Met het begrip “energiedensiteit” beogen we een abstractie van het begrip “vermogen”. “Vermogen” wordt in de fysica meestal enkel gebruikt om de (verandering van) exergie (vrije energie) per tijdseenheid aan te duiden. Vermogen is de verandering van energie bij één stap in een proces en we zullen nu onderbouwen dat we als “stap” gelijk welke parameter kunnen kiezen, vandaar dus het gebruik van het begrip “densiteit”. Dit is dan een voorbeeld van het nog abstractere begrip “laatst toegevoegde onderscheiding” verwijzend naar de densiteit van energie gemeten als de energie per totaal aantal (dus onvermijdelijk potentiële) toestanden in een universum. Aangezien we dit laatste aantal kunnen kiezen als het aantal onderscheidingen waarmee we een universum kunnen ervaren (met een minimum van twee), is energiedensiteit een fundamenteler begrip dan energie.

Twee eenheden als abstracties

Het ervaren (“ja”) en laten gebeuren (“ja” voor iets anders) is dynamiek en wordt gemodelleerd door een verschil van toestanden. Een verschil van toestanden is een noodzakelijke voorwaarde voor elke toestand. Een van de twee toestanden kan dan als een referentie begrepen worden en het verschil is dan de eenheid die gemodelleerd wordt. Het “verschil van toestanden” noemen we een (proces)snelheid. Een processnelheid is een verhouding m/n van twee getallen: m en n. De intensiteit van de processnelheid geeft de grootte en zin van een proces dat in processtappen geordend wordt. Die intensiteit hebben we de eigenwaarde k genoemd. Een verschil van een verschil van toestanden is slechts mogelijk vanaf twee onderscheidingen omdat er pas dan meer dan twee toestanden mogelijk zijn. Pas dan vinden we een processnelheid die kan begrepen worden als de verandering van een processnelheid (en dus als “een procesversnelling”) die geldt voor die eenheid die gemodelleerd wordt (namelijk het verschil van twee toestanden). Het “verschil van het verschil van toestanden” noemen we een (proces)versnelling, maar dat is natuurlijk ook een processnelheid met een eigenwaarde. De verschillen kunnen we in hun algemeenheid bestuderen en de kwantificering van de verschillen hebben we gerelateerd met de grootte van het onderscheidingen universum langs de berekening van de “inwendige discriminatie”. Indien we willen kunnen we altijd een normalisering uitvoeren zodanig dat de maximale intensiteit van (ervaarbare) toestanden gelijk wordt aan 1. Dat betekent dat we dan de getallen zo kiezen dat een som van kwadraten gelijk is aan 1. Dat doen we bijvoorbeeld als we een rotatie willen modelleren. Daartoe zijn er minimaal 2² getallen nodig, maar dit maakt het ook zinvol om een som van kwadraten van 2ⁿ getallen te normaliseren.

We gebruiken dus de begrippen snelheid en versnelling als een conventie om gemakkelijk naar specifieke verschillen te verwijzen en simultaan dus ook naar één of twee onderscheidingen. Dit doen we langs processtappen, en als we dat zouden willen, dan kunnen we de bestaande intuïties over “tijd” hiervan afleiden (en dus niet omgekeerd). Het model start dus van toestanden en we vinden dat snelheid en versnelling (de 2 eenheden) fundamentele begrippen zijn die als twee onafhankelijke schaalfactoren (densiteiten) functioneren in eenzelfde universum. Beide zijn ze voorbeelden van dezelfde diepere abstractie (de processnelheid) en zijn ze zeer fundamenteel want andere begrippen worden van deze twee eenheden afgeleid. Dus de andere eenheden worden berekend vanuit de intensiteiten van de twee fundamentele eenheden: snelheid (of abstracter: eenheid₁) en versnelling (of abstracter: eenheid₂) met behulp van de intensiteiten ervan die meetbare sporen achterlaten tijdens de veranderingen. Zowel snelheid als versnelling zijn densiteiten (en dus verhoudingen).

Een verhouding is een densiteit

Dit is een moeilijke conceptuele stap die wringt met hoe de meesten van ons op school geleerd hebben om snelheid en versnelling in de werkelijkheid te bemeten met bijvoorbeeld de begrippen “afstand in de ruimte” en “afstand in de tijd” en, als die dezelfde zijn (wat de hypothese is van de speciale relativiteit voor straling), daar “één iets” mee te verbinden dat “die snelheid heeft”. Het wordt ons ook niet gemakkelijker gemaakt wanneer men “coördinaten” gebruikt alsof ze enkel geometrisch kunnen geïnterpreteerd worden. In het haakformalisme kunnen we op verschillende manieren geometrie afleiden van meer abstracte veronderstellingen, en geometrie kunnen we enkel construeren met punten die elkaar uitsluiten. Maar in het haakformalisme zijn er nog veel meer relaties te herkennen dan enkel maar de relatie van uitsluiting.

Toch hadden we die moeilijke conceptuele stap op school kunnen leren, want we beschikken sinds de ontdekking van de elektriciteit immers over begrippen die we als gelijkaardig kunnen beschouwen als snelheid (eenheid₁) en versnelling (eenheid₂) (namelijk elektrische stroom en elektrische spanning) waarvan het product evenredig is met het elektrisch vermogen en we hebben ook geleerd om rekening te houden met het vermogen van straling (die als massaloos gemeten wordt). Elektromagnetische straling heeft ons geleerd dat het begrip “impuls” fundamenteler is dan “massa” want we kunnen ook aan straling een impuls meten en die wordt afgeleid van de energie E die een abstractie is die geconstrueerd wordt uit het product van die twee eenheden: de impuls p van straling is dan de verhouding E/c met c een constante, namelijk “de lichtsnelheid”. De impuls van straling is dus “een densiteit van energie” en we zullen verder onderbouwen dat het nuttig is om ook andere soorten energiedensiteit te kwantificeren. En voor zowel deeltjes (met een intensiteit-verschillend-van-1 van de eenheid van massa en met de intensiteit-verschillend-van-1 van de eenheid van snelheid v en met dus een energie pv) en straling (“zonder massa”) blijkt de impuls dan de verhouding te zijn Ev/c², een verhouding die dus impliciet ook (de eenheid van) massa definieert. Inderdaad gebruikt men een energiedensiteit uitgedrukt in elektronvolt per c² ook als eenheid van massa voor subatomaire "deeltjes".

We hebben dan ook begrepen dat straling de grens is van ordening voor waarnemingen, een snelheid groter dan de lichtsnelheid kan niet waargenomen worden, het is die grens die het begrip “nul” zinvol maakt: zeer klein en onwaarneembaar kleiner wat operationeel betekent dat de ordening verdwijnt. Een eenheid kleiner dan 1/c (en a fortiori dus, een eenheid kleiner dan 1/c²) kan niet waargenomen worden. Het is die nul die in het haakformalisme overeenkomt met een don’t care in de binaire voorstelling van een haakelement (de relatie van relevantie) en die ontstaat bij een verschil van twee welgevormde haakuitdrukkingen, bijvoorbeeld twee potentiële toestanden.

Alle elementen tot dieper inzicht zijn dus al sinds meer dan 100 jaar beschikbaar, we moeten ze enkel maar met elkaar relateren en dat kunnen we doen door gebruik te maken van het zeer abstracte begrip “energie” E. Het nieuwe inzicht is dat we het begrip “energie” eigenlijk moeten afleiden van fundamentelere begrippen, namelijk “vermogen” V (het commutatief product van eenheid₁ en eenheid₂) en “processtap” T: de energiedensiteit (de energie per stap T) is het vermogen V, dus er geldt het commutatief product E=VT en het “vermogen per stap” (A=V/T) is dan weer een andere eenheid, namelijk de densiteit van vermogen (het vermogen per stap T). Het is nu essentieel dat we aanvaarden dat “de stap” niet alleen maar als “tijdstap” moet geïnterpreteerd worden, elke stap verwijst naar de overgang van een toestand naar een andere toestand (toestanden sluiten elkaar uit) en worden dus in een bepaald universum beschreven. Stappen verwijzen naar een strikte ordening zelfs in een universum waarin tijd niet geordend zou kunnen worden (een universum dat “onze eigen tijd” overstijgt) zoals het geval is bij straling.

Stap en cumulatie

De eenheid “stap” (dus T) die verdwijnt in de densiteit is dus de eenheid (seconde, kilogram, lengte, volume) waarmee we een mogelijke cumulatie (accumulatie, decumulatie of dissipatie) kunnen berekenen in een proces. Voorbeelden van de cumulatie van (eenheid₁) en (eenheid₂) zijn de translatie verplaatsing (elastisch) en de translatie impuls (kinetisch). Bij die cumulaties blijft de eenheid van belang: het “levert” de “kwaliteit” <<toestand van het gedrag>>, die gekwantificeerd is in de strikt monotone richting waarin de accumulatie of decumulatie (naar meer, naar minder) waargenomen wordt. Die richting is er niet meer in het product van energie E en densiteit van vermogen (het minimale verschil A) waar die eenheid “verdwenen is” (de verdwenen richting herkennen we in het kwadraat). Het verschil van kwadraten is een nieuwe richting waarmee we een nieuw evenwicht zouden kunnen modelleren. Codeer daarom (V₁²-V₂²) als V²₁₂ en (V₂²-V₁²) als V²₂₁ en construeer dan met twee andere een evenwicht (bijvoorbeeld met V²₀₁ en V²₂₀). Dit is niet anders dan wat we modelleren met het product van afstand en versnelling in het geval dat we als processnelheid de ruimteafstand tot de tijdafstand kiezen en zo de kinetische energie berekenen of de momentaan opgeslagen potentiële energie. We kunnen dus spreken van het vermogen V als de densiteit van energie E met de eenheid “stap”, maar als we spreken over de densiteit van de densiteit van vermogen (dus het minimale verschil A) dan spreken we van mogelijks twee verschillende eenheden, de “stap” van <<de densiteit van vermogen, symbool V>> en de “stap” van <<de densiteit van <<de densiteit van vermogen>>, symbool A>>. Als ze ten opzichte van elkaar “wegvallen” dan moeten ze dezelfde waarde hebben zelfs al zouden ze op een andere manier gemeten worden (en aanleiding geven tot een andere conversie constante).

Wanneer V₁=V₂ dan is de verhouding 2EA=(V₁²-V₂²) gelijk aan 0 en dat kan niet anders betekenen dan dat A=0 moet gelden. Immers: bij een constant vermogen V=V₁=V₂ is de energie E gelijk aan VT want de betrokken energie per stap (de “densiteit van energie”) is juist die constante verhouding. Dan is de grens van het model bereikt aangezien de algemene constructie van een eenheid dan niet gedefinieerd is (voor (V₁²-V₂²) in de noemer) of gelijk is aan nul (voor (V₁²-V₂²) in de teller). Dan zeggen we dat de exergie (of nuttige, nog transformeerbare energie) gelijk is aan nul. Toch is de verhouding V₁/V₂ voor V₁=V₂ wel gedefinieerd als 1 en dus is het onvermijdelijk dat de verandering (het vermogensverschil per stap, in dit geval een vertraging) gelijk moet zijn aan nul. Zoals steeds bedoelen we hier mee: zeer klein en onwaarneembaar kleiner. Met behulp van de Lorentz transformatie kunnen we aantonen dat dan een situatie van evenwicht gemodelleerd wordt, en inderdaad is de Lorentz transformatie enkel gebaseerd op verhoudingen (schaalfactoren) en we hebben niets moeten veronderstellen over de interpretatie ervan (als klassieke snelheid, versnelling enz...). Daar is niets mysterieus aan, A=0 drukt gewoon uit dat er geen verandering van vermogen waarneembaar is: de vermogen densiteit is nul en de energie densiteit (het vermogen) is verschillend van nul, dus de exergie is nul, evenwicht is bereikt. Een verandering van iets in een proces verandert niet en dat stellen we vast omdat er ook iets anders wel verandert. In dit geval verandert de densiteit van energie niet, de verhouding van E tot T verandert niet, het is nog steeds een goed gedefinieerde schaalfactor, een inherente beperking tussen iets dat te kiezen is (een willekeurig gekozen T) en iets dat enkel kan gebeuren (een E). Bijvoorbeeld: in een constructie in evenwicht zijn de spanningen niet waarneembaar. Enkel een verandering van E/T is waarneembaar, een volledig gelijkaardige situatie als bij een snelheid: enkel een exergie, dus enkel een energieverandering is waarneembaar. Dit is dan ook een klassiek axioma dat in het haakformalisme geen axioma is maar een gevolg (dit is namelijk de tweede wet van de thermodynamica die stelt dat bij elke spontane transformatie van energie in een gesloten systeem, dus zonder dat de laatst toegevoegde onderscheiding ingebouwd wordt, zonder dat het systeem verandert, de entropie enkel kan toenemen en de exergie enkel kan afnemen). Dus ook vermogen is een dimensieloze schaalfactor die twee ordeningen met elkaar relateert, ordeningen die rechtstreeks afleidbaar zijn van het enige axioma van het haakformalisme. Gemeenschappelijk aan al die schaalfactoren is dat we een van die ordeningen moeten kiezen als monotoon om toename of afname van de andere ordening te kunnen waarnemen.

We kunnen dit heel concreet maken met een nieuw sprekend voorbeeld.

Een nieuw voorbeeld van energiedensiteit (en dus vermogen)

Gelijk welke materiële constructie in een zwaartekracht veld staat onder spanning, op de eerste plaats door zijn eigen gewicht. Gelijk welke constructie moet op de eerste plaats zichzelf kunnen dragen, maar kan, daar bovenop, nog aan andere belastingen weerstaan.

Het vermogen V van de constructie in het zwaartekracht veld is de opgeslagen energie E per eenheid van gewicht, dus het vermogen is een energiedensiteit, E=VT waarbij T nu de betekenis van gewicht heeft. De stap is hier de toename (afname) van (een eenheid) gewicht. Neemt het gewicht of de belasting op de constructie toe, dan nemen de spanningen toe en dan wordt een punt bereikt waarbij evenwicht van de spanningen niet meer mogelijk is en de constructie stort in (de energie transformeert in een andere vorm). De energie die opgeslagen wordt in een materiële constructie is niet anders dan de mechanische spanning die verdeeld is over de elementen van de constructie en performante constructies slagen er in om die energie gelijkmatig te verspreiden zodanig dat alle elementen van de constructie een bijdrage leveren en niet enkel de constructie belasten. De (zo gelijkmatig mogelijke) verspreiding van spanning is afhankelijk van vorm en verbindingen, onafhankelijk van het materiaal dat gebruikt werd. Gewicht heeft alleen betekenis in een zwaartekracht veld (sinds halverwege de twintigste eeuw kunnen we met gewichtloosheid experimenteren in werkelijkheid). De belasting van de constructie zal dus anders zijn op bijvoorbeeld de maan. De belasting van de constructie zal dus ook anders zijn in een andere omgevende densiteit. De wet van Archimedes bepaalt immers welke kracht de constructie ondervindt, onder water bijvoorbeeld spelen er andere krachten en inderdaad kon men in de beginjaren van de ruimtevaart gewichtloosheid imiteren met experimenten onder water.

We kunnen de energie efficiëntie van constructies dus met elkaar vergelijken door hun vermogen te vergelijken om energie te accumuleren of te “decumuleren” (dus te dissiperen) over de elementen ervan.

Maar we kunnen hierin nog een stap verder gaan en de energie beschouwen die we nodig hebben om de constructies te realiseren. We hebben niet alleen energie nodig om vorm en verbinding te maken maar ook om het constructiemateriaal zelf te produceren. Materialen die de minste energie nodig hebben om geproduceerd te worden zijn het meest energie efficiënt om zelfdragende constructies te maken. Uit de onderstaande tabel blijkt dat dit hout is met een factor die honderd maal groter is dan de alternatieven en duizend maal groter dan de nieuwe artificieel geconstrueerde materialen. En dit is op zijn beurt een rechtstreeks gevolg van het feit dat hout ontstaat bij de zelforganisatie van vegetatie: zonlicht (straling), water en koolzuurgas worden daar spontaan omzet in materie zonder dat daar andere energiebronnen voor nodig zijn (energiebronnen die gebruikt worden om grondstoffen te transformeren naar artificieel gemaakte constructiematerialen en die verantwoordelijk zijn voor de soms zeer hoge waarden in de vijfde kolom van de tabel).

Het is merkwaardig dat de energiedensiteit, hier in de vorm van de specifieke elasticiteitsmodulus (energie per kilogram, dit is dus een vermogen), voor de meest gebruikte constructiematerialen dezelfde grootteorde heeft, wat kan verklaren dat we die allemaal al gebruikt hebben en dus blijvend kunnen gebruiken als constructiemateriaal. De wetenschap achter het maken van constructies is dus grotendeels onafhankelijk van het materiaal. Dus wat betreft dit vermogen zijn constructiematerialen allemaal evenwaardig, de selectie van materialen gebeurt voornamelijk op andere criteria dan energiedensiteit. Dit verklaart waarom de hier gekwantificeerde energie efficiëntie geen rol van betekenis speelt wanneer er voldoende energie beschikbaar is: enkel vanuit het standpunt van een mogelijke energieschaarste (en/of de noodzaak van het beperken van de klimaatopwarming door onze verslaafdheid aan thermische energie) is dit een confronterende tabel.

Uiteraard zijn de materiaalkarakteristieken niet het hele verhaal van de effectiviteit van constructies om weerstand te bieden aan optredende belastingen. De constructies moeten energie kunnen opnemen en weer afgeven, niet alleen dank zij de gebruikte materialen maar evenzeer dank zij de verbindingen ertussen die de spanningen moeten kunnen doorgeven. Die (mechanische) energie is het product van kracht (eenheid Newton) en verplaatsing (eenheid meter). De elasticiteitsmodulus (MN.m^-2) is niet anders dan een energiedensiteit (en dus een vermogen), namelijk de energie per volume (MN.m.m^-3), gemeten in een zeer beperkt lineair gebied. Maar de elasticiteitsmodulus beschrijft de relatieve toename (of afname) van de lengte van een proefstuk onder belasting. Typisch wordt de elasticiteitsmodulus voorgesteld met behulp van een grafiek met twee assen: een aangebrachte trekkracht ten opzichte van een dimensieloze as (die de relatieve toename “meter per eenheid van meter” weergeeft). De “verdwijnende eenheid” (meter in de teller en meter in de noemer) maakt het zinvol om materiaalspanning als een (invariante) karakteristiek van een materiaal te beschouwen, maar de meetmethode toont dat dit slechts geldt voor een bepaald gebied waarin we de eenheid als reversibel kunnen aannemen, voorbij dat gebied treden irreversibele effecten op in het materiaal. Deze krachtige conventie is niet anders dan het expliciteren dat er een verschil is tussen een eenheid en een intensiteit. Dat is niet anders dan wat we moeten veronderstellen met de introductie van een processnelheid: de eigenwaarde groter dan nul maar kleiner dan 1. Een eigenwaarde groter dan 1 veronderstellen zou bij de eerste processtap al een nieuwe eenheid genereren, en niet enkel de verandering van de intensiteit van een bestaande eenheid (zoals bij het verwarmen van een ijzeren staaf: dit verandert zijn lengte maar maakt geen nieuwe staaf en we zullen niet zoveel verwarmen dat er iets anders ontstaat dan een ijzeren staaf, zoals we de ijzeren staaf ook niet zullen belasten totdat de staaf irreversibel verandert in een andere configuratie).

De eenheid van de elasticiteitsmodulus is dus de relatieve verplaatsing. De optredende spanning kunnen we nu kwantificeren met een effectieve verplaatsing. In een grafiek met op de ene as de kracht per oppervlaktedoorsnede van een vezel (MN.m^-2), de materiaalspanning genoemd die gekwantificeerd wordt als elasticiteitsmodulus, en de andere as de verplaatsing (meter) onder de belasting van die kracht, wordt de opgenomen energie per oppervlaktedoorsnede van de vezel (MN.m.m^-2) voorgesteld door de oppervlakte onder de grafiek. Niet enkel de elasticiteitsmodulus is dus bepalend voor de opname van energie (het typisch steil elastisch begin van de curve die met de relatieve toename overeenkomt), maar ook de uitrekking die de vezel kan verdragen voor er breuk optreedt. Ingenieurs maken dan ook een onderscheid tussen “de elasticiteit” (het steile begin van de curve) en “de taaiheid” (energie-opname) van materialen. We illustreren dat met het iconisch geworden spinrag fenomeen. Een elasticiteitsmodulus gemeten in MN.m^-2 komt overeen met 10⁶N.m^-2 of 10⁶Pascal. Hout heeft dus een elasticiteitsmodulus van 14.10⁹Pascal en staal een elasticiteitsmodulus van 210.10⁹Pascal. Spinrag heeft een elasticiteitsmodulus van slechts 1,5.10⁹Pascal tot 12.10⁹Pascal. Het groot verschil van andere materialen ten opzichte van spinrag is dat spinrag (in een voldoende vochtige omgeving) veel meer kan opgerekt worden voor het breekt, dus veel meer energie kan opslaan door zijn interne structuur aan de belasting aan te passen. De energie wordt gebruikt om de configuratie zo te veranderen dat een veel grotere verplaatsing (toename of afname) mogelijk is voor het materiaal breekt. Een constructie die zijn configuratie zou veranderen tijdens een belastingpiek (een veerkrachtige constructie, zelfs een constructie opgebouwd met metalen veren) zou zich als een spinnenweb kunnen gedragen. Dit is in principe onafhankelijk van het materiaal waarin het zou gemaakt zijn. Inderdaad hebben ingenieurs al constructies gemaakt die overeind blijven bij aardbevingen, en dat in allerhande materialen. Ook taaiheid kunnen we dus als een vermogen modelleren, namelijk een energiedensiteit, namelijk de energie per volume (eenheid meter³) want een kracht ageert op een oppervlak (eenheid meter²) in een bepaalde richting (eenheid meter). Spinrag heeft dus een groter vermogen dan andere materialen, dit vermogen is dan een energie per volume-eenheid (en uiteraard niet een energie per tijdseenheid of een energie per gewichtseenheid). De densiteit die we vermelden in de tabel (een gewicht per volume) hebben we trouwens gebruikt om dat vermogen te berekenen. Vermogen is altijd gebonden aan een verhouding: het is een energie-per-x, het is een schaalfactor. Spinrag is een nieuwe soort materiaal en zal gemodelleerd moeten worden door een gesloten netwerk van processen die simultaan doorgaan (waarin de intensiteit van buffers, die noodzakelijke en voldoende voorwaarden zijn voor elkaar, simultaan verdubbelt of halveert na een aantal stappen van de specifieke praktische “klok” van het netwerk dat gevormd wordt door de molecules). Onderzoek wijst uit dat deze buffers enerzijds amorfe en anderzijds kristallijne gebieden zijn van lange eiwitketens die door waterstofbruggen met water en met elkaar verbonden zijn. Spinrag is een fysisch-chemisch complex waarin voornamelijk water in interactie staat met zijn omgeving. Zo’n processen transformeren energie (uit een bron, de noodzakelijke voorwaarde voor het blijvend bestaan van het netwerk) naar energie (in een put, de voldoende voorwaarde voor het nog steeds bestaan van het netwerk). Ondanks zijn beperkte elasticiteitsmodulus (de beperkte relatieve toename van lengte) kan spinrag meer energie opnemen uit een bron en dissiperen in een put dan een klassiek constructiemateriaal, vooraleer het onvermijdelijk ook zal breken. Spinrag heeft dus een groter vermogen tot verandering van iets dat invariant kan blijven, spinrag functioneert in een veel groter onderscheidingen universum dan de klassieke constructiematerialen omdat het een actieve interactie kan aangaan met de waterdamp in de omgeving.

De vrije keuze van de stap T

Vermogen is “de energie per stap”, de stap hebben we T genoemd en de stap is afhankelijk van het beschouwde proces, en kwantificeert de context en de schaal waarop verandering zich voordoet, verandering die we relevant vinden en meetbaar willen maken. Het vermogen is bijvoorbeeld de energie per seconde (Joule/seconde), de energie per gram (Joule/gram), de energie per volume (Joule/m³), de energie per vrijheidsgraad (Joule/n en we kennen dat ook als ½ k_BT°), de energie per dollar (Joule/$ en dan brengen we financiële inflatie en deflatie in het model binnen), de energie per trillingsperiode (Joule/T=Joule×F) enz… afhankelijk van de processen die we beschouwen (waarbij we dan uitdrukken dat we de noemers van de breuken een relevante eenheid vinden voor het universum dat we willen opspannen).

Vermogen en energie zijn dus, door de vrije keuze van T, relatieve begrippen. Dat is de essentie van het begrip “exergie”: het proces stopt bij evenwicht en dat is context afhankelijk. Als het proces stopt dan is er geen vermogen meer. Elke agens kan dat dan vaststellen (zolang het leeft) met een “eigen” klok die het de stappen bezorgt die wel nog doorgaan, en dit ondanks het feit dat het geen verschil meer vindt in de situatie van evenwicht. De eigen tijd is dan de enige overblijvende mogelijkheid tot ordenen. Het verschil van vermogen is dan nul en dat wordt dan bijvoorbeeld gemeten als de eenheid van energie tot de eenheid van eigen tijd, namelijk Joule per seconde. Is het vermogen dan nul? Gemeten ten opzichte van een andere vrije keuze van stap T is dat zeker niet zo, we zeggen: energie wordt getransformeerd naar een andere vorm, verdwijnt niet. Aan ons om de mogelijke vormen te ontdekken of te creëren en dan die processen te laten gebeuren.

Het vermogen als energiedensiteit is dus relatief en de relativiteit nemen we weg door de kwantiteit 2EA te gebruiken, een verschil van twee kwadraten, twee interne discriminaties, die een ervaren toestand (en dus een proces en een context) karakteriseren.

Dit heeft heel praktische gevolgen. Stel dat we de energiedensiteit meten als Joule per gram, als Joule per m³, als Joule per geldeenheid, dan zijn dit irrelevante onderscheidingen in processen waarbij respectievelijk gewicht, volume en geldelijke waarde geen betekenis hebben. Het zijn de processen die fundamenteel zijn en die processen kunnen we ontdekken of creëren en ze onderscheiden zich doordat andere toestanden ofwel elkaar uitsluiten ofwel simultaan ervaren kunnen worden (en dan geen toestanden meer zijn). Zonnestraling bijvoorbeeld wordt soms spontaan getransformeerd naar een elektrisch potentiaal onafhankelijk of we de densiteit van die energie meten per gram, m³ of Euro. Om dat te beschrijven hebben we enkel frequentie nodig, en resonantie.

Het abstracte van dit inzicht kunnen we ook als volgt illustreren door een densiteit te gebruiken die weinigen intuïtief begrijpen maar die wel nodig is om stralingsprocessen correct te kwantificeren.

De eenheid “stap” (dus T) die verdwijnt is bijvoorbeeld ook de eenheid Hertz (symbool ν of 1/seconde). Dit is de eenheid waarmee de energie van straling verbonden is met de constante van Planck (h ≈ 6,62606957.10^-34 J/Hz) die daardoor de dimensie Joule×seconde heeft. Dat is dus een constante densiteit zoals ook “de densiteit van de ruimteafstand” van licht (in de standaard taal wordt dat de lichtsnelheid genoemd). De “lichtsnelheid c” wordt gemodelleerd als een vaste verhouding die de maximale grootte geeft van het verschil tussen twee toestanden. Die toename in stappen 1/ν noemen we T en in dit geval is die verhouding dus 1. De constante van Planck h is het abstract begrip actie dat gelijk is aan het product van energie E (voor een deeltje in rust is dit Mc²) en een kleinste afstand a gedeeld door c, dus in onze veronderstelling met de maximale verhouding 1 geldt h=Ma. Voor licht als elektromagnetische straling (fotonen) is h dan gelijk aan de energie van fotonen gedeeld door de frequentie. De constante van Planck is dus het kleinste niveauverschil (dit is metrisch) als eenheid met de intensiteit M van het universum. Dit getal kunnen we meten (en dus kiezen om te meten). Een getal dat niet meer te kiezen is bekomen we als we dit delen door 2π, en dat is dan de gereduceerde constante van Planck, de constante van Dirac, die als ℏ genoteerd wordt. We kunnen trouwens langs het afleiden van het begrip “actie” begrijpen dat de frequentie ν niet anders is dan het aantal AND atomen van een tralie (of het aantal bits in het binair model). Het kwantificeert dus het mogelijk gedrag, en dit is te modelleren als rotatie (en meer bepaald kwantum spin met h als kleinste waarde) en “hoeksnelheid”. Mogelijk gedrag is “meetbaar” gedrag, niet “gemeten” gedrag.

Vrijheidsgraden en equipartitie

We hebben al aangegeven dat we de willekeurig gekozen T ook kunnen identificeren met “een vrijheidsgraad”. Een vrijheidsgraad is een begrip dat we gebruiken om aan te geven wat we veranderen, om aan te geven dat niet alles verandert. We illustreren dat met een voorbeeld: we spreken over een cirkel en dan is het aspect dat we kunnen veranderen de straal, wat niet verandert is het typisch verband van de getallen op de omtrek, de cirkel is beschreven als x²+y²-r²=0 en r is de enige vrijheidsgraad: voor een waarneembare cirkel moeten we een (vrije) keuze maken voor r. Dat telt evenzeer voor een bol x²+y²+z²-r²=0 . In het ervaren zelf is dat “de laatst toegevoegde onderscheiding” die enkel in het ervaren zelf dezelfde waarde heeft als de andere onderscheidingen.

Een vrijheidsgraad is een begrip dat ook gebruikt wordt in de thermodynamica (en meer specifiek in de kinetische gastheorie). Dit vergt een verduidelijking want we willen ook hier de relatie kunnen uitleggen van een vrijheidsgraad met “een laatst toegevoegde onderscheiding”.

In de negentiende eeuw ontstond het besef dat temperatuur te maken zou kunnen hebben met de bewegingsenergie van deeltjes (zich voorstellend dat bijvoorbeeld gasdeeltjes tegen elkaar en tegen de wanden van een vat botsen met een zekere snelheid en door de botsing een versnelling ondervinden). Hoe meer botsingen, hoe meer warmte en ook: hoe meer warmte, hoe meer botsingen. Ludwig Boltzmann veronderstelde dat die beweging (en dus de bewegingsenergie) gerelateerd zou kunnen zijn met de verschillende manieren waarop een molecule kan bewegen. Dit kunnen we als volgt begrijpen: stel dat een deeltje als ruimtelijk aspect een bolvorm zou hebben, dan kan die bol in de drie dimensies van de ruimte bewegen en dat op een symmetrische manier, de bol zou kunnen roteren maar elke rotatie-as zou even waarschijnlijk zijn. Stel nu dat een deeltje als twee met elkaar verbonden bollen zou moeten voorgesteld worden, dan zou niet alleen het massamiddelpunt in drie dimensies kunnen bewegen, maar er zouden ook bewegingen mogelijk zijn van rotaties van en rond de as die de twee bollen verbindt en dat zijn maar deels symmetrische bewegingen en ze hebben andere energievereisten zoals we in werkelijke experimenten kunnen vaststellen met grotere bollen. Ook zouden de twee bollen naar elkaar toe en van elkaar weg kunnen vibreren (dus in de richting van de as ten opzichte van elkaar). Al deze soorten bewegingen vereisen energie (en slaan zelfs energie op) en sommige soorten bewegingen vereisen een andere energie die afhankelijk zal zijn van temperatuur (bijvoorbeeld: deeltjes in vaste, vloeibare of gasfase kunnen op andere manieren bewegen en het kleinst aantal mogelijkheden vinden we bij vaste deeltjes). Die soorten bewegingen worden vrijheidsgraden genoemd. Dit idee kan verder uitgebreid worden want nog ingewikkelder moleculen kunnen ook nog op allerlei andere manieren trillen, waardoor het aantal vrijheidsgraden voor transformaties van energie nog groter kan zijn (als ze zouden vereisen dat ze autonoom moeten kunnen gemodelleerd worden). We kunnen bijvoorbeeld vaststellen dat lange macromolecules in een medium trillingen uitvoeren rond evenwichtstoestanden die anders zijn voor andere delen van de molecule en dus afhankelijk van het milieu waarin de verschillende delen zich bevinden. Dit maakt duidelijk dat het begrip “vrijheidsgraad” gerelateerd is met specifieke eigenschappen van specifieke entiteiten in hun context. Het heeft dus alles te maken met eigenschappen die asymmetrisch kunnen zijn in een bepaalde context. Wanneer we ons afvragen hoeveel vrijheidsgraden we “zouden moeten” onderscheiden, dan moeten we op een creatieve manier experimentele omgevingen bedenken waarin die vrijheidsgraden zouden kunnen waargenomen worden. Dan moeten we andere processen ontwerpen.

Bolzmann besefte dat alle bewegingen kunnen voorkomen wanneer de deeltjes botsen en hij nam aan dat geen enkele beweging meer of minder waarschijnlijk zou zijn (we noemen dat nu het equipartitie beginsel). Hij nam dan de hypothese aan dat het gemiddelde van alle bewegingen een spontane distributie zou aannemen die gerelateerd zou zijn aan temperatuur, hoe hoger de temperatuur hoe meer verschillende soorten beweging mogelijk zouden zijn en de gemiddelde beweging zou daardoor anders berekend moeten worden. In veel experimenten in de voorbije 100 jaar bleek inderdaad dat de gemiddelde hoeveelheid energie per vrijheidsgraad die een klein deeltje in een bepaald materiaal heeft, enkel afhankelijk is van de (absolute) temperatuur T° op een factor na, namelijk k_B die de Bolzmann constante genoemd wordt (dimensie: Joule per Kelvin en dus is dit een vermogen). In formule vorm met n het aantal vrijheidsgraden: E/n=½ k_BT°. De temperatuur blijkt dus een vermogen te zijn (een energiedensiteit, een energie per vrijheidsgraad) en de Bolzmann constante blijkt dus een constant vermogen te zijn voor alle materiële deeltjes (vermogen in een nieuwe eenheid gemeten, namelijk als een energie per vrijheidsgraad per Kelvin) in een omgeving van straling.

Dit idee bleek zeer succesvol te zijn, ook voor de soorten veranderingen die er optreden op nucleair of moleculair niveau die enkel kwantummechanisch kunnen verklaard worden. Immers: niet alleen het thermisch vermogen f_SjT°_j zien we gebonden aan vrijheidsgraden maar ook het chemisch vermogen f_njμ_j, zien we gebonden aan nucleaire of moleculaire energieniveaus. We slagen erin om die energieniveaus μ te kwantificeren in een omgeving van (warmte)straling en telkens weer speelt k_B een rol als een factor in de vergelijkingen. Zo blijkt de Fermi-Dirac dichtheid van “identieke deeltjes” over elkaar uitsluitende energetische toestanden in thermisch evenwicht gegeven te zijn door (e^(E-μ)/kBT°+1)^-1, waarin E de energie kwantificeert van de toestand. In contrast hiermee wordt de Bose-Einstein dichtheid van “identieke deeltjes” die zich in dezelfde energetische toestand bevinden in thermisch evenwicht gegeven door (e^(E-μ)/kBT°-1)^-1. Dit zijn fracties van de maximale bezetting (die per definitie gelijk is aan 1) en die maximale bezetting wordt dus bereikt door (e^(E-μ)/kBT°+1)^-1=1 dus e^(E-μ)/kBT°=0 in het ene geval en door (e^(E-μ)/kBT°-1)^-1=1 dus e^(E-μ)/kBT°=2 in het andere geval (merk op: 2ⁿ is altijd even). We hebben dat als begrensde intensiteit begrepen bij een bepaalde processtap n die meetbaar is met de parameters E, μ, k_B en T° (en een energetisch evenwicht afhankelijk van μ en T°). De constante van Bolzmann k_B is dus een schaalfactor die verschillende meetbare contexten met elkaar verbindt, zoals we dat ook herkennen met de lichtsnelheid. Een proces verloopt in stappen (en dus “quanta”) wat duidelijk wordt als een foton (dit is een boson) ontstaat wanneer een elektron (dit is een fermion) “na excitatie” (energieopname) zijn grondtoestand weer bereikt. De energie wordt dan niet ingebouwd in de tralie en het resultaat daarvan is een meetbaar spoor (in dit geval een foton). De niveaus zijn niet anders dan de parameter T van een energiedensiteit. De snelheidsverdelingswet van Bolzmann wordt afgeleid uit beide dichtheden voor hogere temperaturen (als de factor +1 of -1 geen rol meer speelt en dus (E-μ)/k_BT° zeer groot is).

In het haakformalisme stellen we de energieniveaus voor als de niveaus in een tralie: op een niveau zijn potentiële entiteiten geclassificeerd in een universum met daarboven een laatst toegevoegde onderscheiding. Elk punt van een niveau gedraagt zich als een disjunctie (conjunctie) van mogelijkheden (beperkingen) met dezelfde waarde in een universum met één toegevoegde onderscheiding. Het aantal niveaus is afhankelijk van het relevante onderscheidingen universum. Het is niet omdat we ons een continuüm kunnen voorstellen voor de temperatuur, dat temperatuur een relevant energieniveau zou zijn voor datgene dat we willen bereiken (we beschouwen met andere woorden temperatuur als exergie per vrijheidsgraad). Dit is als volgt in te zien: het equipartitiebeginsel is onlosmakelijk verbonden met een “gemiddelde” van bewegingen (zie het gemiddeld vermogen ½(V₁+V₂) dat nodig is in de berekening van energie) en we kunnen slechts van een “gemiddelde beweging” spreken als er een voldoende groot aantal bewegingen beschouwd worden waarvan de details (die de bewegingen een specificiteit kunnen geven) irrelevant zijn. Een gemiddelde heeft slechts zin in een groter universum waarbij we de specificiteit van het gedrag (dat enkel in dat universum te modelleren is) niet willen modelleren. We modelleren dat als een soort nul omdat we kunnen veronderstellen dat alle berekenbare verschillen met een attractor elkaar opheffen. Dus kunnen we slechts van een “gemiddelde beweging” spreken als een thermisch evenwicht bereikt werd dat de fysische realisatie is dat we “iets uitmiddelen”. Temperatuur is dus een relatief begrip. Als we ons een lange molecule voorstellen (een eiwit of een kunststof) dan zal de kop en de staart een andere beweging uitvoeren dan een stuk ergens in het midden en het is dat verschil dat essentieel is voor de bruikbare eigenschappen van de molecule. Niet altijd is een soort thermisch gemiddelde beweging relevant. De molecule zal bijvoorbeeld een kop hebben die water aantrekt en een staart die water afstoot en verschillende gelijkaardige molecules vormen dan bijvoorbeeld een membraan die water kan scheiden van vet en dit creëert een potentiaal en dit kan functioneren als een celwand. De kop van de molecule voert een andere beweging uit dan de staart van de molecule, met een ander gemiddelde en in overdrachtelijke zin heeft de kop dan een andere temperatuur dan de staart (temperatuur is niet anders dan een specifieke exergiedensiteit). We gebruiken het begrip “exergie” omdat het vermogen afhankelijk is van de context. Een warmtebad op een bepaalde temperatuur is slechts één van de mogelijke contexten. Een macromolecule die energie levert in een cel kan dat doen in een temperatuurinterval in de cel onafhankelijk of er nu thermisch evenwicht bereikt is of niet. Wanneer we dat willen onderzoeken of gebruiken dan moeten enkel met die context rekening houden. Dat is dan weer afhankelijk van onze verbeelding om andere processen te creëren.

We zullen nu veronderstellen dat de kwantificering van het concept “vrijheidsgraad” niet anders is dan 2ⁿ waarvan n de kwantificering is van het concept “onderscheiding” zoals we dat in het haakformalisme gebruiken. We gaan er dus van uit dat “de stap” niet anders is dan “een bijkomende onderscheiding”, en in een proces dus “de laatst toegevoegde onderscheiding” omdat dit duidelijk verwijst naar de ordening die gekozen is om het gedrag een referentie te geven. We moeten de stap effectief uitvoeren om iets te laten gebeuren. Daar is niets absoluut aan en als we toch zouden willen om iets absoluut te creëren dan moet het onze eigen tijd overstijgen als een verbeelde, niet ervaren, potentiële werkelijkheid zowel in het verleden als de toekomst: het relevante en potentiële onderscheidingen universum voor onze ervaren werkelijkheid. Dat universum heeft minimaal 4 bits en dus 4 energiedensiteiten die onafhankelijk zijn van elkaar (elke bit is een soort), zolang als de toestanden die daarmee overeenkomen elkaar maar uitsluiten.

Energie blijkt dus een zeer fundamenteel begrip te zijn omdat we nu kunnen spreken van een vermogen als een intensiteit van energie per bit, gebruik makend van het binair model van een potentiële werkelijkheid met 2ⁿ toestanden (bits) voor n onderscheidingen.