De meest eenvoudige meting van iets dat een zekere invariantie heeft geeft aanleiding tot een verdeling van getelde aantallen, sporen van een interactie van wat invariant is in zijn context, in twee elkaar uitsluitende categorieën M (“iets”) en M<> (“iets anders”) waarbij iets gemeenschappelijk, de waarnemingscontext MM<>, onvermijdelijk simultaan ervaren wordt. We onderzoeken nu de situatie waarbij die verdeling in de tijd verandert. Dus het aantal waarnemingen van MM<> verandert niet, enkel de verdeling over M en M<>.
Wanneer we n als het totaal aantal bits veronderstellen waarmee de werkelijkheid momenteel opgespannen moet worden en m het gemeenschappelijk aantal bits voor twee elkaar uitsluitende toestanden van het universum die op p posities verschillen, dan kunnen we een hoek θ definiëren met cosθ =±(n-m-p)1/2(n-m)-1/2 en sinθ =±p1/2(n-m)-1/2 en dus tanθ =±p1/2(n-m-p)-1/2. De tangens van de hoek θ geeft de verhouding van het aantal toestanden waarin de welgevormde haakuitdrukking (meting-in-context) zich kan bevinden in de ervaren situatie in twee soorten die ten opzichte van elkaar geïnterpreteerd moeten worden: “ja” ten opzichte van “neen” in een meetcontext waarin alleen van “ja” sprake is omdat die twee soorten van de meetcontext de meting-in-context MM<> zelf (als “ja”) realiseren. Het is herhaaldelijk die MM<> en geen andere. Dus p geeft de intensiteit van waarneming in één categorie die een andere uitsluit. De bits die verschillen zijn immers in twee categorieën onder te brengen, en elke categorie kan een andere intensiteit hebben terwijl de som van intensiteiten (“in de loop van de tijd”) stabiel blijft: het zijn de mogelijke toestanden van MM<> in een universum waarvan het aantal onderscheidingen niet verandert. Neemt cosθ toe, dan neemt sinθ af en omgekeerd. Het aantal toestanden in die categorieën is niet te kiezen, moet blijken, moet gebeuren. Aan elke waarneming, of die nu met de klassieke hypothese of de kwantum hypothese uitgedrukt wordt, kan dan een hoek verbonden worden die een afbeelding is van de verhouding p/(n-m-p), een verhouding die zowel p (dat een aantal elkaar uitsluitende toestanden kwantificeert) gebruikt als een inherent grens die overeenkomt met n-m (die invariantie kwantificeert).
We kunnen nu met die twee sporen van waarnemingen een complex getal (n-m)1/2eiθ construeren dat opgebouwd is uit een hoek θ (ook fase genoemd) die afgeleid is van de gemeten aantallen p (aantallen die enkel kunnen blijken) en vrij gekozen aantallen m en n die, eens gekozen, niet meer veranderen. Dit complex getal is terug een verhouding. Voor dit complex getal is er dan terug een dubbele interpretatie mogelijk die een onderscheid maakt tussen eenheid en intensiteit (van die eenheid): (n-m)1/2eiθ is te interpreteren als de eenheid (n-m)1/2 met intensiteit eiθ of als de eenheid eiθ met intensiteit (n-m)1/2. In het eerste geval is de variabele p, in het tweede geval is de variabele (n-m). De relaties tussen θ en η kunnen we dan ook verder onderzoeken. Enkel om de fase θ de berekenen hebben we het aantal p nodig, een aantal dat we niet kunnen kiezen, een aantal dat blijkt te gebeuren. Voor het berekenen van (n-m)1/2 is p niet nodig. Dus de beide elementen van de verhouding (n-m)1/2eiθ kunnen goed uit elkaar gehouden worden. Aangezien de exponentiële functie een isomorfisme mogelijk maakt kunnen we de eerste term van (n-m)1/2eiθ ook als een exponent van e weergeven. De exponent noemen we η, dus eη=(n-m)1/2 en dus η=ln(n-m)1/2. Dus de verhouding (n-m)1/2eiθ kunnen we schrijven als eηeiθ of dus eη+iθ. Dit is het exponentieel getal tot een complexe exponent. Exponenten geven de mogelijkheid om een product (verhouding) als een som (verschil) uit te drukken. Dit herkennen we ook in de goniometrische gelijkheden:
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
waaruit volgt dat een som (verschil) gelijk is aan een product:
cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
cos(a+b)-cos(a-b)=-2sinasinb
Hierbij kunnen we de producten cosacosb en sinasinb eveneens interpreteren als een eenheid (bijvoorbeeld cosb) met een intensiteit (bijvoorbeeld cosa). De amplitude van de trilling volgt hierdoor het patroon van een cosinus.
De opbouw van een tralie kan gebeuren door op te merken dat door de relatie eiθ=cosθ + isinθ een vectorruimte opgespannen wordt. Een willekeurige trilling kan dan als een superpositie van opbouwende trillingen met verschillende frequenties gemodelleerd worden. De laatst toegevoegde onderscheiding heeft dan de kleinste frequentie.
Het eerste getal is een hoek en dus een fractie van het reëel getal 2π, en maakt het mogelijk om equivalentie, modulo, restklasse enz… te modelleren. Met dit getal kunnen we de oscillatie die gegeneerd wordt door een herhaaldelijk toepassen van de logische operatie conjunctie of disjunctie op een (gewogen) projector verder kwantificeren. “Oscillatie”, “trilling” of “periodiciteit” is niet meer en niet minder dan de uitdrukking van een tautologie: iets (MM<>) kunnen we herhaaldelijk waarnemen en dat iets is dus invariant. Voor de operatie conjunctie vinden we de invariant als de disjunctie van de trilling, voor de operatie disjunctie vinden we de invariant als de conjunctie van de trilling. Een trilling, misschien een interferentie van trillingen, modelleert het gedrag van MM<>, de evolutie van MM<> als de waarneming van M of M<>. Een trilling, periodiciteit is een patroon van gedrag van iets dat herhaaldelijk waargenomen is. Het is “ja” (voor een bepaald aspect a) en bovenop “ja” is het “ja of neen” (voor een ander aspect a’). Deze “ja of neen” is een disjunctie, en slechts in het ervaren zelf (waarbij de relevantie van het aspect a’ bovenop het aspect a een rol speelt) is het een exclusieve disjunctie, er wordt ofwel “ja” ofwel “iets anders dan ja” waargenomen. Dit heeft uiteraard zijn duaal in het gebeuren.
We kunnen altijd een aantal basistrillingen nemen en hierin herkennen we hoe we de basisonderscheidingen van het haakformalisme ook als binair model voorgesteld hebben. Zo kan elke trilling gebruikt worden om de potentiële werkelijkheid met behulp van materiële sporen te simuleren. Indien een agens-in-context de werkelijkheid meer getrouw willen beschrijven met periodieke fenomenen dan kan het niet anders dan “lang genoeg” wachten tot alle processen waarneembaar zijn, zelfs de processen met een zeer kleine verdubbelingstijd of halveringstijd van de toestanden die het agens waarneemt. Sommige processen laten slechts sporen na op een voldoende grote schaal en dit leidt tot waarneembare schaaleffecten: een gekozen schaal zal verbanden tussen waarnemingen kunnen beschrijven. Dit betekent dat het agens een groter “tijdsvenster” of “ruimtevenster” moet kiezen en dit betekent niet anders dan dat zijn geduld (of volume) bepaalt welke laatst toegevoegde onderscheiding waarneembaar wordt. Hierin herkennen we enerzijds dat we het onderscheidingen universum zo moeten kiezen dat ze met een beperkt aantal onderscheidingen te beschrijven is (anders zouden we er nooit in slagen om iets te anticiperen) maar anderzijds ook dat we ooit eens moeten ophouden om sporen te verzamelen. We zeggen dan dat we geen relevante verandering meer waarnemen. Dat betekent dus operationeel dat we rekening houden met de mogelijkheid dat van meet af aan meerdere onderscheidingen relevant zouden zijn, maar willen we daarover zekerheid hebben, dan moeten we lang genoeg wachten tot het ervaren van iets anders (voor een potentieel aspect) de onderscheiding (en dus het aspect) waarneembaar maakt.
Naast het getal “hoek” hebben we ook een tweede getal nodig. Dit is ook een reëel getal, enkel in zijn kleinste waarde door 0 begrensd, en het getal kan zo gekozen worden dat de amplitudes van de gekozen trillingen een bepaald gedrag beschrijven met de gewenste precisie, en dat reeds vanaf de eerste waarneming. Een amplitude is het gevolg van het sommeren van trillingen. Gedrag kunnen we modelleren als een gewogen som van trillingen.
In het algemeen geval kunnen we eη+iθ niet kiezen, het getal moet blijken te gebeuren. De fase (een fractie van 2π) kunnen we niet kiezen (π is een reëel getal met een onbegrensd aantal decimalen, is niet commensurabel met een keuze voor een getal, we meten dat als p), het kwadraat van de amplitude, namelijk (n-m) kunnen we kiezen, de amplitude (de vierkantswortel van wat we kunnen kiezen) is eveneens niet commensurabel met een keuze.
Meer dan die twee soorten getallen hebben we niet nodig om de potentiële werkelijkheid dank zij materiële (al dan niet blijvende) sporen op te spannen
een getal θ dat iets kan modelleren dat altijd groter (kleiner) kan worden en dus onvermijdelijk altijd verandert, iets dat niet door een beperkt aantal onderscheidingen beschreven moet worden en in gelijk welk universum functioneert (tanθ is een verhouding en teller en noemer kunnen met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden of gedeeld worden zonder dat de hoek verandert).
een getal η dat een geheel kan modelleren, dus iets dat niet verandert, dus iets dat door een beperkt aantal onderscheidingen moet beschreven worden. Die beperking is ofwel onvermijdelijk ofwel het gevolg van onze keuze om de werkelijkheid met een beperkt aantal onderscheidingen te beschrijven.
Als we meerdere categorieën zouden onderscheiden dan kunnen we een verdeling in meerdere categorieën vinden en door de relatie met een hoek of fase (die onvermijdelijk een modulaire structuur binnenbrengt) kunnen we de verdeling beschrijven door het begrip “resonantie” en “interferentie” enz… te gebruiken van trillingen. Zo kunnen we dan verklaren dat er een opeenhoping van waarden in sommige categorieën te vinden is en dat sommige veronderstelde categorieën niet waargenomen worden. Hiermee kunnen we dan beschrijven dat sommige fenomenen enkel in een beperkt aantal toestanden kunnen waargenomen worden (bijvoorbeeld enkel op bepaalde plaatsen of bepaalde tijdstippen).
Twee punten uit hetzelfde universum hebben hetzelfde aantal bits, neem n bits. Het aantal gemeenschappelijke bits m is gelijk aan n-1 tussen twee simultane buren, gelijk aan n-2 tussen twee atomen en nul tussen punten die elkaars inbedding zijn. We kunnen een hoek dus interpreteren in de klassieke hypothese, die twee atomen veronderstelt, en dus in het 1-splitsing universum. Het aantal gemeenschappelijke bits is dan n-2 met een minimum van n-m=2, dus n-m-p kunnen we minimaal voorstellen als (1-k) en p minimaal als (1+k), want dan is 2-p=1-k en dus p=1+k. Dat betekent dus dat we in een twee onderscheidingen universum (4 bits als deel van een ongekend aantal bits), een onderliggend één onderscheiding universum veronderstellen (2 bits zijn gemeenschappelijk voor de vier punten van dat één onderscheiding universum). Dus vanaf twee onderscheidingen is een hoek ook als de eigenwaarde van een processnelheid uit te drukken en het twee onderscheidingen universum is ook het minimum om de fysische drie dimensionele ruimte te kunnen reconstrueren en de hoek ook een ruimtelijke interpretatie te geven. Dus in de klassieke hypothese is cos2θ=2-1(1-k) en sin2θ=2-1(1+k) en dus is de som van beide niet verschillend van 1, en dit is zo wat ook de waarde van k zou zijn. Dit is de reden waarom we ook in de klassieke hypothese trillingsverschijnselen kunnen waarnemen, dus ook als n-m stabiel is en minimaal gelijk aan 2. In dat geval is dus cosθ = (2-p)1/2(2)-1/2 of dus (1-p/2)1/2 en sinθ = p1/2(2)-1/2 of dus (p/2)1/2. Er is dus maar één veranderbare parameter die op verschillende manier kan beschreven worden, ofwel de hoek θ, ofwel de intensiteit p (die gelijk is aan 1+k), ofwel de eigenwaarde k. De vorm 1-k versus 1+k laat zien dat hier ook een “externe” n versus m kan geconstrueerd worden, we zouden ze ν versus μ kunnen noemen. Dus (1-k) nemen we bijvoorbeeld als (ν-μ)(ν2-μ2)-1/2, (1+k) nemen we als (ν+μ)(ν2-μ2)-1/2. Het product van beide is dan niet verschillend van 1.
Er zijn dus minstens 3 getallen: n, m en p en ze functioneren in de klassieke hypothese (vastliggend n-m), en in de kwantum hypothese (enkel een vastliggende n). Het universum ligt alleen maar vast bij een waarneming vanuit een bepaald standpunt. Het universum, en dus het aantal n, is voortdurend in verandering (er gebeurt ook altijd iets anders) zowel voor de klassieke hypothese als de kwantum hypothese maar het vastleggen van n-m=2 garandeert dat in de klassieke hypothese over atomen kan gesproken worden. De getallen n en m beschrijven de “interne wereld” (simultaneïteit in het ervaren en simultaneïteit in het gebeuren), de p beschrijft de “externe wereld” (nieuwe onderscheidingen, niet ingebouwde sporen). De getallen ν en μ laten zien dat een “externe wereld” als isomorf met een “interne wereld” kan geconstrueerd worden, het verbindend patroon is een tralie.
Gegeven een bepaalde n, het aantal elkaar uitsluitende toestanden van een universum, moet p (die niet verschillend is van 1+k) ook een maximum en een minimum hebben. We kunnen dat bepalen als volgt: sinθ = (p/2)1/2. Het nulpunt van de sinus is bereikt bij p=0, of dus k=-1. Het maximum (+1) bij π/2, dat betekent dus 1=sinθ = (p/2)1/2 dus p=2 of dus k=1. Het minimum (-1) van de sinus wordt bereikt bij 3π/2. Als we continuïteit veronderstellen moet uit het voorgaande volgen dat het minimum bereikt wordt voor k=0 of dus p=1, wat overeenkomt met een hoek gelijk aan π/4. Dat betekent dus dat de eigenwaarde k kan voorgesteld worden door de sinus van een andere hoek, sinus die enkel een waarde tussen -1 en +1 kan aannemen.
Zowel in de kwantum hypothese als de klassieke hypothese nemen we in twee categorieën waar: een aantal p versus een aantal p<>. Het aantal p<> wordt gegeven door n-m-p. Dus in de klassieke hypothese is dit 2-p en p<> varieert dus evenzeer tussen 0 en 2.
Trilling of periodiciteit is een zeer abstract begrip, even abstract als de binaire voorstelling van haakelementen. We kunnen trilling afleiden van het patroon van een onvermijdelijk aspect van de ordening in de toestanden die specifiek zijn voor een agens-in-context waardoor sporen ontstaan met een chronologie. Trilling vereist geen bijkomende aspecten die moeten verondersteld worden. Er wordt bijvoorbeeld zeker niet geïmpliceerd dat de trilling een ruimte-tijd fenomeen is, of dat men de trilling in de ruimte-tijd kan “volgen” zoals bij een golf die zich voortplant in een fysisch medium en waarvan de top (het dal) “van locatie tot locatie gaat”. We moeten dus nog expliciteren wat impliciet verondersteld wordt wanneer we begrippen als golfgedrag gebruiken en hoe we golven waarnemen (we zullen zien dat dit alles te maken heeft met een waarnemingsresolutie die ons toelaat om de hypothese te aanvaarden dat “iets” als lengte kan gekozen worden wat ook de resolutie zou zijn waarmee we zouden waarnemen, de golflengte wordt dan van de frequentie afgeleid en dit zullen we ook preciezer onderzoeken).
De beschrijving die gebaseerd is op het model van een golf lijkt op muggenziften voor waarnemingen in de klassieke hypothese want in deze hypothese kunnen alle categorieën op voorhand gekozen worden. Stel immers met het voorbeeld dat H altijd als M wordt waargenomen, of altijd als M<> wordt waargenomen, terwijl M en M<> elkaar uitsluiten en dat het dus mogelijk wordt om M op een plaats in de fysische ruimte af te beelden, die een andere plaats uitsluit. Het gedrag (de toestand M) dat we voor de klassieke entiteit K waarnemen noemen we dan gewoon de trilling van K. “K verandert niet”, zeggen we dan, “K vertoont een gedrag, enkel het gedrag verandert”, “K trilt rond een evenwicht”. “K bevindt zich nu eens hier en vervolgens eens daar”. Toestanden sluiten elkaar uit. Wat we waarnemen is een herhaaldelijk ingenomen toestand M versus M<>, in meer correcte bewoording: de disjunctie “M of M<>”. K identificeren we met de disjunctie MM<>. M en M<> worden door exact hetzelfde aantal onderscheidingen opgespannen behalve de laatst toegevoegde: hetzelfde aantal onderscheidingen zijn de onderscheidingen die K karakteriseren en niet het gedrag van K dat door de laatst toegevoegde onderscheiding gekarakteriseerd wordt. Aan een trilling kunnen we een frequentie verbinden en we moeten vaststellen dat K niet aan gelijk welke frequentie kan trillen. Als K niet trilt, dan zeggen we dat K daar geen energie voor heeft. Energie heeft dus te maken met gedrag “rond een evenwicht” en toestanden “ver van evenwicht”. Als iets niet trilt is het natuurlijk nog meer bij het haar getrokken om te spreken van een hoek of een fase. Men zou dan moeten zeggen dat de hoek θ altijd dezelfde is zodanig dat tanθ altijd dezelfde verhouding is, er is met andere woorden altijd maximale zekerheid (als iets niet trilt) dat het op een bepaalde positie en tijd zal kunnen waargenomen worden.
In de kwantum werkelijkheid daarentegen werd men voor het eerst geconfronteerd met andere onzekerheden: de onderscheidingen die gehanteerd moeten worden om de sporen te interpreteren ontstaan (ze moeten dus gecreëerd worden in de hypothese zelf en zijn niet a priori te kiezen). Met het voorbeeld van het werpen van een dobbelsteen zou de klassieke situatie overeenkomen met de waarneming van een dobbelsteen die altijd op een zijde terechtkomt, met het modelleren van de kwantum situatie wordt begonnen wanneer iemand opmerkt dat dit altijd een andere zijde is, en zich afvraagt hoe die andere situaties uit elkaar zouden kunnen gehouden worden en elke zijde daartoe van een markering voorziet en dan merkt dat er a priori 6 zijden kunnen gemarkeerd worden. De volle kwantum situatie is dat we zelfs de markering niet kunnen aanbrengen met de categorieën die we daarvoor kunnen bedenken voor klassieke processen (bijvoorbeeld: we slagen er niet in om een afbeelding te maken met ruimtelijke of tijdelijke markeringen, of ruimte-tijd gebeurtenissen). We kunnen inderdaad op een correcte manier spreken van kwantumgedrag, niet van kwantumentiteiten. Dus: “een foton is (kwantum) gedrag” en niet: “een foton vertoont (kwantum) gedrag”. Een foton is het gedrag van ofwel een deeltje, ofwel een golf en dat is afhankelijk van de meting, ofwel de meting D(eeltje) versus D<>, die simultaan DD<> genereert, ofwel de meting G(olf) versus G<>, die simultaan GG<> genereert. Een foton is het gedrag van de disjunctie “deeltje of golf” en deze disjunctie is de nevenschikking van vier elementen: DD<>GG<>. Een foton is het gedrag van de disjunctie “een hypothetische individualiteit (deeltje) of een hypothetische organisatie of coördinatie van hypothetische individualiteiten (golf)”. Beide beschrijvingen zijn enkel als disjunctie simultaan waarneembaar. Elke beschrijving, namelijk “ofwel een deeltje”, “ofwel een golf” heeft zijn eigen “anders”, namelijk in het ene geval “iets anders dan een deeltje”, in het andere geval “iets anders dan een golf”. De onzekerheidsrelatie van Heisenberg drukt uit dat er een fundamenteel verschil is tussen “iets in een toestand” (deeltje) en “iets in een verschil van minstens twee toestanden” (golf). Het begrip “deeltje” verbinden we aan een positie, het begrip “golf” verbinden we aan een processnelheid (bijvoorbeeld hoeksnelheid), beide zijn niet simultaan meetbaar. We nemen altijd een bepaalde toestand waar, te beschrijven door een beperkt aantal onderscheidingen maar de resolutie, de verandering van waarnemen wordt beschreven door een verschil van toestanden.