een resultaat, maar we kunnen niet op voorhand zeggen welk resultaat. Voor t=1 (en dus 1/t=1) nemen we het evenwicht dus met de waarschijnlijkheid 1 waar en dit is een voorbeeld van <<“ja” of “neen”>>. Voor t=2 nemen we het evenwicht dus ook met de waarschijnlijkheid 1 waar en ook nu is dit een voorbeeld van <<“ja” of “neen”>>, maar de waarderingen op t=1 en t=2 kunnen verschillen. Beide waarderingen zijn het resultaat van hetzelfde soort evenwicht want van alle mogelijke waarnemingen hebben we er geen enkele uitgesloten en geen enkele waarneming gebeurde simultaan (wat we kunnen controleren aan de ordening van de sporen die we bijhouden, sporen die allemaal als van dezelfde soort moeten beschouwd worden). De waarschijnlijkheid dat we <<“ja” of “neen”>> vinden is altijd 1, maar nu is het misschien wel “neen” als we “ja” vonden bij de eerste uitvoering van het deelproces. Ook hier moeten we er op wijzen dat we maar éénmaal “ja” vinden in het deelproces, niet meerdere malen “ja”, dat is immers een mogelijk resultaat van het grotere proces. Wat we dan wel kunnen vaststellen is dat we k maal “ja” vonden op de t sporen van het totale proces (en dus vonden we (t-k) maal “neen”). k is een geheel getal, minimaal 1 en maximaal t.
In de veronderstelling dat we telkens hetzelfde doen, vanaf een identieke context een spontaan proces initiëren dat een doel bereikt dat als spoor gebruikt kan worden, zijn deze k resultaten en (t-k) resultaten allemaal onafhankelijk van elkaar. Dit ontbreken van feedback (soms “geheugenloosheid” genoemd of “de Markov eigenschap”) is een belangrijke a priori veronderstelling die we nodig hebben om de volgende stappen te kunnen zetten bij het interpreteren van aantallen. Pas met die veronderstelling kunnen we spreken van een totale waarschijnlijkheid als de waarschijnlijkheid van het genereren van <<k maal “ja” op t onafhankelijke herhalingen>> als het product van de individuele waarschijnlijkheden van deelprocessen. Dus: de totale waarschijnlijkheid van het specifieke resultaat dat we krijgen van de k sporen moet evenredig zijn met pk(1-p)t-k. Immers: als de sporen onafhankelijk zijn van elkaar dan is er voor elk spoor “ja” een ander spoor “ja” of een ander spoor “neen”, en dat geldt ook voor elk spoor “neen” en dus voor alle sporen waarvan er t zijn. Dit kunnen we ook als volgt begrijpen: neem t sporen, dan is elke mogelijk invulling van “ja” of “neen” a priori even waarschijnlijk. Er zijn maar twee mogelijke categorieën: de categorie “ja” en de categorie “neen”, we kunnen dus een resultaat dat zich voordoet als de reeks <<“neen”,“neen”,“neen”, “ja”, “ja”, “neen”, “ja”>> afbeelden op de bitstring 0001101. We zien dat p hier gelijk is aan 3/7 en (1-p) gelijk is aan 4/7. Hierbij is t=7, namelijk het aantal deelprocessen die tot een einde gekomen zijn, en k=3, namelijk het aantal deelprocessen die resulteerden in een “ja”. Maar in de veronderstelling van onafhankelijkheid is dit resultaat natuurlijk niet verschillend van een rij die we als 1001001 zouden voorstellen. We zouden dat evenzeer herkennen als 3/7 maal “ja” en 4/7 maal “neen”, het is ook een van de mogelijke realisaties van de eenheid pk(1-p)t-k. Er zijn dus meerdere resultaten mogelijk die evenwaardig zijn (evenwaardigheid stellen we als volgt vast: alle mogelijke volgordes leiden allemaal tot een verdeling van 3 maal “ja” en 4 maal “neen”, een ander onderscheid maken we niet). Die meerdere totale resultaten leiden dus tot een grotere intensiteit van de nieuwe eenheid pk(1-p)t-k omdat de ordening die we toevallig bekomen hebben geen rol speelt en alleen belangrijk was om vast te leggen dat elke waarneming een andere uitsloot en elke bitstring dus even waarschijnlijk zou zijn. Dat aantal evenwaardige resultaten die simultaan het resultaat <<3 maal “ja” en 4 maal “neen”>> realiseren is gelijk aan het aantal combinaties van t boven k, dus in dit geval van 7 boven 3, namelijk een intensiteit die overeenkomt met het geheel getal 35=7!/(7-3)!3!. Dit is dus de intensiteit van een soort want alle bitstrings zijn evenwaardig. We herkennen natuurlijk de binomiaalcoëfficiënten en de evenwaardigheid kunnen we ook enkel met getallen modelleren. Het aantal punten op hetzelfde niveau in een tralie wordt gegeven door het aantal combinaties van 2n boven k, met k van 0 tot 2n, aantal dat berekend wordt door 2n!(2n-k)!-1k!-1. Het aantal niveaus in een tralie wordt gegeven door 2n +1. Het aantal punten op hetzelfde niveau in een tralie kunnen we dus interpreteren als de intensiteit van een soort (eenheid) als gevolg van hun evenwaardigheid en er zijn 2n +1 soorten.
De totale waarschijnlijkheid van het vinden van k “ja” resultaten is dus het product van intensiteit en eenheid en dus (t!/(t-k)!k!)pk(1-p)t-k. Dit is de kansfunctie van de binomiale verdeling en het uitgevoerde proces wordt een Bernouilli proces genoemd. Dit proces heeft 3 parameters: p (de verwachtingswaarde van een deelproces), k (de verwachtingswaarde van het totaal proces) en t (het aantal stappen in het totaal proces).
Essentieel aan het Bernouilli proces is dat we in staat zijn om stappen te tellen: zij bepalen “de grootte van de bitstring”, met andere woorden de tralie die opgespannen wordt in het totale proces. Dat betekent niet anders dan dat we zowel het aantal “ja” als het aantal “neen” kunnen tellen: het Berlouilli proces is een opeenvolging van processtappen die telkens weer een gelijksoortig evenwicht bereiken en het resultaat is dan ofwel “ja”, ofwel “neen”. Ondanks het feit dat we daar een tijdje zoet mee zijn, toch heeft dit niets met tijd te maken maar met stappen in een proces dat van waarneembaar evenwicht naar waarneembaar evenwicht “stapt”. Er wordt helemaal geen waarneming uitgevoerd tijdens de processtap zelf. Met een voorbeeld: zolang het muntstuk niet tot rust gekomen is, is de processtap niet uitgevoerd en kan er geen waarneming gebeuren. Een processtap moet kunnen herhaald worden en enkel wat zich herhaalt (en dus als soort herkend wordt) kan geteld worden.
Niet alle processen zijn in stappen te tellen. We kunnen ons bijvoorbeeld inbeelden dat we wel één iets kunnen herkennen en dan “ja” zeggen, maar meer niet. Dit noemen we een gebeurtenis. Een gebeurtenis kan geteld worden, iets anders dan een gebeurtenis kan niet geteld worden omdat het gelijk wat kan zijn dat gelijk wanneer zou kunnen gebeuren, wat moeten we dan tellen? We kunnen niet zeggen dat een processtap gebeurd is, tenzij we “ja” zeggen want we weten niet wanneer we “neen” moeten zeggen. We tellen in minimaal een één onderscheiding universum en we kunnen één focus herkennen. Het Bernouilli proces impliceert dat men minimaal twee focussen telt (minimaal "iets" en "iets anders") maar de twee focussen kunnen maar vanaf een twee onderscheidingen universum allebei geteld worden. Dus als we “iets” tellen, dan tellen we a en in het geval dat we “iets anders” ook kunnen tellen, tellen we b en dan veronderstellen we dat “iets anders dan a” niet verschillend is van b (en dus “iets anders dan b” niet verschillend van a). Dus zowel wat betreft focus als wat betreft tellen is het getal 2 fundamenteler dan 1, of anders gezegd: 1 leiden we af uit twee. We zien dat ook bij de definitie van de bit: 1 bit is de hoeveelheid informatie nodig om te beslissen tussen 2 even waarschijnlijke alternatieven. Eén bit komt dus overeen met het maken van één keuze (dus minimaal tussen 2 aspecten) zonder a priori (wat we herkennen in de uitdrukking "even waarschijnlijk"). Dat is de reden waarom we het Bernouilli proces binair kunnen modelleren.
We kunnen dus ook iets tellen zonder dat we in staat zijn processtappen te tellen. We kunnen dus ook tellen zonder iets (een aantal malen) te kunnen herhalen in een deelproces. We nemen dan gewoon gebeurtenissen waar, als we ze herkennen zeggen we dat ze het spoor “ja” achterlaten. Dit is duidelijk. Het spoor “neen” kunnen we niet waarnemen, want we beëindigen het (deel)proces niet, we stoppen enkel met het waarnemen van het verwachte spoor en dat is een beslissing die onafhankelijk is van het proces dat we waarnemen, het is onze eigen willekeurige beslissing. We zullen dan misschien na een zekere tijd terug het spoor “ja” waarnemen. De tijdspanne is het rechtstreeks gevolg van de beslissing “ja” (die een andere beslissing uitsluit) en is dus het gevolg van onze waarnemingsresolutie. We kunnen nu gelijk welke tijdspanne veronderstellen en het aantal keren “ja” in verschillende tijdspannen tellen. Stel dat we de tijdspanne T noemen dan zouden we op de duur n maal “ja” vinden, wat betekent dat de verhouding van “ja” tot T nu n/T is, waarbij 0/T goed gedefinieerd is, we kunnen ons immers voorstellen dat er een tijdspanne is waarin we geen enkele keer “ja” konden zeggen. De “ja” is dus niet de “ja, ik ervaar” aangezien ik onvermijdelijk altijd ervaar, het is “ja, ik herken dit spoor”, dit is “een a ten opzichte van iets anders dan een a”. Als we T nu vergelijken met t dan heeft de intensiteit van T, zoals bij t, niets te maken met het proces zelf, de intensiteit van beide kan zo groot zijn als we maar geduld hebben. Ze verschillen wel van eenheid: de eenheid van t is een stap die eigen is aan het proces zelf (de intensiteit t is het aantal maal dat het deelproces herhaald wordt), de eenheid van T is een stap in een proces dat daar onafhankelijk van is.
We kunnen dit als volgt modelleren. Stel twee onafhankelijke processen A en B die een spoor produceren dat geteld kan worden. Als beide processen verschillen van elkaar dan zal het zo zijn dat de verdubbelingstijden verschillen zelfs als een spoor van A niet kan onderscheiden worden van een spoor gegenereerd door B. We kunnen nu een van beide gebruiken als ordening. Stel dat we A gebruiken, dan is B trager als we meer “ja” kunnen zeggen aan A dan aan B; pas na een zekere tijd van herhaaldelijk waarnemen van een “ja” voor A kunnen we voor de eerste maal “ja” zeggen aan het waarnemen van B. Een andere manier om dat uit te drukken is dat A en B verschillen van schaal waarop de gebeurtenissen moeten beschreven worden, een schaal is een verhouding van intensiteit en eenheid. We moeten soms lang wachten tot iets (dat a priori gekozen en dus herkenbaar is) waarneembaar wordt omdat sommig gedrag enkel gebeurt als de waarneembare conjuncties van aspecten waargenomen worden. Als verschillende aspecten gecoördineerd kunnen veranderen, of als verschillende entiteiten met elkaar reageren ondanks het feit dat ze elkaar uitsluiten, dan zullen we ook moeten wachten tot de coördinatie en de reactie een evenwicht bereikt hebben voor we iets kunnen waarnemen dat het resultaat is van een spontaan proces. Grote aantallen leiden tot meer mogelijkheden van coördinatie. Hoe groot moet die schaal zijn? Een punt op een diepte in een tralie kan op minder onderscheidingen afgebeeld worden, dus minder relaties zijn nodig om zo’n punt voor te stellen en dus kunnen die aantallen geteld worden.
Als eenheid van T nemen we dan de processtap van proces A, het snelste proces, de eenheid van een onafhankelijk proces dat spontaan verloopt en dat we niet kunnen kiezen. In contrast hiermee geldt dat de t van het Bernouilli proces de intensiteit is van de eenheid “herhalen van het deelproces”, herhaling die wel kunnen kiezen. We konden t bepalen als een variabele tussen twee toestanden uit hetzelfde proces die we niet konden onderscheiden van elkaar. T wordt gegenereerd door een ander proces (typisch een trilling die sporen achterlaat die niet ingebouwd worden in de relevante tralie), de herkenning van een herhaaldelijk bereiken van eenzelfde soort toestand in een ander spontaan proces. Daar is er eveneens een toestand die niet van een andere toestand van dat proces kan onderscheiden worden, maar dat andere proces is een proces dat we niet kunnen beïnvloeden (zelfs als we dat zouden willen) en dus kunnen we dat nieuwe proces gebruiken als klok. Nu kunnen we met Siméon Poisson inzien dat dit betekent dat de t van het Bernouilli proces de T wordt van het nieuwe proces als we veronderstellen dat de t zeer groot en onwaarneembaar groter is want dan is er gewoon geen deelproces te onderscheiden. Dat betekent dus dat 1/t zeer klein en onwaarneembaar kleiner verondersteld wordt. Dit nieuw proces wordt daarom het Poisson proces genoemd. Dit laatste betekent dus dat er een 1/T verondersteld kan worden (zeer klein en onwaarneembaar kleiner) waarbij geen “ja” gezegd wordt en dat moet dus een “neen” zijn. Dat is dus de grens van de waarnemingsresolutie. Van “neen” zijn we dus zeker wanneer we de gepaste keuze kunnen maken van een klok. Dit is niet evident omdat veel processen willekeurig sporen achterlaten en we aan willekeurigheid nooit kunnen ontsnappen, ordening kan maar als we een “ultieme willekeurigheid” kunnen aanvaarden. De tijdspanne waarbij geen “ja” gezegd kan worden is dus evenzeer eigen aan het proces dat we aan het waarnemen zijn en dat we daarom als eenheid kunnen gebruiken. We kunnen dat op de gelijkaardige manier als voor het Bernouilli proces een “eigen tijd” van het Poisson proces noemen. De eigen tijd herkennen we als de T en dus de eenheid 1/T die de uitdrukking n/T en 0/T zinvol maakt en die de uitdrukking is van de ultieme beperking van gelijk welk ordeningsproces. Dat ultiem beperkte spontane ordeningsproces dat geen willekeurige sporen achterlaat noemen we een klok, zonder dat we daarbij iets “absoluuts” moeten aannemen: het is de grens van onze waarnemingsresolutie.
De totale waarschijnlijkheid van het vinden van k “ja” resultaten is volgens de binomiale verdeling (t!/(t-k)!k!)pk(1-p)t-k. We hebben begrepen dat k ook nul kan zijn als er geen “ja” herkend wordt. Dit kan dan alleen maar betekenen dat dit dan nul maal “de minimale eenheid van de eigen tijd” moet voorstellen, dus 0×(1/t). Dus in de formule wordt dit (t!/(t-0)!0!)p0(1-p)t-0 en dit is niet anders dan (1-p)t op voorwaarde dat 0!=1 met t een “aantal stappen tot evenwicht” en p een “constante eigenwaarde”. Deze voorwaarde is vervuld want we kunnen de voorwaarde 0!=1 als volgt begrijpen. We bekijken de verhouding n×(n-1)!. Dit is niet anders dan n! Als we nu voor n het getal 1 nemen dan zien we dat 1×(1-1)!=1!=1 en dit is geen contradictie ondanks het verschijnen van de 0 want hier staat 1×(0)!=0!=1.
De totale waarschijnlijkheid van het vinden van geen “ja” resultaat is dus (1-p)t waarbij t zeer groot en onwaarneembaar groter verondersteld wordt. Dat is dus niet anders dan de intensiteit van 1 bij negatieve feedback van een proces met eigenwaarde p en dus een bepaalde halveringstijd. Deze intensiteit wordt recursief berekend vanuit (x-x0)(t+Δt)=-p(x-x0)(t) met (x-x0)=1. Hierdoor worden de stappen dan de eigen tijd T van het (totaal)proces dat nooit spontaan eindigt. Het beëindigen van de eigen tijd T is een vrije beslissing en de eigenwaarde p is niet anders dan het aantal “ja” per eigen tijd. Die eigenwaarde bepaalt enkel hoe snel evenwicht bereikt wordt. We zullen dus altijd op zoek kunnen gaan naar een spontaan proces dat we als referentie kunnen gebruiken zodanig dat we andere processen kunnen ordenen maar dat zal altijd begrensd worden door onze eigen waarnemingsresolutie die invariantie genereert en dat geldt voor gelijk welke agens-in-context.
Het Poisson proces is, zoals ook het Bernouillie proces, een willekeurig proces, wat gebeurt beïnvloedt dat wat kan gebeuren niet. In een Poisson proces is er geen sturing omdat er geen deelproces is, het is dus niet zo dat een “ja” aanleiding kan geven tot het veranderen van input in het proces. Het ervaren wordt beschreven van tralie tot tralie en de vraag is hoeveel onderscheidingen we nodig hebben voor elk van die tralies. Dat hangt er enkel van af hoeveel relaties we moeten vinden die een entiteit kunnen genereren. We realiseren telkens maar één toestand. Dus we moeten zo diep gaan dat we één toestand modelleren die simultaan gegenereerd wordt en een disjunctie is van andere toestanden en dat is in een potentiële tralie met N onderscheidingen de “hoogst mogelijke” 1×2n.
In een Poisson proces wordt een klok gebruikt als een garantie om te kunnen uitgaan van elkaar uitsluitende gebeurtenissen: er zullen nooit simultaan meer gebeurtenissen toegevoegd worden dan de dichtheid p als we maar een tijdsinterval nemen dat kort genoeg is. Het aantal gebeurtenissen dat per definitie simultaan toegevoegd wordt, wordt dus gegeven door de dichtheid p (conventioneel gebruikt men hiervoor λ) die hier herkend wordt als de eigenwaarde van het proces, het aantal keren “ja” per eigen tijd.
Als we nu een grafiek maken van het Poisson proces voor verschillende k (met discrete waarden) dan vinden we dat dit zich niet onderscheidt van een Gauss verdeling (met continue waarden) met verwachtingswaarde pt (conventioneel: λT). Voor zeer kleine waarden van k en voor zeer grote waarden van k is de waarschijnlijkheid van waarnemen zeer klein.
De totale waarschijnlijkheid van het vinden van geen “ja” resultaten is dus (1-p)t. De relatie van (1-p)t met de exponentiële functie hebben we reeds verduidelijkt. De klassieke differentiatie immers beschrijft niet de verandering van intensiteit van een niet veranderende entiteit (x-x0), maar de verandering van de entiteit zelf ((x-x0)=1, met dus eenheid 1, eenheid die we gewoonlijk niet noteren). We hebben aangetoond dat de intensiteit van de veranderende eenheid (x±1) bij elke stap t in de tijd gegeven door het product van (x±1) met de veranderende intensiteit van de bij elke stap veranderende eenheid (x±1) en dat product is ±ep’t bij positieve feedback en ∓e-p’’t bij negatieve feedback. Uiteraard kennen we zo’n entiteit met eenheid 1: het relevante onderscheidingen universum. Het universum wordt discontinu aangepast en het toevoegen of weglaten van een onderscheiding heeft een exponentieel gevolg op het aantal punten of aspecten die mogelijk te ervaren zijn. Dit is onvermijdelijk een kwantum.
De Poisson verdeling is een limietgeval van de binomiale verdeling voor p=n/t, wat als volgt bewezen wordt.
(t!/(t-k)!k!)pk(1-p)t-k
(t!/(t-k)!k!)(nk/tk)(1-(n/t))t-k
We herschikken
(t!/(t-k)!tk)(nk/k!)(1-(n/t))t(1-(n/t))-k
Dit noemen we het product A×B×C×D van vier termen.
A=(t!/(t-k)!tk)=(t)(t-1)(t-2)...(t-(k-1))/tk=(1)(1-1/t)(1-2/t)...(1-(k-1)/t)
Voor zeer grote en onwaarneembaar grotere t kan A als niet verschillend van 1 waargenomen worden.
B=(nk/k!)
B is onafhankelijk van t
C=(1-(n/t))t
Voor zeer grote en onwaarneembaar grotere t kan C als niet verschillend van e-n waargenomen worden.
D=(1-(n/t))-k
Voor zeer grote en onwaarneembaar grotere t Kan D als niet verschillend van 1 waargenomen worden.
Dus het product A×B×C×D is niet anders dan (nk/k!)e-n, en dit is de Poisson verdeling met pt=n=λT. Hier zien we dat n een variabele is die de beide soort stappen met elkaar verbindt en dus de schaal geeft voor beide. Dus t/T=p/λ. Dit is dus de verhouding van twee verwachtingswaarden: p en λ, waarden die we ook als eigenwaarden van een proces kunnen interpreteren. Ook verhoudingen kunnen we als begrenzing modelleren.
Aangezien we nu inzichtelijk een spontaan proces (bijvoorbeeld door zelforganisatie) als een Poisson proces kunnen benaderen, maakt dit de parameter van de distributie ook gemakkelijk waarneembaar. Inderdaad: het gemiddelde is λT en spreiding (λT)1/2, dus als we veel waarnemingen uitvoeren wordt de verhouding van het gemiddelde (“signaal”) tot de spreiding (“ruis”), namelijk de verhouding (λT)(λT)-1/2 gelijk aan (λT)1/2. Met die signaal-ruis verhouding kan dan λ afgeleid worden uit de meting van T. In sommige kwantum toepassingen (elektronen of fotonen) wordt (λT)1/2 hagelruis (shot noice) genoemd. In dit voorbeeld kunnen we de onderliggende kwantum oorzaak leggen bij het discreet ontstaan van een nieuwe onderscheiding, dus het discreet ontstaan van simultaneïteit.
We hebben een veronderstelling blootgelegd voor een evenwicht: spreken over evenwicht is enkel zinvol als een (waarnemings)proces kan herhaald worden en we telkens hetzelfde waarnemen. Pas dan is het zinvol om te spreken van een verwachting en een waarschijnlijkheid. “Hetzelfde waarnemen” is uiteraard gebonden aan de waarnemingsresolutie die in die tralie aangeboden wordt (als een agens-in-context meer onderscheidingen kan maken, heeft het de mogelijkheid om meer voorbeelden van “hetzelfde” te kunnen vinden). Wat we dan waarnemen is een soort entiteit en dus een welgevormde haakuitdrukking op een bepaald niveau in de tralie met een laatst toegevoegde onderscheiding en dat niveau wordt gekenmerkt door de evenwaardigheid van verschillende aantallen, namelijk de verhouding “ja” tot “neen” (of, wat evenwaardig is, “ja” tot het totaal aantal maal dat het proces herhaald werd) voor een herhaalbaar proces.
Het centraal axioma van het haakformalisme is dat er ook altijd iets anders gebeurt dan datgene waarvoor een agens kiest (en dus kan kiezen). Dat betekent dus enerzijds dat een agens beperkt is, een agens kan niet gelijk wat kiezen. Dit gaf een eerste verdeling van de waarschijnlijkheid van waarneming van evenwichten in een beperkt universum.
Het centraal axioma betekent dus anderzijds dat wat gebeurt niet beperkt hoeft te zijn. We konden dus ook een tweede soort verdeling veronderstellen en dus modelleren die ons toelaat om uitspraken te doen over de waarschijnlijkheid van het waarnemen van gebeurtenissen met een beperkte waarnemingsresolutie (entiteiten) in een onbeperkt universum.
De beide processen die gebruikt worden om willekeurigheid te beschrijven maken duidelijk hoe exponentiële relaties ontstaan vanuit feedback processen die evenwicht mogelijk maken, de niet begrensde exponentiële verandering van de intensiteit van een niet veranderende eenheid, versus de begrensde exponentiële verandering van de verhouding van twee intensiteiten van dezelfde eenheid en dus de verandering van een schaal.
De waarschijnlijkheidsdichtheden van beide processen vertonen bij grote waarden van het aantal waarneembare gebeurtenissen de Gauss curve en dus kunnen we dit altijd begrijpen als een gevolg van schaal.
De Gauss curve geeft ook de verdeling van mogelijk te ervaren punten in een universum met veel onderscheidingen.
De Gauss curve geeft ook de verdeling van willekeurig gedrag dat waarneembaar is in het grootste universum, universum dat niet a priori moet vastliggen.
We kunnen nu ook andere verdelingen onderzoeken in een tralie en interpreteren als de verdeling van deeltjes in een universum wat zich dan in de praktijk uit als de mogelijke verdeling van de mogelijke energieniveaus in een begrensd materieel universum.