Waarnemen gebeurt altijd door iets in minimaal twee elkaar uitsluitende categorieën onder te brengen. Elke welgevormde haakuitdrukking h staat immers voor een structuur waar nog geen waarde aan toegekend is. Wanneer men aan deze structuur een waarde geeft dan is deze ofwel <> (of in het modulo3 model -1), ofwel <<>> (of in het modulo3 model +1). Dan neemt men de structuur waar, of dan neemt men iets anders dan de structuur waar. Dit ligt aan de basis van de metriek in een interval. Intervallen zijn immers sommen of verschillen. In de klassieke modellering zijn dat sommen van eenheden die elkaar uitsluiten, en het is verhelderend dit ook expliciet met getallen te modelleren.

Elke welgevormde haakuitdrukking h kan geschreven worden als het product van twee andere welgevormde haakuitdrukkingen, bijvoorbeeld h₁•h₂. Er zijn hierbij zeer veel, namelijk 2EXP2ⁿ, mogelijkheden. Inderdaad, kies een onderscheidingen universum n en kies een van de 2EXP2ⁿ mogelijke punten uit dat universum voor h₁, dan ligt het tweede punt h₂ vast. Het is altijd mogelijk om twee welgevormde haakuitdrukkingen te kiezen die elkaar uitsluiten. Dit is als volgt in te zien: op de positie van een laagbit van h₁•h₂ kiezen we voor tegengestelde bits bij h₁ en h₂, en op de positie van een hoogbit van h₁•h₂ kiezen we voor gelijke bits bij h₁ en h₂, maar we kiezen enkel een hoogbit. Het gevolg hiervan is dat h₁ en h₂ elkaar zullen uitsluiten.

Met een voorbeeld is dit duidelijker: kies

01110011 als h₁•h₂

11110011 als h₁

01111111 als h₂

De conjunctie van h₁ en h₂ is 11111111 dus sluiten ze elkaar uit.

(<>⊕h)=(<>⊕h₁•h₂) kunnen we nu voorstellen als een som, namelijk 1•(<>⊕h)=1•(<>⊕h₁) + 1•(<>⊕h₂).

Met het voorbeeld:

1xxx11xx als <>⊕h₁•h₂

xxxx11xx als <>⊕h₁

1xxxxxxx als <>⊕h₂

Hierdoor is heel duidelijk dat bijvoorbeeld c₁•(<>⊕h₁) + c₂•(<>⊕h₂) niet als een c•(<>⊕h) kan voorgesteld worden, de eenheden kunnen opgeteld worden maar zijn niet dezelfde.

De uitbreiding naar verschillen ligt voor de hand.

De uitbreiding naar meer dan twee welgevormde haakuitdrukkingen ligt voor de hand.

De metriek in het haakformalisme is dus in het bitstring model gemakkelijk voor te stellen. Neemt men de structuur waar, dan blijven in het bitstring model enkel de min-bits over, aangevuld met don't cares tot n (n geeft het aantal niveauverschillen, of, alternatief het aantal atomen, of, alternatief het aantal bits in het bitmodel). Neemt men iets anders dan de structuur waar, dan blijven enkel de plus-bits over, aangevuld met don't cares tot n. Aangezien het aantal bits overeenkomt met het aantal niveauverschillen in de tralie waarin h optreedt, en de niveauverschillen een metrische maat zijn, geven zowel het aantal min-bits (eerste geval) en het aantal plus-bits (tweede geval) de diepte in de tralie waarin de welgevormde haakstructuur een bepaalde relatie tussen onderscheidingen uitdrukt. Noem het eerste aantal m, dan is het tweede aantal n-m als n het totaal aantal bits geeft.

• Wanneer we dus het aantal n vastleggen dan is aan één aantal, m, genoeg om de (metrische) diepte in de structuur te kennen en de klassieke hypothese te gebruiken.

• Wanneer we het aantal m vastleggen dan is aan één aantal, n, genoeg om het universum uit te breiden of in te krimpen tot m zich op de gewenste diepte bevindt om in de klassieke hypothese te kunnen functioneren (en dan aanleiding kan geven tot getallen als sporen of resultaten van metingen met een laatst toegevoegde onderscheiding).

• Op die manier, het kiezen van een getal, een intensiteit, een afstand, … (die we interpreteren als een gekozen resolutie of een gekozen schaal) is het altijd mogelijk de metriek in een tralie waar te nemen.

Inderdaad: het aantal m kunnen we als een coëfficiënt beschouwen van de orthogonale projectoren van h, dus m•(<>⊕h) geeft de laagbits in h en dus hun som geeft het aantal en (n-m)•(<>⊕<h>) geeft dan het aantal hoogbits. Hierin gebruiken we het vectorproduct (niet verschillend van de disjunctie) ook als getal product, dus m is de intensiteit van de eenheid (<>⊕h).

Hierin stellen we h voor als de “laatst toegevoegde onderscheiding”, de bitstring «+1,-1» uit het guillemet model van het haakformalisme, de eenheid die gemeten wordt is dus dezelfde projector «x,+1» versus «+1,x» met x een don't care, beide projectoren sluiten elkaar uit. Dit is niet anders dan de 1-splitsing die aan de basis ligt van de klassieke hypothese.

De twee vormen van dit patroon, namelijk (<>⊕h) en (<>⊕<h>) zijn orthogonaal en sluiten elkaar dus uit en zijn projectoren, zijn idempotent. We kunnen dus altijd een verhouding construeren van coëfficiënten c₁ en c₂ zodanig dat: 1•(<>⊕h)=c₁•(<>⊕h)•c₂•(<>⊕h) want (<>⊕h)•(<>⊕h)=(<>⊕h) en dus 1•(<>⊕h)=c₁•c₂•(<>⊕h). Aan beide zijden van de gelijkheid wordt dezelfde eenheid gebruikt.

Twee soorten eenheden: scalairen en projectoren

Wanneer het patroon (<>⊕h) de ene soort eenheid is, dan is het patroon h de andere soort eenheid. Het eerste patroon is een projector, het tweede patroon een scalair en er gelden de volgende relaties voor zowel vectorproduct als creatief product:

Hierin is de projector dus dominant en de scalair recessief, zoals we ook zien bij de waarde <> versus de waarde <<>>, of de waarde nul versus een getal.

Intervallen zijn scalaire grootheden (intensiteiten van het getal 1) enkel wanneer de structuur (of de eenheid) een welgevormde haakuitdrukking is, zo niet geeft een interval de intensiteit van een projector. Dit is als volgt snel in te zien: neem de welgevormde haakuitdrukkingen m•h en n•h. Het interval m•h•n•h is niet anders dan m•n•<<>>. Dit herkennen we als een verhouding want sommige eenheden “verdwijnen” in een verhouding (in een verhouding wordt dezelfde eenheid zowel in teller als in noemer niet genoteerd). Dit staat in contrast met m•(<>⊕h) en n•(<>⊕h) want het interval m•(<>⊕h)•n•(<>⊕h) is niet anders dan m•n•(<>⊕h). Het interval m•h•n•(<>⊕h) is niet anders dan m•n•(<h>⊕<<>>) en dus kunnen we ons voorstellen dat het vectorproduct met h zorgt dat de eenheid ingebed wordt.

Eenheden zijn geconnoteerd met dimensies, meetmethodes, kwaliteiten die een intensiteit hebben waarbij de kwaliteit invariant is. Het is niet alleen belangrijk om “eenheid” en “intensiteit” te onderscheiden, maar ook om de eenheid “projector” (en dus specifieke vectorsom van welgevormde haakuitdrukkingen) te onderscheiden van de eenheid “welgevormde haakuitdrukking”.

Ook de metriek in een tralie kan met behulp van elkaar uitsluitende projectoren gemodelleerd worden waarbij we de som van bits hanteren die zich niet op dezelfde positie bevinden. Een punt in een n onderscheidingen universum op AND-atomair niveau heeft 2ⁿ-1 identieke hoog-bits (+1) en 1 laag-bit (-1), dus de som van de bits geeft dan het getal 2ⁿ-2¹, op atoombuur niveau heeft de bitstring 2ⁿ-2 identieke hoog-bits en en 2 laag-bits, dus de som van de bits geeft dan het getal 2ⁿ-4 of dus 2ⁿ-2², enz... tot een punt op niveau m met 2ⁿ-m identieke hoog-bits en en m laag-bits, dus de som van de bits geeft dan het getal 2ⁿ-2^m. Als m=n dan is een punt van het centraal niveau bereikt dat evenveel hoogbits als laagbits heeft en waarvan de som dus gelijk is aan 0 of dus 2ⁿ-2ⁿ. Lager dan het centraal niveau vinden we de symmetrische situatie waarbij het resulterend getal negatief is omdat er meer laag-bits (-1) dan hoog-bits (+1) zijn. In de klassieke hypothese (waarbij de atomen een intensiteit kunnen hebben die verschilt van 1) zijn al deze sommen goed gedefinieerd en een welgevormde haakuitdrukking kan dus met een geheel getal gerelateerd worden dat geïnterpreteerd kan worden als de som van de bits. Indien we willen kunnen we dezelfde redenering ook maken met enkel positieve getallen.

Alle punten op diepte m hebben dus dezelfde coëfficiënt, deze manier van voorstellen verliest dus structuur maar dit is onvermijdelijk, waarnemen is beslissen om “ja” te zeggen aan een potentiële structuur. Ook de getallen zijn niet eenduidig omdat h misschien in een groter universum uitgedrukt moet worden en in dat universum geeft 2^km•(<>⊕h) het aantal laagbits en 2^k(n-m)•(<>⊕<h>) het aantal hoogbits. De verhouding van beide getallen verandert echter niet, 2^km/2^k(n-m) gedraagt zich als 2^km•2^k(n-m) met 2^k een welgevormde haakuitdrukking en is niet anders dan de getalverhouding m/(n-m) die zich gedraagt als m•(n-m). Dat is zo omdat associativiteit verondersteld wordt waardoor een invers kan gedefinieerd worden en alle symbolen waarde <<>> hebben.

Het vastleggen van n of m kunnen we als volgt begrijpen.

• De focus van de waarneming kan enerzijds liggen op het a priori vastgelegde universum, we beschrijven dan een gedrag met een a priori gekozen aantal atomen (en impliciet dus ook onderscheidingen) n. Aangezien het centraal axioma zegt dat er ook altijd iets anders zal gebeuren, kiezen we er dus voor om dat andere te beschrijven zonder nieuwe onderscheidingen nodig te hebben, we moeten ze enkel nog ontdekken door veel waarnemingen uit te voeren en op zoek te gaan naar invarianten.

• De focus van de waarneming kan anderzijds liggen op de beschrijving met onderscheidingen die emergent kunnen zijn. We beschrijven dan een gedrag met een a priori gekozen aantal onderscheidingen m goed wetende dat er ook altijd iets anders zal gebeuren en we kiezen er voor om dat andere te beschrijven met meer onderscheidingen dan het aantal m. Hiervoor is het voldoende om minstens één extra onderscheiding te introduceren.

De twee operaties zijn complementair en dat herkennen we in onze omgang met de complexiteit van informatie: in het eerste geval kiezen we ervoor om elke variatie in de waarneming als relevant te beschouwen met het risico dat het ons verlamt om voor een invariant te gaan kiezen, in het tweede geval lopen we het risico niet voldoende aandacht te hebben voor variatie in het groot aantal waarnemingen die we als gelijk beschouwen. Van situatie tot situatie ligt het ideaal model ergens in de volgende reeks (men zegt soms “on the edge of chaos”): verwarring, overbelasting, verrassing, nieuws, onverwacht, herkenbaar, vertrouwd, overtollig, bekend, saaie herhaling, overbodig.

Zin van een interval, zin van een richting

Wat we begrepen hebben met twee getallen is gemakkelijk uit te breiden naar meerdere getallen n₀; n₁; n₂; n₃; n₄; n₅; n₆... die intensiteiten zijn van dezelfde eenheid e. We zullen nu een nieuwe notatie ontwikkelen voor een metrisch interval tussen getallen, dus voor een interval meting (enkel verschillen en sommen) en dus ook voor het aangeven van de zin van het interval in een tralie. De symbolen die we hiervoor zullen gebruiken zijn suggestief voor een opvallende mogelijke interpretatie van de getallen die we precies zullen expliciteren zonder a priori als we hiermee verhoudingen gaan opbouwen.

De notering x₀₁=-x₁₀ is het (enerzijds positieve, anderzijds negatieve) getal dat we zullen verbinden met het interval n₀-n₁. De notering x₁₀=-x₀₁ is het (enerzijds positieve, anderzijds negatieve) getal dat we zullen verbinden met het interval n₁-n₀.

Dat is niet anders dan de niet commutatieve voorstelling ((y⊕x)⊗(y⊕<x>))_ℵ die de richting en de zin codeert waarin een interval doorlopen wordt zodat evenwicht en invariantie kan gecodeerd worden als de andere zin op die richting dan gecodeerd wordt door ((y⊕<x>)⊗(y⊕x))_ℵ. Hierbij kunnen we y interpreteren als een referentie. We merken nu op dat de som distributief is met het creatief product. Als we de referentie y sommeren met het interval krijgen we dus het interval ((<y>⊕<x>)⊗(y⊕x))_ℵ en zijn invers ((y⊕x)⊗(<y>⊕<x>))_ℵ en dit is niet anders dan (y⊕x)•ℵ versus <(y⊕x)•ℵ>. De getallen x en y hebben dus hetzelfde teken en dat zien we bij n+m versus zijn “invers”: -(n+m).

We moeten nu nog een nieuwe notatie kiezen voor een interval dat altijd in dezelfde zin doorlopen wordt. De notering t₀₁=t₁₀ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₀+n₁. De notering t₁₀=t₀₁ is het getal dat we zullen verbinden met het interval n₁+n₀. Dus enkel voor de x-intervallen is de zin van de richting aanpasbaar, voor de t-intervallen is de zin niet te veranderen, zo we willen “omdat het door één keuze reeds gedefinieerd werd en die unieke keuze zich niet meer kan voordoen”. We kunnen maar éénmaal een willekeurige splitsing (h₁, h₂) uitvoeren. Dat is niet anders dan de voorstelling ((y⊕x)⊗(y⊕x))_ℵ die geen richting of zin kan coderen, maar, voor getallen geïnterpreteerd als niet commutatieve operatie en dus als deling, is dit de notering voor de eenheid.