Het begrip “beslissen” of “bewust beslissen” wordt in de standaard taal slechts gebruikt als het agens a priori alternatieven heeft waartussen het kan kiezen (volgens een te bepalen criterium dat hiermee een ordening uitdrukt) om een doel of een anti-doel al dan niet te bereiken. Er zijn nu drie mogelijkheden:

• Het agens kan een ordening maken zodanig dat de ene keuze minstens zo goed of zelfs strikt beter zal zijn dan de andere keuze volgens het gekozen criterium. De ordening is dus een partiële ordening of zelfs een strikte ordening. Het agens kan beslissen en de beslissing is a priori relevant en te anticiperen.

• Het agens kan een ordening maken zodanig dat de ene keuze gelijkwaardig is aan de andere keuze. Bijvoorbeeld: het gekozen criterium is niet onderscheidend genoeg om een ordening tussen de alternatieven mogelijk te maken. Het agens kan beslissen en het is irrelevant of het nu voor het ene alternatief of het andere beslist. Sommigen noemen dat een “echte” beslissing omdat de alternatieven “echte” alternatieven zijn. Het agens kan dus al evengoed het toeval laten beslissen en de beslissing is a priori relevant (door de hypothese van gelijkwaardigheid) en te anticiperen. Het is dit wat de cyberneticus Heinz Von Förster uitdrukte in zijn paradoxale uitspraak: “Only those questions that are in principle undecidable, we can decide”. Enkel de vraagstukken die in principe onbeslisbaar zijn (en dus niet a priori kunnen “berekend” worden) geven aanleiding tot een autonome beslissing. Maar dit leidt natuurlijk tot de volgende mogelijkheid.

• Het agens kan geen ordening tussen de alternatieven construeren omdat het niet creatief genoeg is om een criterium te construeren, of (paradox) niet kan of wil beslissen over een keuze aan criteria. Het agens kan a priori niet beslissen, maar zal misschien onvermijdelijk (spontaan) beslissen en moet op basis van wat er dan gebeurt (a posteriori) kunnen terugkomen op zijn beslissing (of hoopt dat ten minste). Dat noemen we de ontwerp paradox. Het agens kan dat enkel doen op basis van het spoor dat achtergelaten wordt, spoor dat door hem en zijn omgeving aanvaard kan worden of niet. Operationeel betekent dit dus dat het agens “beslist” dat “het niet beslist” en dus de spontane evolutie van het proces zijn gang laat gaan, niet interageert, geen deel kan en wil uitmaken van het proces. Dit kan echter ook positief geformuleerd worden: het agens beslist om respect te hebben voor de eigenwaarde van het proces. Dit heeft te maken met continuïteit: wanneer het agens aanvaardt dat het voor bepaalde alternatieven niet kan kiezen, maar die alternatieven wel kan laten gebeuren, dan aanvaardt het dat zijn precisie van waarneming nooit zo groot kan zijn zodanig dat het één en slechts één punt kan kiezen en dat dan kan gebruiken om van dat punt af in een andere richting te evolueren, eventueel in de richting vanwaar het kwam. Continuïteit betekent dat zo’n punt niet te kiezen is, zou dat immers niet het geval zijn dan zou dat punt een discontinuïteit kunnen modelleren.

Als het sturend agens dus beslist op basis van een criterium dat een ordening uitdrukt dan impliceert men in de standaard taal dat de ordening niet commutatief is. Voor een strikte ordening is dit duidelijk: als a beter is dan b dan is het niet zo dat b beter is dan a. Maar ook voor een partiële ordening is dit zo: als a minstens zo goed is als b, dan hoeft het niet zo te zijn dat b minstens zo goed is als a. In het haakformalisme beschikken we over twee relaties die een niet commutatieve ordening kunnen uitdrukken: de relatie van simultaneïteit (of dus de nevenschikking) en het creatief product.

• De nevenschikking drukt enkel een ordening uit wanneer de twee nevengeschikte elementen niet een inbedding zijn van elkaar en de ene een inbedding is en de andere niet, enkel dan is de relatie niet commutatief. Inderdaad: a<b> onderscheidt zich van <a>b, maar a<<b>> onderscheidt zich niet van <<a>>b, en ook onderscheidt a<a> zich niet van <a>a. Dit is de ordening van simultaneïteit. Het is een ordening zonder emergente onderscheiding, of, zo men wil, een ordening waarbij de emergente onderscheiding a priori een waarde gekregen heeft en daardoor niet meer te kiezen is.

• Het creatief product is nooit commutatief tenzij de twee elementen zich niet onderscheiden van elkaar. Inderdaad (a⊗b)_z onderscheidt zich van (b⊗a)_z, maar (a⊗a)_z onderscheidt zich niet van (a⊗a)_z. Deze ordening is echter slechts reflexief (en dus een partiële ordening) indien (a⊗a)_z niet te onderscheiden is van (<>⊗<>)_z. Dit is een ordening met een emergente onderscheiding, dus a priori te anticiperen maar slechts a posteriori te valideren. De niet commutativiteit wordt gemodelleerd door het al dan niet ingebed zijn van de toegevoegde onderscheiding, immers (a⊗b)_z onderscheidt zich van (b⊗a)_z, maar deze laatste onderscheidt zich niet van (a⊗b)_<z>.

Ordening zonder emergente onderscheiding

We gaan uit van de volgende veronderstelling: wanneer een interactie voor een agens naar wens verloopt dan zullen de doorlopen (elkaar uitsluitende) toestanden minimaal een conjunctie zijn van relevante en gewenste mogelijkheden en van relevante en te vermijden mogelijkheden. Omdat elkaar uitsluitende beslissingen onvermijdelijk zijn gaan we dus uit van de veronderstelling dat de “beste” beslissing de beslissing is waarin het meeste van de relevante en gewenste mogelijkheden simultaan gerealiseerd wordt en het minst van de te vermijden of ongewenste mogelijkheden (en dus het meeste van iets anders dan de te vermijden of ongewenste mogelijkheden). Dit is dan ons ordeningscriterium. Dit verantwoorden we omdat dan een agens, die in competitie staat met andere (“worst-case” scenario), het minst door het uitsluitend karakter van zijn beslissingen beperkt wordt. Het verwachte resultaat wordt dan het snelst bereikt en het agens heeft dan een competitief voordeel. Dus de beste beslissing is kiezen voor een AND-atoom (een toestand) in een bepaald universum: inderdaad een AND-atoom is een logische conjunctie van gewenste onderscheidingen en te vermijden onderscheidingen. Wat onbekend is, is het universum (of opeenvolgingen van universa) waarin dit mogelijk is. Beslissen leidt tot een nieuwe toestand die als test kan geïnterpreteerd worden: aangezien er altijd ook iets anders gebeurt dan datgene waarvoor beslist wordt moet het agens dus te weten komen of misschien “het andere dat gebeurt” al dan niet “iets anders dan wat gewenst is” realiseert, want enkel in dat geval zou de beslissing niet het gewenste opleveren en kan het agens het in gang gezette proces op tijd stoppen. Met de relatie van simultaneïteit kan dit gemodelleerd worden. Dit is onderzoek naar de inherente logica van onderscheidingen (de klassieke inductie en deductie in een bekend en relevant universum). Als het agens veel testen uitvoert kan ook opgemerkt worden dat veel van wat gebeurt (de variatie in wat waargenomen wordt) voor de focus irrelevant zal zijn. Met de relatie van relevantie kan dit dan weer gemodelleerd worden. Dit is onderzoek naar de waarschijnlijkheid van wat gebeurt, en zeer afwijkende gebeurtenissen kunnen zich voordoen (dit verklaren met nieuwe hypothesen heeft een relatie met het klassieke begrip van abductie). Enkel een onderzoek van beide relaties kan duidelijk maken op basis van welke onderscheidingen de bedoelde of gewenste werkelijkheid opgebouwd is (datgene dat voor het agens gebeurt in een gekozen context). Kiezen voor sommige punten zal betekenen dat simultaan voor andere gekozen wordt, dit modelleert wat het agens ervaart, maar ook zal blijken dat kiezen voor sommige punten geen invloed zal hebben op welke andere punten simultaan gerealiseerd worden, en dit modelleert dan weer welke onderscheidingen een rol spelen, relevant zijn, voor het agens-in-context.

Om dit samenspel te modelleren kunnen we niet anders dan creatief te zijn want we zullen de meest geschikte onderscheidingen moeten creëren voor deze modelleringen. Al wie betrokken is bij de creatie van een nieuwe werkelijkheid zal dikwijls moeten vaststellen dat er voor die nieuwe onderscheiding a priori nog geen begrip (met minimaal een symbool in de standaard taal) bestaat, en dat een eerste reeks prototypes het enige spoor is dat te gebruiken is. Prototypes zijn immers ervaarbaar in het universum met het hoogst aantal onderscheidingen die door het prototype in zijn context nodig en voldoende zijn. Een prototype in context C₁ zal mogelijkerwijze andere sporen achterlaten dan datzelfde prototype in interactie met context C₂. Maar ook: herhaalde interactie met het prototype in de gekozen context C₁ zal telkens weer simultaan onderscheidingen realiseren die voor de interactie relevant zijn. Elke interactie zal op verschillende gebieden onvoorspelbaar zijn en dus een variatie tonen. Verloopt de interactie naar wens dan zal die waargenomen variatie op “het verlopen naar wens” geen invloed gehad hebben. De bijkomende onderscheidingen die nodig zouden zijn om de variatie te beschrijven zijn dan irrelevant.

Hoe kunnen we dit inzicht formeel modelleren?

We veronderstellen twee toestanden x_i en y_j. Wanneer de toestanden gerealiseerd worden dan wordt simultaan de mogelijkheid gerealiseerd dat een doel (OR-atoom) bereikt wordt. Op voorhand (a priori) kunnen de doelen gewenst zijn of niet gewenst zijn, achteraf (a posteriori) moet blijken welke doelen bereikt zijn (en dus of er gewenste doelen bereikt zijn of niet gewenste doelen bereikt zijn). Stel dat we alle doelen kennen en dus het relevante universum. Dit betekent dat we beschikken over een volledige tralie. Wanneer we al de doelen die door y_j kunnen bereikt worden bereiken met x_i en meer gewenste en gekende doelen bereiken met x_i dan met y_j dan geven we de voorkeur aan x_i. Merk op dat de doelen die door x_i bereikt worden en niet door y_j de gewenste doelen zijn en dat ze in het opgespannen universum gekend zijn. Indien niet, dan geven we de voorkeur aan y_j, op voorwaarde dat een ongewenste doel dat door x_i gerealiseerd wordt een verschil maakt dat een verschil maakt en we daar dus niet onwetend over zijn (indien... dan...). En dit laatste is hier nu niet van toepassing omdat het onze veronderstelling is dat we het universum volledig kennen (bijvoorbeeld: we hebben de interactie verschillende malen kunnen herhalen en de optredende variatie is niet relevant).

Partiële orde en strikte orde

De partiële ordeningsrelatie “x_i is ten minste zo goed als y_j” zullen we daarom voorstellen door <x_i>y_j. Dit is niet anders dan de voldoende voorwaarde x_i voor het realiseren van y_j. Dus de partiële ordeningsrelatie “y_j is ten minste zo goed als x_i” zullen we voorstellen door x_i<y_j>. De strikte ordening “x_i is beter dan y_j” komt dan in de standaard taal overeen met “x_i is ten minste zo goed als y_j” EN “het is niet zo dat y_j ten minste zo is goed als x_i”, dus <x_i>y_j AND <<y_j>x_i> ∼ <<<x_i>y_j><y_j>x_i> ∼ <<y_j>x_i>. Het is dus voldoende uit te drukken “het is niet zo dat y_j ten minste zo is goed als x_i” om de strikte ordening te kunnen uitdrukken dat x_i strikt beter is dan y_j.

In de standaard taal lijkt dit contra intuïtief, maar formeel is dit correct in die zin dat <<y_j>x_i> ook simultaan <<x_iy_j><<x_i><y_j>>> en dus zowel x_iy_j als <x_i><y_j> simultaan realiseert en dat deze laatste welgevormde haakuitdrukkingen geen ordening kunnen uitdrukken. Inderdaad, nemen we als voorbeeld <x_i><y_j> dan kunnen we dat interpreteren als de volgende disjunctie “de voldoende voorwaarde x_i voor het realiseren van <y_j>” of “de voldoende voorwaarde y_j voor het realiseren van <x_i>”. Merk daarenboven op dat “het realiseren van <x_i>” werkelijk gelijk wat zou kunnen zijn, behalve x_i. Veel informatie krijgen we dus niet uit deze uitdrukking.

Gelijkwaardigheid

De gelijkwaardigheid van x_i en y_j wordt dan de uitdrukking <<<x_i>y_j><x_i<y_j>>>. De gelijkwaardigheid drukt dus uit: “x_i is ten minste zo goed als y_j” EN “y_j is ten minste zo goed als x_i”. De gelijkwaardigheid realiseren realiseert (is een voldoende voorwaarde voor) zowel “x_i is ten minste zo goed als y_j” als “y_j is ten minste zo goed als x_i”.

Onvergelijkbaarheid wat betreft ordening

We merken nu op dat de gelijkwaardigheid op zijn beurt gerealiseerd wordt door zowel <<x_i><y_j>> als <x_iy_j>. Noch <<x_i><y_j>> als <x_iy_j> kunnen als ordening begrepen worden, dus deze uitdrukkingen zijn “iets anders dan een ordening”. In vage termen in de standaard taal zegt men dan soms dat “x_i niet kan vergeleken worden met y_j” waarbij impliciet verondersteld wordt dat de vergelijking gebeurt op het ordeningscriterium “ten minste zo goed als”. “Iets anders dan een ordening” realiseren realiseert onder andere een equivalentie en een equivalentie realiseert twee tegengestelde ordeningen. Dit werpt een heel duidelijk licht op het begrip “iets anders dan een ordening” in een gekend universum.

Nog ruimer dan <<x_i><y_j>> en <x_iy_j> vinden we <<>>, het willekeurige dat altijd verondersteld kan worden en waarvoor men nooit kan kiezen, waarvoor men dus nooit kan beslissen, dat men enkel kan laten gebeuren. Merk op dat “het is niet zo dat x_i ten minste zo is goed als y_j” EN “het is niet zo dat y_j ten minste zo is goed als x_i” of formeel <<x_i>y_j> AND <<y_j>x_i> ∼ <<x_i>y_j<y_j>x_i> ∼ <<>>. De uitdrukking <<x_i>y_j> AND <<y_j>x_i> en dus de waarde <<>> kan evenzeer begrepen worden als “x_i kan niet vergeleken worden met y_j”, maar dan niet omdat er geen ordening mogelijk is, maar eerder omdat x_i en y_j geen onderscheidingen bezitten die een verschil maken en waarmee een tralie kan opgespannen worden. Inderdaad, <<>> kan niet gerealiseerd worden. Dit is enkel in een ander universum op te lossen, waar dus nieuwe onderscheidingen een rol kunnen spelen die niet optreden in het gekende universum waarin x_i en y_j met elkaar vergeleken kunnen worden wat betreft “beter” of “slechter”.

Ordening met een emergente onderscheiding

Het creatief product (x_i⊗y_j)_z ∼ <z<x_i>><<z><y_j>> laat toe een ordening te definiëren met een emergente onderscheiding. Merk op dat we het symbool z gebruiken en niet ℵ. Hiermee geven we aan dat we hier niet de laatst toegevoegde onderscheiding bedoelen, we kunnen z dus a priori verwachten en dat willen ervaren of vermijden. Hiermee modelleren we de situatie dat het agens een onderscheiding toevoegt (bijvoorbeeld om een verschil te maken dat een verschil maakt dat niet kan gemaakt worden met de onderscheidingen die x_i en y_j opspannen).

We herkennen ook hier een ordening die het gevolg is van simultaneïteit. Dit is af te leiden uit de twee tralies die met een emergente onderscheiding te construeren zijn.

We kunnen hier echter een nieuwe ordening onderscheiden die enkel afhankelijk is van de waardering die verwacht wordt van de toegevoegde onderscheiding en we noemen dat een verwachte ordening.

Verwachte ordening

Wat men nu “beter dan” kan noemen hangt af van (de waardetoekenning van) de toegevoegde onderscheiding. Ofwel wil men z ervaren (positief evalueren), ofwel wil men <z> ervaren (en dus z vermijden en dus z negatief evalueren). Dit is in te zien met de tabel van waardetoekenningen:

We bestuderen eerst het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt ervaren is:

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

We bestuderen dan het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt willekeurig is (dus anders is dan ervaren):

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

Dit maakt duidelijk dat de speciale constructie van het creatief product voor die heldere uitsplitsing verantwoordelijk is: heeft z waarde <>, dan volgt de uitdrukking de waarde van y, heeft z waarde <<>>, dan volgt de uitdrukking de waarde van x.

Op analoge manier kunnen we nu een punt onderzoeken naast een extremum, neem <<x>yz><x<y><z>>

We bestuderen eerst het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt ervaren is:

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

We bestuderen dan het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt willekeurig is (dus anders is dan ervaren):

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

We merken op dat als <<x>yz><x<y><z>> geldt dan ook <z<x>><<z><y>> geldt. Als <z<x>><<z><y>> geldt dan geldt ook <<x<y>>z><<<x>y><z>>. We kunnen dus ook deze laatste welgevormde haakuitdrukking onderzoeken:

We bestuderen eerst het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt ervaren is:

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

We bestuderen dan het geval waarin de relatie die de onderscheiding toevoegt willekeurig is (dus anders is dan ervaren):

We besluiten:

• Wordt z positief gewaardeerd dan is y ten minste zo goed als x

• Wordt <z> positief gewaardeerd dan is x ten minste zo goed als y

We besluiten dus dat als <<x>yz><x<y><z>> geldt dan ook <z<x>><<z><y>> geldt, en ook <<x<y>>z><<<x>y><z>> geldt.

Verwachte gelijkwaardigheid

De gelijkwaardigheid voor een ordening met een emergente onderscheiding kunnen we uitdrukken wanneer we inzien dat in dat geval het creatief product van een willekeurig ander punt p met x_i niet te onderscheiden zal zijn van het creatief product van hetzelfde willekeurig punt p met y_j. Dit moet dan gelden voor de beide gecommuteerde producten. Dus we moeten uitdrukken: (x_i⊗p)_z ↔ (y_j⊗p)_z AND (p⊗x_i)_z ↔ (p⊗y_j)_z

We drukken deze ingewikkelde uitdrukking in twee fasen uit door eerst elke term van de conjunctie uit te rekenen:

<z<x_i>><<z><p>> ↔ <z<y_j>><<z><p>>

<<<z<x_i>><<z><p>><<z<y_j>><<z><p>>>><<<z<x_i>><<z><p>>><z<y_j>><<z><p>>>>

<<<z<x_i>><<z><p>>z<y_j>><z<x_i><z<y_j>><<z><p>>>>

<<x_iz<y_j>><z<x_i>y_j>>

<<x_i<y_j>><<x_i>y_j>>z

en

<z<p>><<z><x_i>> ↔ <z<p>><<z><y_j>>

<<<z<p>><<z><x_i>><<z<p>><<z><y_j>>>><<<z<p>><<z><x_i>>><z<p>><<z><y_j>>>>

<<<z<p>><<z><x_i>><z><y_j>><<z><x_i><z<p>><<z><y_j>>>>

<<x_i<z><y_j>><<z><x_i>y_j>>

<<x_i<y_j>><<x_i>y_j>><z>

De conjunctie van beide is <<x_i<y_j>><<x_i>y_j>>. Dit drukt inderdaad de equivalentie uit van beide termen van het creatief product, en we merken op dat dit onafhankelijk is van de toegevoegde onderscheiding. Dus hoe z ook zou gewaardeerd worden, x_i en y_j zijn gelijkwaardig. De disjunctie van beide is <>.

We merken nu op dat dit niet geldt voor de gelijkwaardigheid zonder toegevoegde onderscheiding. Om dat uit te drukken construeren we de gelijkwaardigheid uit van x_i en p in conjunctie met de gelijkwaardigheid van y_j en p. Dus in welgevormde haakuitdrukking: <<<x_i>p><p<x_i>>>AND<<<y_j>p><p<y_j>>>

<<<x_i>p><p<x_i>><<y_j>p><p<y_j>>>

<<<x_i>p<<y_j>p><p<y_j>>><p<x_i><<y_j>p><p<y_j>>>>

<<<x_i>py_j><p<x_i>y_j>>

<<<x_i>y_j><<x_i>y_j>>p

Onvergelijkbaarheid wat betreft verwachte ordening

We herhalen dat de onvergelijkbaarheid van x_i en y_j impliciet een verwachte ordening veronderstelt die niet kan waargenomen worden. “Iets anders dan een ordening” realiseren, realiseert onder andere een equivalentie en een equivalentie realiseert twee tegengestelde ordeningen. We hebben opgemerkt dat de equivalentie op zijn beurt gerealiseerd wordt door zowel <<x_i><y_j>> als <x_iy_j>. Noch <<x_i><y_j>> als <x_iy_j> kunnen als ordening begrepen worden, dus deze uitdrukkingen zijn “iets anders dan een ordening”. We tonen nu aan dat beide uitdrukkingen niet verschillend zijn van de conjunctie van de twee gecommuteerde varianten van het creatief product. We berekenen daartoe (x_i⊗y_j)_z AND (y_j⊗x_i)_z.

<z<x_i>><<z><y_j>>AND<z<y_j>><<z><x_i>> is in welgevormde haakuitdrukking <<<z<x_i>><<z><y_j>>><<z<y_j>><<z><x_i>>>> en dit reduceren we:

<<<z<x_i>><<z><y_j>>><<z<y_j>><<z><x_i>>>>

<<<z<x_i><<z<y_j>><<z><x_i>>>><<z><y_j><<z<y_j>><<z><x_i>>>>>>

<<<z<x_i><y_j>><<z><y_j><x_i>>>>

<z<x_i><y_j>><<z><x_i><y_j>>

<<<z<x_i><y_j>><<z><x_i><y_j>>>>

<<<z><<z>>><x_i><y_j>>

<<x_i><y_j>>

QED

Deze uitdrukking is inderdaad onafhankelijk van z en is dezelfde uitdrukking die we bij de partiële ordeningsrelatie gevonden hebben. Hieruit volgt dat, zoals verwacht, <<x_i><y_j>> ruimer is dan (x_i⊗y_j)_z, we kunnen dit expliciet als volgt bewijzen:

<<x_i><y_j>> AND <z<x_i>><<z><y_j>> drukken we uit als welgevormde haakuitdrukking: <<x_i><y_j><<z<x_i>><<z><y_j>>>> en we reduceren:

<<x_i><y_j><<z><<z>>>>

<<x_i><y_j>>

QED

Een alternatief bewijs is om aan te tonen dat <x_i><y_j><z<x_i>><<z><y_j>> altijd ervaren is. Dus:

<x_i><y_j><z<x_i>><<z><y_j>>

<x_i><y_j><z><<z>>

<x_i><y_j><z>z

<>

QED

Ook voor de tralie die zo ontstaat is het ruimste punt de waarde <<>>.