Het modulo4 model is het eerste model (na modulo2 en modulo3) waarin we er niet meer omheen kunnen om getallen te gaan gebruiken voor de eenheden zelf (tot nu toe konden we blijvend een verschil maken tussen een eenheid en de intensiteit van een eenheid, en de structuren konden we altijd met slechts vier eenheden modelleren). Dit zal blijven gelden voor mogelijke andere “moduloN” modellen.

We kunnen er nu niet meer omheen om de structuur van de gehele getallen in het haakformalisme te modelleren, en dit doen we terug enkel gebaseerd op “ja” en “neen”. Dus om nu de structuur van de gehele getallen te modelleren vertrekken we van aspecten van getallen (eigenschappen van getallen) die ofwel waar zijn (waarde “ja”), ofwel onwaar zijn (waarde “neen”) in een modulo4 model. Deze aspecten noemen we de minimale onderscheidingen die aan de basis liggen van de gehele getallen. We noemen het onderscheidingen omdat we expliciet elk aspect onlosmakelijk verbonden zien met zijn inbedding, het symbool dat het getal voorstelt heeft ofwel waarde “ja”, ofwel waarde “neen” in het modulo4 model. Het zijn minimale onderscheidingen omdat we ons kunnen voorstellen dat elk “moduloN” model dat op “ja” en “neen” gebaseerd kan worden meer onderscheidingen, aspecten en eigenschappen zal toevoegen zodanig dat er nog meer relaties tussen getallen kunnen gemodelleerd worden naarmate N groter gekozen wordt.

We vertrekken dus van:

Elk getal is van een soort modulo4. Deze soort is dus één van de vier congruentie-klassen modulo4. Geen enkel getal komt in twee congruentie-klassen terecht. De klassen sluiten elkaar dus uit. Elk priemgetal komt dus ook in een klasse terecht en het blijkt dat sommige priemgetallen op een unieke manier kunnen voorgesteld worden als som (verschil) van kwadraten van twee gehele getallen x en y, kwadraten die daardoor onvermijdelijk positieve getallen zijn.

Onderscheiding a komt overeen met “congruent +1 modulo4”. De priemgetallen die tot deze groep behoren kunnen zowel in het patroon x²-y² als in het patroon x²+y² geschreven worden. Dit is een disjunctie van twee patronen.

Onderscheiding b komt overeen met “congruent -1 modulo4”. De priemgetallen die tot deze groep behoren kunnen enkel in het patroon x²-y² geschreven worden.

Onderscheiding c komt overeen met “congruent +2 modulo4” dus ook “congruent -2 modulo4”. Er is maar één priemgetal dat enkel als x²+y² geschreven kan worden en dat is het getal 2.

Onderscheiding d komt overeen met “congruent 0 modulo4”.

Enkele relaties

Uit de definities van c en d volgt dat c simultaan is met d, een viertal is ook een tweetal, er geldt dus altijd: <d>c heeft waarde “ja” en de relatie van simultaneïteit met c is dus de uitdrukking van een even getal. Uiteraard is een even getal ook uit te drukken als cd. De interpretatie is: cd is ervaren als c of d ervaren is (en dus ook als zowel c als d ervaren is). We hebben immers bij elk even getal de keuzevrijheid om het te beschouwen als “een tweevoud of een viervoud”, het even getal zal altijd een tweevoud zijn (en soms ook een viervoud). Dit is niet anders dan <<een getal van soort “congruent +2 (dus ook -2) modulo4”>> of <<een getal van soort “congruent 0 modulo4”>>. Er is dus een opvallende asymmetrie tussen even getallen en oneven getallen in modulo4. Want een oneven getal kan ook uitgedrukt worden door een disjunctie, namelijk de disjunctie ab. De disjunctie ab is niet verschillend van het vectorproduct a•b want a (dit is: congruent +1 modulo4) en b (dit is: congruent -1 modulo4) sluiten elkaar uit, zijn niet simultaan realiseerbaar. Een voorbeeld van zo’n getal is 3 (als het product 1×3). Andere voorbeelden zijn ook 15 (het product 5×3) en ook 4087 (het product 61×67). Dit geldt niet voor de disjunctie cd.

In het universum van de gehele getallen hebben we met de hierboven uitgedrukte relaties maar een deel van de mogelijkheden beschreven want we moeten ons niet beperken tot ofwel even ofwel oneven getallen. De disjunctie ad bijvoorbeeld drukt een product uit van twee soorten getallen: één congruent +1 modulo4 en één congruent 0 modulo4. Een voorbeeld van zo’n getal is 20. We kunnen het beschouwen als een getal “congruent +1 modulo4” of ook als een getal “congruent 0 modulo4” en dus ook als een getal “congruent +2 (dus ook -2) modulo4”. En aangezien de twee soorten “congruent +1 modulo4” en “congruent 0 modulo4” elkaar uitsluiten is ook hier ad niet verschillend van a•d.

Indien we nu een zuiver viervoud willen uitdrukken in het volledige domein van de gehele getallen (en niet enkel in het domein van de even getallen), dan moeten we ook de eis uitdrukken dat een viervoud geen oneven getal is. Dat betekent dat we de conjunctie <<d>ab> (of <<d>•a•b>, of of <<d>a•b>, of of <<d>•ab>) beschouwen, de conjunctie dus van d, onze focus en <ab>, iets anders dan een oneven getal. Dat impliceert dus de conjunctie <<cd>ab> enz…

Het is hierdoor duidelijk dat we een volledig onderzoek moeten voeren met behulp van de meest uitgebreide tabellen om de structuur van de gehele getallen te ontrafelen in vier onderscheidingen.

Het universum van vier soorten

Hieronder geven we de volledige lijst van de 16 mogelijkheden voor vier aspecten (a, b, c, d) zodanig dat we deze lijst kunnen interpreteren voor gehele getallen. We zullen deze tabel dan op verschillende manieren ordenen. De laatste vier kolommen geven een aantal relevante relaties waarvan we er al een paar besproken hebben.

Enkel de even getallen

ab met waarde <> is oneven dus <ab> is even, zo genereren we een tabel met enkel even getallen.

Er moet dan ook gelden dat <<d>c> niet anders is dan ab, anders uitgedrukt <d>c en ab hebben tegengestelde waarde. Inderdaad: in deze tabel modelleert de eerste rij een viertal dat geen tweetal is, (<d>c)•ab is niet “ja”, dus dit kan niet in het universum van de gehele getallen.

In deze tabel modelleert de tweede rij geen getal, een getal is immers altijd “congruent een van de vier klassen modulo4”.

De schrapping van beide rijen geeft de tabel:

Dit toont duidelijk de rol van a•b•c•d: a•b•c•d discrimineert tussen een viertal (het product van twee tweetallen) en een tweetal. In deze tabel is ook duidelijk dat de disjunctie ab kan vervangen worden door de 2-vector a•b, maar dit geldt niet voor de disjunctie <d>c.

Enkel de oneven getallen

De oneven getallen genereren we vanuit de volledige tabel door enkel cd gelijk aan “neen” te selecteren.

De laatste rij modelleert een product van priemgetallen die verschillend zijn van het getal twee. Een van de getallen van het product is congruent +1 modulo4 en het andere is congruent -1 modulo4.

Deze rij ten opzichte van de andere wordt gediscrimineerd door a•b•c•d. We merken nu op dat dit dezelfde soort discriminatie is als voor de even getallen, namelijk: twee aspecten “ja” komen overeen met de waarde “neen” voor a•b•c•d. Dus voor zowel de even getallen als de oneven getallen discrimineert a•b•c•d tussen een priemgetal en een product ervan. Producten van even en oneven priemgetallen zullen we verder onderzoeken.

Enkel de priemgetallen

Als we een tabel maken met enkel de priemgetallen dan wordt dit:

Deze tabel demonstreert duidelijk dat de vier soorten (namelijk a, b, c en d) elkaar uitsluiten, de conjunctie van een willekeurige keuze van twee van de vier heeft waarde “neen”.

Enkel de producten van priemgetallen

De lijst beginnen we nu met de rij die de viertallen modelleert en de tweede rij modelleert het product van een priemgetal congruent +1 modulo4 en een priemgetal congruent -1 modulo4 en we vullen aan met alle andere rijen die producten modelleren.

Ook in deze tabel zijn er rijen die geen getallen kunnen modelleren (als d waarde <> heeft en c toch de tegengestelde waarde). Deze rijen kunnen we schrappen, wat we expliciet tonen in de tabel.

Deze tabel kunnen we verder reduceren door enkel de rijen op te nemen die de waarde <<>> aan d toekennen, immers de waarde <> voor d is overtollige informatie: d modelleert hoe dan ook een even getal wat al door c gemodelleerd wordt. De volgende tabel geeft de mogelijke getallen als producten van priemgetallen.

Deze tabel toont duidelijk dat de vier soorten producten (namelijk ab, bc, ac en abc) elkaar insluiten, de disjunctie van twee van de vier heeft waarde <>.

De rol van a•b•c•d

We maken nu een nieuw overzicht en vertrekken terug van de volledige tabel van de vier soorten getallen. Die splitsen we nu op in twee tabellen.

Een tabel met a•b•c•d met waarde <>:

en een tabel met a•b•c•d met waarde <<>>:

Beide tabellen modelleren duidelijk dat de discriminatie door a•b•c•d volledig symmetrische tabellen oplevert. De eerste tabel wordt gekarakteriseerd doordat er een oneven aantal aspecten waarde <> hebben, de tweede tabel wordt gekarakteriseerd doordat er een even aantal aspecten waarde <> hebben. Dit betekent dus dat het onmogelijk is dat er zich priemgetallen in de tweede tabel bevinden, het zijn allemaal producten van priemgetallen. In de eerste tabel zijn zowel priemgetallen als producten van priemgetallen gemodelleerd. Dus de eerste tabel modelleert de disjunctie “priemgetal” of “product van (drie soorten) priemgetallen”, maar daar zit ook een mogelijkheid bij die geen getal kan modelleren (namelijk een viertal dat geen tweetal is).

De gekozen interpretatie van de kolommen en van hoe <> gelezen wordt, bepaalt hoe we soorten kunnen modelleren die zich als getallen gedragen. Inderdaad, als gevolg van onze keuze moeten we in de eerste tabel en in de tweede tabel rijen schrappen die geen getallen modelleren.

In de tabel a•b•c•d met waarde <> zijn er zo twee rijen (want een viertal moet ook een tweetal zijn):

In de tabel a•b•c•d met waarde <<>> zijn er drie rijen (de eerste rij kan geen getal modelleren omdat alle onderscheidingen die we voor getallen hanteren “neen” zijn):

We laten de rijen weg die geen getallen modelleren en we voegen nog een relevante kolom bij (namelijk a•b•c) en sorteren beide tabellen op de waarde van kolom d, en dan de waarde van kolom c.

De tabel a•b•c•d met waarde <>:

De tabel a•b•c•d met waarde <<>>:

Uit deze ordening volgt overduidelijk dat de waarde van d exact gerelateerd is met de waarde van a•b•c (ofwel tegengesteld ofwel gelijk). Dit is natuurlijk niet anders dan het creatief product <d<a•b•c>><<d>a•b•c>, geschreven als disjunctie of geschreven als conjunctie als <<d<<a•b•c>>><<d><a•b•c>>> en dus als a•b•c•d of (a•b•c⊗<a•b•c>)_d.

Aspecten die dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is kunnen we sommeren. De overgang van d met waarde <<>> naar d met waarde <> gebeurt door een getalsom, namelijk de som van twee “tweevouden die geen viervoud zijn” en waarvan de som dus een viervoud is. Om sommen te kunnen modelleren zullen we de structuur van de gehele getallen eerst volledig moeten modelleren.

De twee tabellen gooien we nu weer samen en selecteren enkel de rijen die geen viervoud zijn. Zij geven ons de relaties die voor priemgetallen relevant zijn. In totaal vinden we dus 7 relevante rijen.

De structuur van de gehele getallen

Door gebruik te maken van de inzichten die uit de tabellen kunnen begrepen worden, zullen we nu aantonen dat de structuur van de gehele getallen (in een onderscheidingen universum met vier onderscheidingen) de structuur is van het creatief product met als toegevoegde onderscheiding een “laatst toegevoegde onderscheiding” die als de intensiteit van het soort getal kan geïnterpreteerd worden. Dus de gehele getallen zijn ook de intensiteiten van de soorten gehele getallen. We zullen tezelfdertijd aantonen dat het getal 2 (en dus dualiteit enz…) een speciale rol speelt.

Een eerste onderscheid dat we moeten maken is de beslissing nemen “getal versus iets anders dan een getal” voor de symbolen die we gaan gebruiken. “Iets anders dan een getal” modelleert het supremum van de tralie, dat we dus kiezen als <<>>. Het infimum is dan <>, het “ja, dit is een getal”, gelijk welk getal waarbij je kan kiezen om het als een “+1modulo4”, een “-1modulo4”, een “+2modulo4” of een “0modulo4” te beschouwen. Van deze vier zijn er maar drie noodzakelijk want een getal gelijk aan “0modulo4” is ook een getal waarvan we kunnen kiezen om het als een “+2modulo4” te beschouwen.

De tralie wordt dan opgespannen door drie onderscheidingen op hetzelfde niveau, namelijk a, b en c, waarbij de relatie tussen de drie gelijkwaardigheid is (de transformatie, de inbedding van het vectorproduct), zoals aangeduid in de tabel hieronder waarin we de equivalente 2-vectoren opnemen.

Dit betekent dat er geldt: a•b•c↔<b•c>•<a•c>•<a•b>↔<<a•b>>•<a•b>↔<>↔abc en ook <<>>↔<<a><b><c>>

Het volgende niveau wordt dan door de inbeddingen gemodelleerd:

Dit betekent dat er geldt: <a>•<b>•<c>↔<<b•c>>•<<a•c>>•<<a•b>>↔<<a•b>>•<<a•b>>↔<<>>↔<<a><b><c>> en ook <>↔<<a>•<b>•<c>>

Dit resulteert dus in de volgende tralie met 8 elementen:

Dit is niet meer en niet minder dan de tralie die gegenereerd wordt door een creatief product.

Priemgetallen en hun producten

De tralie maakt duidelijk dat er een verschil is tussen priemgetallen en hun producten. Om dat verschil duidelijk te maken gaan we over op een nieuwe notatie die we in de volgende tralie introduceren en we geven een nieuwe notatie aan producten als een Ri waarbij i ook verwijst naar een restklasse modulo4.

We bewijzen de coherentie van de gebruikte notering.

(P1)(P3) is altijd een product congruent -1, (R3) want (4n+1)(4n-1)=16n²-1

(P3)(P2) is altijd een product congruent 2, (R2) want (4n-1)(4n+2)=16n²+4n-2

(P1)(P2) is altijd een product congruent 2, (R2) want (4n+1)(4n-2)=16n²-4n-2

De priemgetallen sluiten elkaar uit. Dus <<a><b><c>>↔<<>>. De producten sluiten dus elkaar in want dan is <a><b><c>↔<>.

Voor alle duidelijkheid is de soort (de eenheid) een restklasse modulo4. Er is hierbij geen onderscheid tussen de priemgetallen of producten van priemgetallen die tot die soort behoren.

Dus voor de restklasse +1 is er geen verschil tussen de priemgetallen (en producten van priemgetallen) uit de volgende tabel, waarbij elk op twee manieren kan uitgedrukt worden:

Dus voor de restklasse +2 (niet verschillend van -2) is er maar één priemgetal dat maar op één manier kan uitgedrukt worden (en uiteraard meerdere producten van dat priemgetal):

Dus voor de restklasse -1 is er geen verschil tussen de priemgetallen (en producten van priemgetallen) uit de volgende tabel en elk kan maar op één manier uitgedrukt worden:

Machten van getallen

In de tralie valt op dat er geen producten van gelijkaardige soorten getallen opgenomen zijn (“machten”) en dat ook (R1) niet voorkomt. De priemgetallen zijn eenheden en de intensiteit van de priemgetallen kan onder andere gegeven worden door de macht ervan.

(P1)(P1) is altijd een product congruent +1 dus (R1) want (4n+1)(4n+1)=16n²+8n+1 dus een hogere macht is ook altijd een (R1)

(P3)(P3) is altijd een product congruent +1 dus (R1) want (4n-1)(4n-1)=16n²-8n+1 dus een hogere macht is ook altijd een (R1)

(P2)(P2) is altijd een product congruent 0 dus (R0) want (4n-2)(4n-2)=16n²-16n+4 enz… dus een hogere macht is ook altijd een (R2)

Als we deze producten willen modelleren zullen we meerdere tralies die elkaar uitsluiten moeten beschouwen en zo zullen we een som van tralies kunnen en moeten modelleren.

De tralie van de getallen als een combinatie van twee tralies

De tralie kunnen we beschouwen als een combinatie van twee 1-splitsing tralies (tralies met slechts 3 niveaus), zoals we dat ook voor het creatief product gedaan hebben. De twee tralies geven we een andere kleur.

Dat is dus enerzijds een 1-splitsing tralie voor de oneven getallen, voor elke onderscheiding (dus a of b) zijn er meerdere voorbeelden:

En anderzijds een tralie voor de even getallen, voor elke onderscheiding (dus a of b) zijn er meerdere voorbeelden, maar voor c is er maar één mogelijkheid, namelijk het getal 2:

We hebben voor deze voorstelling gekozen omdat het een concrete invulling is van het algemeen geval (de tralie van het creatief product). In deze concrete (deel)tralie van de even getallen, de producten (R2), zit ook structuur die echter niet gediscrimineerd wordt. Inderdaad: de vier elementen van deze tralie coderen slechts drie onderscheiden elementen: het getal 2 als het supremum, a•b•c als “ja” als infimum en het product (R2) als een concrete invulling van het infimum dat waarde “ja” krijgt als we gelijk welk getal herkennen dat even is. We hebben de conjunctie <ab> bijgevoegd die uitdrukt dat de conjunctie niet verschillend is van de transformatie, het gevolg van het feit dat a, b en c elkaar uitsluiten.

Door het feit dat in deze tralie het centraal niveau niet onderscheiden wordt, is deze tralie geen 1-splitsing maar een simultaneïteitsinterval met supremum het getal 2 (dat we hier ook als (P2) herkennen), een infimum (dat we hier als (P1)(P2)(P3) herkennen met waarde <>, dus gelijk welk geheel getal) en daartussen een even getal dat we noteren als (R2).

Het getal 2

Het priemgetal 2 is een uniek getal in deze tabellen, getal dat we dat noteren als (P2). Het is het unieke supremum van de restklasse (R2) die twee verschillende realisaties weergeeft van het universele getalproduct (P1)(P2)(P3): (P2)(P1) en (P2)(P3). Dit betekent dat (R2) niet discrimineert tussen de twee soorten oneven getallen.

(R2) kan ook voorgesteld worden door (P1)(P2)(P3)↔a•b•c want (P1)(P2)(P3) is altijd een product congruent 2 dus (R2) want (4n+1)(4n-2)(4n-1)=(16n²-4n-2)(4n-1)=48n³-16n²-16n²+4n-8n+2 (en gelijkaardig voor de factor (4n+2)). Er geldt dus (R2)↔(P1)(P2)(P3)↔(P2)(R3)↔(2)(R3)↔a•b•c↔<>. In woorden uitgedrukt betekent dit dat een geheel getal herkennen gegeven wordt door de volgende uitspraak: “ja zeggen aan a•b•c”. Op zijn beurt betekent dit: “ja zeggen aan één van de drie onderscheidingen” of (dit is een disjunctie) “ja zeggen aan de drie onderscheidingen”. En volledig equivalent: “ja zeggen aan a•b•c” is “neen zeggen aan twee van de drie onderscheidingen” of (dit is een disjunctie) “neen zeggen aan geen enkele van de drie onderscheidingen”.

Laten we dit eens expliciet schrijven, rekening houdend met het feit dat (P1), (P2) en (P3) elkaar uitsluiten, dus niet simultaan ervaren kunnen worden.

“Ja zeggen aan a•b•c” is niet anders dan:

• (“Ja” zeggen aan (ofwel (P1), ofwel (P2) ofwel (P3))) of (“Ja” zeggen aan (zowel (P1), zowel (P2), zowel (P3)))

• (“Neen” zeggen aan (((P1) en (P2)), ofwel ((P1) en (P3)), ofwel ((P2) en(P3))) of (“Neen” zeggen aan (noch (P1), noch (P2), noch (P3)))

Wanneer men hierin het samenspel van disjunctie en exclusieve disjunctie begrijpt, heeft men ook het inzicht waarom het zo moeilijk is voor de klassieke “waarheidsvinding” (die enkel exclusieve disjunctie aanvaardt als bewijs) om de structuur van de getallen te modelleren (zie verder bij het vermoeden van Goldbach).

Twee soorten “neen”

Dit leidt tot de onvermijdelijke conclusie dat we twee soorten “neen” moeten onderscheiden: “neen want het is geen getal” (dit hebben we reeds voorgesteld als <<>>) versus “neen want het is geen even getal”. Als we het getal 2 dus als het supremum van de laatste tralie voorstellen en “ja” zeggen aan 2, dan moeten we nu een mogelijk symbool uit de tralie van de oneven getallen kiezen als “neen”, symbool dat verschillend is van <<>> en dat we dus kunnen kiezen uit alle oneven priemgetallen, namelijk 1, 3, 5, 7, 11, 13 enz.... zonder een verder modulo4 onderscheid. En die oneven priemgetallen zijn ook gestructureerd. Als we de oneven priemgetallen in grootte ordenen zoals we zojuist gedaan hebben en i de indicator is van de ordening, dan impliceert een getal n_i een getal n_i-1 en dat voor alle i, dus 1 is het infimum en het supremum is onvermijdelijk <<>>. Dit is evenzeer een simultaneïteitsinterval. Zowel het product (P1)(P1) als (P3)(P3) is een +1 modulo4 getal en 1 is ook het infimum van alle +1 modulo4 getallen. Dus “neen want het is geen even getal” is dus minimaal 1 en dit kunnen we gebruiken als de kleinste eenheid die een intensiteit kan krijgen. Elk oneven getal kan immers geschreven worden als een product (1)(P1)(P3), en elk even getal als een product (1)(P1)(P2)(P3).

Het getal 1 als fundamentele eenheid

Zowel (P1)(P1) als (P3)(P3) is gelijk aan de eenheid (R1) en de kleinste van deze eenheden is 1 waarbij dus 1×1=1. Het product van getallen drukt uit dat ze elkaars eenheid en intensiteit zijn terwijl ze elkaar uitsluiten. De intensiteit van een eenheid hebben we gemodelleerd met een creatief product. We hebben bewezen dat als twee onderscheidingen waarde <<>> hebben, dat dit een voldoende voorwaarde is voor het niet kunnen discrimineren van een creatief product en een vectorproduct. De waarde van de toegevoegde onderscheiding speelt dan geen rol, we kunnen dan kiezen tussen zowel de waarde <<>> als de waarde <>. Het is dus mogelijk om te kiezen dat de drie betrokken onderscheidingen waarde <<>> hebben, maar slechts één kan waarde <> hebben, de laatst toegevoegde onderscheiding. Hieruit volgt dat we kunnen veronderstellen dat het getal 1 de waarde <<>> of <> heeft en dus het infimum is van een ordening van symbolen met allemaal waarde <<>>. Het speciale aan dat getal is dat een product van twee getallen waarvan één gelijk is aan 1 niet kan onderscheiden worden, altijd geldt dat 1×N=N. Met dat symbool verlaten we dus de dualiteit van “iets” versus “iets anders”, een dualiteit die we wel konden modelleren door modulo4. Alle gebruikte symbolen (bovenop de herkenning van een getal), inclusief het symbool 2, hebben dezelfde waarde en deze is <<>>. We verlaten daarmee de mogelijkheid om het verschil uit te drukken tussen een eenheid en een intensiteit. En inderdaad hebben we bewezen dat de voorwaarde is om te kunnen tellen is: “alle gebruikte symbolen hebben dezelfde waarde die verder niet gekend is” en dat we dan tellen met een conjunctie (of duaal een disjunctie).

De getalsom

We zijn nu in staat de getalsom voor gehele getallen te introduceren.

We nemen een x, we nemen een y en van beide veronderstellen we dat het een oneven priemgetal is. Dus zowel x als y zijn concrete getallen die onderliggend een structuur hebben, de structuur van de oneven getallen. Die karakteristiek hebben ze gemeenschappelijk, dus zowel x als y kan een a zijn (priemgetal modulo +1↔(P1)) of een b zijn (priemgetal modulo -1↔(P3)).

We nemen dan twee tralies die de structuur hebben van de oneven getallen en maken daarmee een nieuwe tralie waarmee we een som uitdrukken als een conjunctie (een <<x><y>>) die niet verschillend is van een transformatie (een <x•y>), wat betekent dat ze elkaar insluiten, dus dat xy waarde <> heeft. We kunnen dus vrij kiezen om x of y de waarde <> te geven en we kiezen om dit voor x te doen en niet voor y, dus beide sluiten elkaar uit en dit geldt voor alle oneven priemgetallen, waarbij het irrelevant is of ze nu van het type (P1) of van het type (P3) zijn, ze zijn enkel zeker niet van het type (P2).

De tralie drukt het volgende uit: 2 is het enige priemgetal dat behoort tot de klasse congruent 2 modulo4. Dit definieert een som van twee eenheden x en y die elkaar uitsluiten (dus <<x><y>> heeft waarde <<>>) en waarvan de transformatie ook beide uitsluit (dus <x•y> heeft waarde <<>>). Die eenheden stellen we dus voor door hetzelfde symbool en dit kiezen we als 1, en dit alhoewel elkeen een andere onderliggende structuur kan hebben. Dit definieert dus de som 1+1. Dus 1+1 is een conjunctie die niet verschillend is van een transformatie. Dit kan gemakkelijk uit gebreid worden tot 1+1+1 en verder terwijl we enkel x de waarde <> blijven geven (en zijn onderliggende structuur (P1)(P2)(P3)↔<>). Alle andere symbolen krijgen de waarde <<>>. Dus de conjuncties zijn niet anders dan de conjuncties die gebruikt worden bij de ordening. In de voorgestelde tralie herkennen we dat door de metriek van de niveaus tussen 1 en <<>> met een x↔<> die zich daar op gelijk welk niveau kan bevinden en telkens een structuur (P1)(P2)(P3)↔<> zal hebben, structuur die voor ons niet toegankelijk is indien dit niet nodig is, <> staat altijd voor “ja”. Als we tellen dringen we dus niet verder door in de tralie dan het niveau waarop zich de 1 (of het kleinste priemgetal) bevindt. Dat drukt uit dat we geen bijkomend onderscheid kunnen of willen maken. Fijner dan dat niveau bevinden zich de klassen modulo4 die de eenheid modelleren waarin we niet doordringen en die onderscheiden worden door a, b en c, en zo we willen kunnen we dat uitbreiden naar nog meerdere klassen moduloN met N een geheel getal. Wat we dus tellen is de intensiteit van een eenheid, eenheid die niet in vraag gesteld wordt, eenheid die een abstractie is, een patroon. En dit betekent dus dat we 1 met gelijk welk patroon kunnen verbinden: het is de eenheid die we tellen, waarvoor we een “onderliggend verschil” zouden kunnen maken, waarvoor we nu kiezen om dat niet te doen. Met een voorbeeld: we kunnen beslissen om “stukken fruit” te tellen en niet “soorten fruit” alhoewel elk stuk fruit ook een soort fruit is. De eenheid “1” is “een stuk fruit” en niet “een soort fruit”, de eenheid is de herkenning van een herkende invariant waarbij we de keuze maken om geen bijkomend onderscheid te maken alhoewel dat mogelijk zou kunnen zijn: of dat fruit nu een appel is of een banaan (of een kiwi, of… een “soort” uit de mogelijke soorten fruit) is irrelevant op dezelfde manier als het irrelevant is of dat priemgetal nu van type (P1) of (P3) is.

Het infimum van de tralie (a•b•c) is een ervaren getal, een x met waarde <>, dat zowel als een priemgetal “+1modulo4”, als een priemgetal “-1modulo4” of als een priemgetal “+2modulo4” kan beschouwd worden. In het algemene geval is dit getal even. Dit is trouwens niet meer en niet minder dan het bewijs van “het vermoeden van Goldbach” dat alle even getallen groter dan 2 te schrijven zijn als een som van twee priemgetallen, waarbij het irrelevant is van welk type ze zijn.

Op het niveau 4 in de tralie staat de gelijkheid 1+1=2. Dit kunnen we ook lezen als een dubbelgetal, of correcter, als de 1-splitsing (1, 1). Beide eenheden zijn onafhankelijk van elkaar en kunnen dus elk een intensiteit krijgen.

Het vermoeden van Goldbach

De moeilijkheid voor het aanvaarden van “de tralie vorm” van “het vermoeden van Goldbach” ligt in de focus van de klassieke logica op de exclusieve disjunctie als enige weg om “waarheid” te bewijzen. Op een bepaald moment zullen we de exclusieve disjunctie toch moeten loslaten en behalve 2-vectoren ook n-vectoren veronderstellen. Dat is de enige weg om basisvectoren te kunnen onderscheiden, en onvermijdelijk moeten we ons dan ook concentreren op aantallen basisvectoren om de werkelijkheid te beschrijven. We zullen dan meer dan twee onderscheidingen moeten kunnen onderscheiden (dus naast a en b zullen we ook een c moeten introduceren) en de exclusieve disjunctie krijgt dan een andere structuur.

Zo hebben we bewezen dat de 3-vector a•b•c ervaren betekent: de disjunctie “1 onderscheiding ervaren of 3 onderscheidingen ervaren” is ervaren. Dit is geen exclusieve disjunctie. De getallen 1 en 3 zijn oneven en in dit geval ook priemgetallen, die dus de functie van eenheid voor getallen kunnen innemen.

Volledig gelijkaardig vinden we dat dat de 4-vector a•b•c•d ervaren betekent: de disjunctie “1 onderscheiding niet ervaren of 3 onderscheidingen niet ervaren” is ervaren. Dit zijn terug oneven getallen. Dit volgt ook duidelijk uit de definitie van het vectorproduct, namelijk dit is in hybride notatie: <<<a•b•c>><d>><<a•b•c>d>.

Volledig gelijkaardig vinden we dat dat de 5-vector a•b•c•d•e ervaren betekent: de disjunctie “1 ervaren of 3 ervaren of 5 ervaren” is ervaren. De getallen 1, 3 en 5 zijn oneven en hier ook zijn ze priemgetallen.

De betekenis van een 6-vector is: de disjunctie “1 niet ervaren of 3 niet ervaren of 5 niet ervaren” is ervaren. Enzovoort.

Om de betekenis van een n-vector uit te drukken zullen we enkel (de disjunctie) van een oneven aantal onderscheidingen nodig hebben en sommige oneven getallen zijn priemgetallen. De eerste oneven priemgetallen zijn 1, 3, 5, 7 en hier zien we dus ook dat vier eenheden een minimum zijn. Van zodra het oneven getal 9 bereikt wordt, kan een onderliggende structuur met 3 onderscheidingen gemodelleerd worden. We kunnen dit verduidelijken vanuit het modelleren van de priemgetallen modulo8.

Een alternatief bewijs voor het vermoeden van Goldbach

Een alternatief bewijs voor het vermoeden van Goldbach werd geleverd door René Coppitters. Het is verrassend dat hij toch gebruikt maakt van de exclusieve disjunctie, maar het is zeker niet verrassend dat het bewijs maximaal gebruik maakt van het reeds opgemerkte speciale verschil tussen een tweetal en een viertal.

Te bewijzen: alle even getallen groter dan 2 zijn te schrijven als een som van twee priemgetallen.

Bewijs

De oneven getallen groter dan 2, noem deze soort o, zijn ofwel een priemgetal, noem ze p, ofwel een product van priemgetallen waarbij 2 niet optreedt, noem ze q.

Alle even getallen groter dan 2, noem deze soort e, zijn een veelvoud van 4 (een viervoud), noem deze soort v, ofwel twee minder, noem deze soort v-2. Deze laatste zijn degene met restklasse 2 in de modulo4 classificatie van getallen en we hebben reeds gezien dat ze daar een speciale plaats innemen tussen de restklassen /+1 en /-1. In de restklasse 1 en de restklasse 3 (of ook -1) zitten alle oneven getallen (en dus alle priemgetallen en producten van priemgetallen waarbij 2 niet optreedt). De som of verschil van twee getallen uit die restklassen (dezelfde, dus restklasse 1 met restklasse 1 of restklasse 3 met restklasse 3 of onderling, namelijk restklasse 1 met restklasse 3) is dus onvermijdelijk even. Dus geldt er ook dat de soort v-2 niet anders is dan de soort (p+q) (want p is verschillend van q, het is enkel als p gelijk zou zijn aan q dat de restklasse 0 of vier zou bereikt worden). Dus alle even getallen zijn de som van een priemgetal en een product van priemgetallen. Dus voor de soorten e, p en q geldt dat e=p+q.

Veronderstel dat Goldbach niet geldt, dus dat er een e_x is die niet kan geschreven worden als de som p_a+p_b, namelijk de som van twee priemgetallen.

Het getal e_x is van de soort e. We hebben zojuist bewezen dat dan geldt dat e_x=p_x+q_x en dus ook voor een willekeurige e_w geldt dan voor een nieuw getal e_y van de soort e: e_y=e_x-2e_w=p_x+q_x-2e_w=(p_x-e_w)+(q_x-e_w). Dus zowel (p_x-e_w) als (q_x-e_w) zijn van de soort o.

Dit betekent dus het volgende (als Goldbach niet geldt): stel dat (p_x-e_w)=p_a dan geldt niet dat (q_x-e_w)=p_b en ook dat, als (q_x-e_w)=p_b dat dan niet geldt dat (p_x-e_w)=p_a

Dit betekent dus dat (als Goldbach niet geldt): als (p_x-p_a)=e_w dat dan niet geldt dat (q_x-p_b)=e_w en ook dat, als (q_x-p_b)=e_w dat dan niet geldt dat (p_x-p_a)=e_w

Dit betekent dus dat (als Goldbach niet geldt), als (p_x-p_a)=e_w dat dan wel geldt dat (q_x-p_b)≠e_w en ook dat, als (q_x-p_b)=e_w dat dan wel geldt dat (p_x-p_a)≠e_w

Hieruit volgt onvermijdelijk dat (q_x-p_b)≠(p_x-p_a) als één van beide gelijk is aan de willekeurige e_w. We merken nu op dat er altijd geldt dat e_w=p_w+q_w en dus dat er een getal e_w' is van de soort e met e_w'=e_w-2p_w=q_w-p_w daarenboven dat p_x+p_a altijd van de soort e is, dus dat er een getal e_w” is van de soort e met e_w”=p_x+p_a-2p_a=p_x-p_a.

Conclusie: het is onmogelijk dat Goldbach niet geldt omdat het onmogelijk is dat (q_x-p_b)≠(p_x-p_a) als één van beide gelijk is aan een e_w (een getal van de soort e) en dat laatste geldt altijd.

QED

De intensiteit van een eenheid

Elke 2-vector uit de tralie (elk priemgetal, elk product van priemgetallen) vormt met <<>> een viergroep van Klein bij toevoeging van een laatste onderscheiding met behulp van het creatief product. De laatst toegevoegde onderscheiding modelleert dan de intensiteit van die eenheid (een intensiteit beschouwen we gewoonlijk als een concrete “hoeveelheid van een eenheid”). Het is slechts met dit soort creatief product dat associativiteit en een invers kan gedefinieerd worden. Dit herkennen we bij de getaloperatie machtsverheffing met zijn twee verschillende inversen. Het grondgetal van de logaritme speelt hierin een centrale rol en we hebben aangetoond dat elk grondgetal kan gebruikt worden dan en slechts dan als het van het type x=(1±k)^c (met 0<k<1) is waarbij het grondgetal 0 en het grondtal 2 dan limietvormen zijn.

Het algemeen geval voor de 2-vector x•y

In het algemeen zijn producten en inversen op de volgende manier in één tralie (één triade x•y, (y⊗x)_a, (x⊗y)_a) aan elkaar gerelateerd:

Een specifiek geval

In een specifiek geval spelen a, b en c dezelfde rol en ze kunnen dus ook als elkaars intensiteit beschouwd worden. Het blijkt dat dit ook abstracter geldt waarin we ook de restklassen terugvinden (de intensiteit van het priemgetal of de intensiteit van het product van priemgetallen). We geven in de onderstaande tabellen daarvan drie voorbeelden.

De interpretatie van a met b als toegevoegde

Voorbeeld

Neem a als een (P1) en b als een (P3). In deze tralie is a dus zijn eigen invers en functioneert als eenheid en b is de intensiteit van a. Dit zijn geen getallen maar klassen getallen. Dus a zijn alle priemgetallen van type 1 (ze kunnen zowel als (n²+m²) of als (n²-m²) geschreven worden), en b zijn alle priemgetallen van type 3 (ze kunnen enkel als (n²-m²) geschreven worden).

De welgevormde haakuitdrukking die overeenkomt met het creatief product met b, genoteerd als (x⊗y)_b, wordt in zijn meest algemene vorm gegeven door <b<x>><<b><y>>. Dit onderscheidt zich niet van drie andere welgevormde haakuitdrukkingen: <b<x>>•<<b><y>>; <<bx><<b>y>> en <<bx>•<<b>y>>, en dit noteren we dus ook als <(<x>⊗<y>)_b>.

In het concrete geval van deze tralie is b niet anders dan (<<>>⊗<a>)_b en dit wordt gegeven door <<b>a>, waarbij geldt dat <<b><a>> waarde <<>> heeft. Het invers komt niet in deze tralie voor en wordt gegeven door (<a>⊗<<>>)_b en dit wordt gegeven door <ba>, het product (P1)(P3) komt wel in de tralie voor en is <a<b>><<a>b>∼(a⊗<a>)_b

De interpretatie van a met c als toegevoegde

Hieronder het bewijs dat <<a<<<a<b>><<a>b>>>><<a><<a<b>><<a>b>>>>∼b

<<a<<<a<b>><<a>b>>>><<a><<a<b>><<a>b>>>>∼

<<a<<<<b>><<>b>>>><<a><<<><b>><<<>>b>>>>∼

<<ab><<a>b>>∼

<<a><<a>>>b∼

<<a>a>b∼

b

De interpretatie van a met <a> als toegevoegde

We merken op dat enkel <a> kan optreden als intensiteit van a (en niet a zelf) indien we alle relaties uit de tabel willen behouden. Hieruit volgt dat enkel producten van priemgetallen, en dus gelijk welk getal, intensiteiten kunnen zijn van de eenheden modulo4.