Processen kunnen we volgen door parameters te volgen in de loop van de stappen van het proces. Zo zijn er veel parameters te definiëren op basis van metingen (getallen) die mogelijks van toestand tot toestand veranderen. De stappen zijn empirisch goed gedefinieerd omdat ze de uitdrukking zijn van operationele causaliteit: vorige stappen zijn noodzakelijk voor de stappen die kunnen volgen en elke stap is voldoende om vorige stappen te veronderstellen.

We kiezen nu voor de parameter veranderingsenergie als het getal f(t) dat we gaan volgen in een proces. In het algemeen geval waarin m een willekeurig getal is, wordt de veranderingsenergie gegeven door de verhouding: 2(n₀-n₂)(m+n₁)(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². Dit is een veranderingsenergie voor iets met een intensiteit 1, bijvoorbeeld voor een eenheidsmassa, dus M=1, of eenheidslading Q=1 of eventueel een lineaire combinatie van beide als we ervan uitgaan dat massa en lading onafhankelijk zijn van elkaar. In de afleiding hiervan zijn we van de veronderstelling uitgegaan dat m invariant is en gemeenschappelijk is aan de intensiteiten (m+n₀, m+n₁, m+n₂) van de drie opeenvolgende toestanden T₀, T₁ en T₂. Het getal f(t) is een verhouding en wordt dus opgebouwd op basis van vier getallen. Verder is er niets over m verondersteld, m kan een getal zijn maar ook een structuur (wat in het wiskundig jargon een matrix genoemd wordt of een tensor).

Voor een verhouding (van een verschil van getallen tot een som van diezelfde getallen die toestanden uniek coderen) ontdekten we de basisrelaties door m=0 te stellen en we moeten dan besluiten dat deze m=0 zeker niet de eenheid e is van de schaalfactor (n_i-n_i+1)/(n_i+n_i+1), die eenheid e moet immers voldoen aan e²=1 om ervoor te zorgen dat (1+e²v_01+mv_12+m)=(1+v_01+mv_12+m), een factor uit een “Lorentz boost” waarmee een som van verhoudingen moet berekend worden). We hebben dat gemodelleerd door de verhouding 1/γ_12+mγ_21+m=4(m+n₁)(m+n₂)/(2m+n₁+n₂)²=1-v²_12+m te onderzoeken met m=±1. Zo zijn er drie tijdrek verhoudingen 1/γ_ij+mγ_ji+m betrokken. Uit dat onderzoek volgt dat <<de eenheid e (of resolutie 1/m) effectief betrekken in de intensiteiten>> betekent dat we voor een willekeurige m, echter verschillend van nul, de intensiteiten (1+n₀/m, 1+n₁/m, 1+n₂/m) als metingen gebruiken van de drie toestanden T₀, T₁ en T₂, en niet (m+n₀, m+n₁, m+n₂). De veranderingsenergie die uit deze drie metingen kan berekend worden is dus 2(n₀/m-n₂/m)(1+n₁/m)(n₀/m-2n₁/m+n₂/m+(n₀/m)(n₂/m)-(n₁/m)²)/(2+n₀/m+n₁/m)²(2+n₁/m+n₂/m)². Dit getal is een verhouding, een schaalfactor, en wordt dus berekend vanuit vier getallen, en zo kunnen we dat doen voor alle opeenvolgende toestanden T_i (het pad beschreven door de getallen N₀, N₁, N₂,... N_i,..). De helft van deze verhouding is (n₀/m-n₂/m)(1+n₁/m)(n₀/m-2n₁/m+n₂/m+(n₀/m)(n₂/m)-(n₁/m)²)/(2+n₀/m+n₁/m)²(2+n₁/m+n₂/m)² en noemen we nu μ/ν en we construeren hiermee twee nieuwe reeksen op basis van dezelfde metingen: de getallen (1-μ_i/ν_i) en (1+μ_i/ν_i). Om deze nieuwe constructie goed te begrijpen maken we dit concreter met een paar voorbeelden van opeenvolgende toestanden.

Deze constructie kennen we omdat we hieruit de hypothese van het behoud van energie kunnen modelleren als de veronderstelling dat er een scalaire grootheid is die we energie noemen en die niet kan toenemen noch afnemen en enkel van soort kan veranderen. Daarenboven kunnen we ook veronderstellen dat de grootte van het onderscheidingen universum niet verandert (waarmee we thermische dissipatie zoals wrijving en chemische veranderingen uitsluiten die het potentieel universum wijzigen). Deze veronderstellingen maken het mogelijk om te spreken van kinetische energie en potentiële energie.

De reeks ((1-μ₀/ν₀), (1-μ₁/ν₁), (1-μ₂/ν₂), …) noemen we evolutie van de kinetische energie.

De reeks ((1+μ₀/ν₀), (1+μ₁/ν₁), (1+μ₂/ν₂), …) noemen we evolutie van de potentiële energie.

Dus de verhouding ±2μ₀/ν₀=±2(n₀/m-n₂/m)(1+n₁/m)(n₀/m-2n₁/m+n₂/m+(n₀/m)(n₂/m)-(n₁/m)²)/(2+n₀/m+n₁/m)²(2+n₁/m+n₂/m)² is niet anders dan het verschil tussen de kinetische energie en de potentiële energie op een bepaalde stap in het proces. In de klassieke mechanica wordt dit de Lagrangiaan genoemd. De integraal van de Lagrangiaan over de tijd wordt dan “de actie” genoemd (in Nederlandstalige teksten wordt dit soms ook “de werking” genoemd). Er blijkt dat het verschil van de gemiddelde kinetische energie en de gemiddelde potentiële energie tussen de twee punten voor één stap in de tijd altijd extremaal is (minimaal, maximaal, in het meest abstracte geval stationair). Een gemiddelde nemen is niet anders dan een procedure om een eenheid te construeren. Hiermee wordt eigenlijk bedoeld dat een in werkelijkheid niet gevolgd pad in de tijd altijd een grotere (of kleinere) “actie” zal hebben dan het gevolgde pad. Een extreme waarde bepalen van “actie” is een relatief begrip, het pad is een hypothese en context afhankelijk en als we verhoudingen veronderstellen zal de reciproque van <<de verhouding>> groter worden als <<de verhouding>> kleiner wordt en omgekeerd. Dit inzicht geldt zowel in het klassieke als kwantum geval. De Lagrangiaan en de Actie is een scalaire grootheid en dus volledig compatibel met de afleiding ervan in het haakformalisme, we hebben dus geen coördinaten (gebonden aan vectoren) nodig. We zullen nu bewijzen dat een stationair principe abstracter en preciezer is dan een extremaal principe.

De som van de kinetische energie en de potentiële energie op een bepaalde stap is een constante: het getal 2 als we de metingen gebruiken in hun formaat ((1±μ₀/ν₀), (1±μ₁/ν₁), (1±μ₂/ν₂), …). Het getal 2 kunnen we door een ander geheel getal vervangen als we m niet als priemgetal beschouwen en we dus een deler van m gebruiken als “normalisering”. Dit maakt duidelijk hoe deze berekeningen afhankelijk zijn van de opgespannen tralie. We hebben ook al aangetoond dat we met kwadratische reeksen ((1±μ₀/ν₀)², (1±μ₁/ν₁)², (1±μ₂/ν₂)², …) in staat zijn het getal 2 te vervangen door gelijk welk getal g door een Pythagorees drietal te veronderstellen. We hebben immers uit de kwadratische veronderstelling (1-μ_i/ν_i)²+(1+μ_i/ν_i)²=g² afgeleid dat (μ_i/ν_i)²=(g²-2)/2 en dus dat er moet gelden dat (1-μ_i/ν_i)²-(1+μ_i/ν_i)²=√8(g²-2). Dus wanneer we ervoor kiezen dat energie niet kan toenemen of afnemen, enkel kan getransformeerd worden, dan is het onvermijdelijk dat ook actie stationair is: een ander hypothetisch pad in de transformatie, namelijk een pad dat anders is dan wat op basis van werkelijke metingen kan verondersteld worden, wordt niet gevolgd. We hebben hiermee een bewijs geleverd zonder coördinaten te gebruiken. De klassieke Lagrangiaan (in een ruimte van gegeneraliseerde coördinaten met positie en snelheid) is een invulling van dit meer abstracte patroon van de evolutie van een scalaire eenheid: energie. De Actie is dan de som van alle individuele termen vermenigvuldigd met hun individuele tijd en dus de som over i van individuele verhoudingen (±μ_i/ν_i)(2m+n_i+n_i+1). De Actie is daardoor een oppervlakte in een wereldlijn diagram. De Actie is dan ook een soort cumulatie zoals we dat in het haakformalisme introduceerden (gelijkaardig aan een cumulatie van toestanden en dus onderscheidingen universa).

Kinetische energie en de potentiële energie veroorzaken simultaan een spontaan proces. Dit betekent operationeel dat het blijkt dat ze beide noodzakelijk zijn om het proces van toestand naar toestand te drijven. Daarenboven blijken ze beide voor dezelfde verandering met elkaar gerelateerd te zijn doordat hun som een constante is van de verandering en de ene vorm van energie in de andere vorm om te zetten is. Maar niet alle processen kennen zowel een kinetische als een potentiële evolutie en dat zijn dus de processen waarbij nieuwe onderscheidingen gecreëerd worden en dus de grootte van het onderscheidingen universum verandert. We hebben daar twee voorbeelden van gegeven: een (invariante) temperatuur als potentiaal en een (invariant) chemisch potentiaal. Dit zijn domeinen die enkel fundamenteel beschreven kunnen worden sinds de kwantummechanica.

Het wereldlijn diagram van actie

De tijd (de parameter die monotoon ofwel toeneemt ofwel afneemt) is te kwantificeren door het aantal onderscheidbare toestanden t die in het proces doorlopen worden. De parameter t is een som en cumuleert de intensiteit van de laatste onderscheiding die niet ingebouwd wordt tijdens het proces en dus enkel relevant is voor het gedrag, en t neemt enkel toe. Deze som is een getal dat uniek is voor een, en slechts één overgang van toestanden, dat is zo omdat de toestanden elkaar per definitie uitsluiten. De Actie voor het totale pad kunnen we dan kwantificeren als de som over t van individuele termen (±μ_i/ν_i)(2m+n_i+n_i+1) die dan van toestand tot toestand variëren.

De Actie kan dus voorgesteld worden in een wereldlijn diagram. De som is verantwoord omdat de toestanden en de stappen elkaar uitsluiten. Die som is een som van termen in een cumulatie zoals we dat in het haakformalisme introduceerden en modelleert dan niet alleen de overgang van begintoestand naar eindtoestand, maar ook de individuele overgangen tussen twee toestanden, wat we een processnelheid genoemd hebben en deze som blijkt een “extremum” te zijn. Indien dit niet het geval zou zijn dan zou er een pad bestaan dat nog korter of langer zou zijn, dus “spontaner” en het is juist in de spontane verandering dat we geïnteresseerd zijn. De algemene observatie dat bij een spontaan proces een pad doorlopen wordt dat de actie een extreme waarde geeft is dus equivalent met de observatie dat enerzijds de eigenwaarde κ van het proces spontaan zo klein mogelijk is bij één bepaalde t (en dus in de tralie de elkaar uitsluitende toestanden maar één niveau verwijderd zijn van elkaar, een niveauverschil is immers een metrische grootheid), of anderzijds dat bij een vaste eigenwaarde κ, de tijd (het aantal stappen, het onderscheidingen universum) van overgang tussen twee elkaar uitsluitende toestanden geminimaliseerd wordt. Dit is hoe de tweedimensionale metriek in een tralie zich ook manifesteert in tralies die kunnen gesommeerd worden. Een extreme waarde geven aan de actie (gegeven de veronderstelling dat het altijd in het grootste onderscheidingen universum doorgaat) betekent dus het klein houden van t (per definitie een positief geheel getal) en het klein houden van κ in absolute waarde (er geldt dat -1<κ<+1). Impliciet betekent dit dat de kleinste tralie die invariant kan blijven door de evolutie “gevolgd” wordt (in het binair model hebben de toestanden dan een kleinste aantal gemeenschappelijke bits en daarenboven een kleinste aantal verschillende bits). De dualiteit zien we hier in de volledig gelijkaardige uitspraken die gedaan kunnen worden over de reciproque van de getallen (groter, grootste enz…).

Het pad is dan een pad in een wereldlijn diagram. Het is gebaseerd op de ordening (als opeenvolging) van toestanden die de start uitsluiten, waarbij elke start mogelijk is en dus kan gekozen worden. Het pad is een constructie zowel van de noodzakelijke voorwaarden die de start kunnen verklaren (“het verleden”), als van de voldoende voorwaarden die door de start verklaard kunnen worden (“de toekomst”). We kunnen dus de wereldlijn van Actie opnemen in de wereldlijnen bij de processen.

Voorbeelden van wereldlijnen van veranderingsenergie en de resulterende Actie zijn beschikbaar voor een aantal processen.

Actie is een verenigend concept in de mechanica

Uit het principe van minimale actie werd door Edwin Taylor (voormalig fysica professor aan het Massachusetts Institute of Technology (MIT)) de klassieke mechanica en quantum mechanica afgeleid op een geometrische manier, zie http://www.eftaylor.com/leastaction.html en http://www.eftaylor.com/pub/lagrange.html. De centrale rol hierbij wordt gespeeld de constante van Planck (die een Actie is, dimensie Joule.seconde, niet anders dan Joule/Hertz en in de interpretatie van het haakformalisme Joule/bit). Dit is dus perfect compatibel met het haakformalisme: de constante van Planck is dan de minimale densiteit van energie, de resolutiegrens van energie, de resolutiegrens van een onderscheidingen universum, het minimale gedrag (laatst toegevoegde onderscheiding) van gelijk welke entiteit.