Te bewijzen

De relatie van simultaneïteit (<> als de binaire relatie <><<>>) is een partiële orde relatie

Bewijs

We moeten hiertoe drie eigenschappen bewijzen: reflexiviteit, anti-symmetrie en transitiviteit. We doen dit zonder a priori. Dus we bewijzen dat die eigenschappen, uitgedrukt in het haakformalisme, altijd aanwezig zijn, altijd tot “ja” aanleiding geven.

Eigenschap 1: reflexiviteit

Te bewijzen

Het beeld van a met zichzelf is aanwezig als a aanwezig is.

In het haakformalisme is het beeld van a: <a>a

Bewijs

Zie stelling 8: <a>a is altijd aanwezig, a fortiori wanneer a aanwezig is.

QED

Eigenschap 2: anti-symmetrie

Te bewijzen

Wanneer <a>b aanwezig is EN <b>a aanwezig is, dan zijn ze identiek.

Bewijs

We moeten eerst de klassieke conjunctie van <a>b en <b>a kunnen uitdrukken. De aanwezigheid van de conjunctie hebben we reeds kunnen afleiden door het onderzoek naar de betekenis van de tabellen met twee symbolen. Het patroon is: neem de inbedding van beide welgevormde haakuitdrukkingen, vorm hun nevenschikking en bed deze dan in.

De correcte notatie voor de te bewijzen eigenschap wordt als welgevormde haakuitdrukking dus gegeven door: <<<a>b><<b>a>>. We moeten nu uitdrukken dat indien deze haakuitdrukking aanwezig is de identiteit aanwezig is.

Eerste bewijsmethode

We kunnen de identiteit van a en b uitdrukken met het opzoeken van de waarde voor alle verschillende combinaties van a en b

We merken nu dat enkel onder voorwaarde dat a en b dezelfde waarde hebben dat <<<a>b><<b>a>> de waarde <> heeft. Met de combinatie <<<a>b><<b>a>> kunnen we dus identiteit uitdrukken en we zullen op deze manier de notatie a = b definiëren.

QED

Tweede bewijsmethode

De bewijsmethode is gebaseerd op het feit dat het volgende geldt:

Wanneer a = b geldt dan kunnen we voor a<b> ook a<a> noteren en is dus a<b> ↔ <> of, volledig analoog, dan is b<a> ↔ <>. Dus dan zal zowel a<b> als b<a> zich gedragen als <> ten opzichte van de veronderstelling, en de veronderstelling dus opslorpen.

We kunnen het opslorpen van <<<a>b><<b>a>> met <a>b zowel als met <b>a aantonen door de nevenschikking ermee te reduceren.

<<<a>b><<b>a>><a>b

<<<a>><<>a>><a>b stelling 7 met b

<<><<>a>><a>b stelling 7 met <a>

<<><<>>><a>b stelling 4

<<>><a>b axioma 2

<a>b axioma 2

en

<<<a>b><<b>a>><b>a

<<<>b><<b>>><b>a stelling 7 met a

<<<>b><>><b>a stelling 7 met <b>

<<<>><>><b>a stelling 4

<<>><b>a axioma 2

<b>a axioma 2

Dat, wanneer twee punten a en b wederzijds simultaan zijn, ze identiek moeten zijn, drukt uit dat <> anti-symmetrisch is.

QED

Merk op dat a =b voor twee punten a en b niet anders is dan de notatie a ↔ b, a en b hebben dezelfde waarde, waarbij de waarde zelf niet moet gekend zijn.

Maar: de gelijkheid van drie punten a, b, c wordt uitgedrukt (onder andere) door de veel ingewikkelder welgevormde haakuitdrukking <<a<b>><a<c>><b<a>><b<c>><c<a>><c<b>>>. Dit punt heeft waarde <> dan en slechts dan wanneer de drie componenten dezelfde waarde hebben, wat die ook moge zijn, en dat is een heel andere relatie dan a ↔ b ↔ c.

Eigenschap 3: transitiviteit

Te bewijzen

Wanneer <a>b aanwezig is EN b<c> aanwezig is, dan is ook <a>c aanwezig.

Deze uitdrukking in de standaard taal moeten we eerst omzetten in een welgevormde haakuitdrukking zonder een a priori te gebruiken.

De conjunctie kunnen we reeds uitdrukken, dus de uitspraak in de standaard taal kunnen we herschrijven als volgt: wanneer <<<a>b><b<c>>> aanwezig is, is ook <a>c aanwezig. Deze nieuwe uitspraak in de standaard taal kunnen we nu interpreteren als de aanwezigheid van de conjunctie van <<<a>b><b<c>>> en <a>c wanneer de conjunctie <<<a>b><b<c>>> aanwezig is. Voor de conjunctie van <<<a>b><b<c>>> en <a>c vormen we de welgevormde haakuitdrukking: <<<a>b><b<c>><<a>c>>. We moeten dus aantonen dat <<<a>b><b<c>>> en <<<a>b><b<c>><<a>c>> onder exact dezelfde voorwaarden dezelfde waarde hebben. Dit wordt in de tabel hieronder uitgevoerd, waarbij de laatste twee kolommen niet te onderscheiden zijn van elkaar, behalve hun kolomkop.

QED

Merk op dat dit geen bewijs is in de standaard taal en dat dit geen enkele onduidelijkheid meer overlaat. In de welgevormde haakuitdrukking die het bewijs levert worden alle veronderstellingen uitgedrukt, en ENKEL dan zijn de bedoelde uitdrukkingen niet te onderscheiden van elkaar.

We kunnen dit ook op een andere manier zien. In de tabel hieronder hebben we de rijen weggelaten die niet voldoen aan de aanwezigheid van ZOWEL <a>b als <b>c.

We stellen nu vast dat steeds <a>c aanwezig is.

Dit bewijst dat <> transitief is.

QED

Noteer: we kunnen de transitiviteit in de andere richting eveneens bewijzen met a<b>, b<c> en a<c>.

Gevolg: <> als binaire relatie is een partiële orderelatie

Uit de drie eigenschappen, reflexiviteit, anti-symmetrie en transitiviteit, volgt dat <><<>> een partiële orde relatie is.

QED

Noteer

We willen niet nalaten om op de complexiteit van het begrip “partiële orderelatie” te wijzen. Om deze relatie aan te tonen hebben we de conjunctie moeten gebruiken, en die relatie hebben we heel precies moeten afleiden uit het haakformalisme zonder a priori te gebruiken. Dus de relatie van simultaneïteit is enkel een partiële orderelatie wanneer men DAARENBOVEN ook de relatie van conjunctie veronderstelt! De relatie van simultaneïteit is dus primitiever dan een partiële orderelatie. Inderdaad hebben we aanneembaar gemaakt dat het de meest primitieve binaire relatie is. Deze kan als een nevenschikking van symbolen geformaliseerd worden in het haakformalisme.