Idempotentie is gedefinieerd door de eis dat een n maal herhaalde operatie P, aangegeven als Pn, niet kan onderscheiden worden van P. Het creatief product is idempotent voor zowel welgevormde haakuitdrukkingen als (gewogen) projectoren, de logische operaties conjunctie en disjunctie op welgevormde haakuitdrukkingen zijn idempotent. Inderdaad: hh=h voor de disjunctie en <<h><h>>=h voor de conjunctie en in beide gevallen geldt dan hn=h. De disjunctie van h en h kunnen we aangeven als h∨h. De conjunctie van h en h kunnen we aangeven als h∧h. We hebben aangetoond dat dit niet leidt tot verwarring.
Een contrasterend voorbeeld is het vectorproduct, het vectorproduct is niet idempotent voor een welgevormde haakuitdrukking. Het herhaaldelijk toepassen van het vectorproduct op een welgevormde haakuitdrukking h genereert een oscillatie tussen <<>> en h.
Het herhaaldelijk toepassen van de logische operaties h∨h en ook h∧h, maar dan op projectoren en gewogen projectoren, genereert eveneens oscillaties. We moeten hierbij een onderscheid maken tussen projectoren die idempotent zijn voor het vectorproduct, en projectoren die anderspotent zijn voor het vectorproduct.
We starten met een idempotente projector (<>⊕h) en de operatie conjunctie. We berekenen nu hn als (<>⊕h)∧(<>⊕h)∧...∧(<>⊕h).
We berekenen dus eerst (<>⊕h)∧(<>⊕h).
<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<>⊕h)•(<>⊕h)=<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<>⊕h)=<h>.
We berekenen nu <h>∧(<>⊕h).
<>⊕h⊕(<<>>⊕<h>)⊕<h>•(<>⊕h)=<>⊕h⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<>⊕h)=(<>⊕h).
De volgende stap genereert terug <h>.
De operatie conjunctie éénmaal uitvoeren met (<>⊕h) op (<>⊕h) genereert dus <h>, de operatie tweemaal uitvoeren genereert (<>⊕h), de operatie driemaal uitvoeren genereert <h>, de operatie viermaal uitvoeren genereert (<>⊕h) enz…. Dus even of oneven zijn van de “exponent” in hn oscilleert tussen een idempotente projector en een welgevormde haakuitdrukking.
De disjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
We berekenen daarom <h>∨(<>⊕h).
<<>>⊕h⊕(<<>>⊕<h>)⊕h•(<>⊕h)=<<>>⊕h⊕<<>>⊕<h>⊕<h>⊕<<>>=<h>
We starten met een anderspotente projector (<<>>⊕h) en de operatie conjunctie. We berekenen nu hn als (<<>>⊕h)∧(<<>>⊕h)∧...∧(<<>>⊕h).
We berekenen dus eerst (<<>>⊕h)∧(<<>>⊕h).
<>⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)⊕(<<>>⊕h)•(<<>>⊕h)=<>⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)=<>.
We berekenen nu <>∧(<<>>⊕h).
<>⊕<<>>⊕(<>⊕<h>)⊕<>•(<<>>⊕h)=<>⊕<<>>⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)=(<<>>⊕h).
Dus even of oneven zijn van de “exponent” oscilleert tussen een anderspotente projector en een waarde.
De disjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
We berekenen daarom <>∨(<<>>⊕h).
<<>>⊕<<>>⊕(<>⊕<h>)⊕<<>>•(<<>>⊕h)=<<>>⊕<<>>⊕<>⊕<h>⊕<<>>⊕h=<>.
We contrasteren dit met het gedrag van een gewogen projector.
We starten met (x⊕y) en de operatie conjunctie. We berekenen nu hn als (x⊕y)∧(x⊕y)∧...∧(x⊕y).
We berekenen dus eerst (x⊕y)∧(x⊕y).
<>⊕(<x>⊕<y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(x⊕y)•(x⊕y)=<>⊕(<x>⊕<y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<>⊕<x•y>)=<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>. Dit is de disjunctie van <x> en <y> en welgevormd.
We berekenen nu (<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>)∧(x⊕y).
<>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>)•(x⊕y)=<>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<>⊕<x•y>)=x⊕y.
Voor de operatie conjunctie en een gewogen projector genereert het proces dus een oscillatie tussen de gewogen projector en een welgevormde haakuitdrukking die een atoom is in beide termen.
De disjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
<<>>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>)•(<x>⊕<y>)=<<>>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕x•y)=<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>.
We starten met een idempotente projector (<>⊕h) en de operatie disjunctie. We berekenen nu hn als (<>⊕h)∨(<>⊕h)∨...∨(<>⊕h).
We berekenen dus eerst (<>⊕h)∨(<>⊕h).
<<>>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)⊕<(<>⊕h)•(<>⊕h)>=<<>>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)=<<>>.
We berekenen nu <<>>∨(<>⊕h).
<<>>⊕<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕<<<>>•(<>⊕h)>=<<>>⊕<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕<h>)=(<>⊕h).
De volgende stap genereert terug <<>>, enz…
Dus even of oneven zijn van de “exponent” oscilleert tussen een idempotente projector en een waarde.
De conjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
We berekenen daarom <<>>∧(<>⊕h).
<>⊕<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕<<>>•(<>⊕h)=<>⊕<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<>⊕h)=<<>>.
We starten met een anderspotente projector (<<>>⊕h) en de operatie disjunctie. We berekenen nu hn als (<<>>⊕h)∨(<<>>⊕h)∨...∨(<<>>⊕h).
We berekenen dus eerst (<<>>⊕h)∨(<<>>⊕h).
<<>>⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)⊕<(<<>>⊕h)•(<<>>⊕h)>=<<>>⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)⊕(<<>>⊕h)=<h>.
We berekenen nu <h>∨(<<>>⊕h).
<<>>⊕h⊕(<>⊕<h>)⊕<<h>•(<<>>⊕h)>=<<>>⊕h⊕(<>⊕<h>)⊕(<<>>⊕h)=(<<>>⊕h).
Dus even of oneven zijn van de “exponent” oscilleert tussen een anderspotente projector en een welgevormde haakuitdrukking.
De conjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
We berekenen daarom <h>∧(<<>>⊕h).
<>⊕h⊕(<>⊕<h>)⊕<h>•(<<>>⊕h)=<>⊕h⊕(<>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)=<h>.
We contrasteren dit met het gedrag van een gewogen projector.
We starten met (x⊕y) en de operatie disjunctie. We berekenen nu hn als (x⊕y)∨(x⊕y)∨...∨(x⊕y).
We berekenen dus eerst (x⊕y)∨(x⊕y).
<<>>⊕(<x>⊕<y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕<(x⊕y)•(x⊕y)>=<<>>⊕(<x>⊕<y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕x•y)=<>⊕x⊕y⊕x•y. Dit is de conjunctie van <x> en <y> en welgevormd.
We berekenen nu (<>⊕x⊕y⊕x•y)∨(x⊕y).
<<>>⊕(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕<(<>⊕x⊕y⊕x•y)•(x⊕y)>=<<>>⊕(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕x•y)=x⊕y.
Voor de operatie disjunctie en een gewogen projector genereert het proces dus een oscillatie tussen de gewogen projector en een welgevormde haakuitdrukking die een atoom is in beide termen.
De conjunctie van beide uitdrukkingen is simultaan met beide en is dus de invariant in de oscillatie.
We berekenen daarom (<>⊕x⊕y⊕x•y)∧(x⊕y).
<>⊕(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<>⊕x⊕y⊕x•y)•(x⊕y)=<>⊕(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)⊕(<x>⊕<y>)⊕(<>⊕<x•y>)=<>⊕x⊕y⊕x•y.
De fundamentele asymmetrie die ontstaat als meerdere haakuitdrukkingen betrokken zijn in een operatie kunnen we als volgt formuleren: de haakuitdrukkingen kunnen allemaal dezelfde waarde hebben, maar slechts twee-aan-twee tegengestelde waarde. Het herhaald uitvoeren van een vectorproduct als operatie op de welgevormde h genereert een oscillatie tussen <<>> (h heeft dezelfde waarde als h) en h (h kan niet onderscheiden worden van het ervaren van h).
We hebben nu onderzocht hoe die asymmetrie zich uit voor de logische operaties conjunctie en disjunctie wanneer ze herhaald worden met een gecollapste haakuitdrukking. De asymmetrie geeft hier ook aanleiding tot een oscillatie. Dit maakt duidelijk dat enkel onder de voorwaarde van idempotentie er te ontsnappen is aan oscillatie.