Het creatief product vertoont ook onder de operatie van het vectorproduct de structuur van de viergroep van Klein. We geven hiervan twee voorbeelden.

De welgevormde haakuitdrukking die overeenkomt met het creatief product met a, genoteerd als (x⊗y)_a, wordt gegeven door <a<x>><<a><y>>. Dit onderscheidt zich niet van drie andere welgevormde haakuitdrukkingen: <a<x>>•<<a><y>>; <<ax><<a>y>> en <<ax>•<<a>y>>, en dit noteren we dus ook als <(<x>⊗<y>)_a>.

De volgende acht triades die samen met <<>> een viergroep van Klein vormen onder de transformatie (niet verschillend van conjunctie in dit geval) zijn natuurlijk met elkaar verbonden:

(x⊗<<>>)_a wordt gegeven door <a<x>>

(<<>>⊗y)_a wordt gegeven door <<a><y>>

<a<x>>; <<a><y>>; <<ax>•<<a>y>>.

<a<x>>; <<a>y>; <<ax>•<<a><y>>>.

<ax>; <<a><y>>; <<a<x>>•<<a>y>>.

<ax>; <<a>y>; <<a<x>>•<<a><y>>>.

<<a><x>>; <a<y>>; <<<a>x>•<ay>>.

<<a><x>>; <ay>; <<<a>x>•<a<y>>>.

<<a>x>; <a<y>>; <<<a><x>>•<ay>>.

<<a>x>; <ay>; <<<a><x>>•<a<y>>>.

Als voorbeeld van het patroon bewijzen we de eerste triade:

<a<x>><<a><y>>XOR<a<x>> drukken we uit in welgevormde haakuitdrukking:

<<a<x>><<a><y>>a<x>><<<a<x>><<a><y>>><a<x>>>

<<<a<x>><<a><y>>><a<x>>>

<<<<a><y>>><a<x>>>

<<a><y><a<x>>>

<<a><y>>

QED

Het bewijs voor <a<x>><<a><y>>XOR<<a><y>> verloopt analoog.

Op basis van deze gegevens kunnen dus acht Cayley tabellen gemaakt worden, we geven een voorbeeld met de eerste triade:

De vier betrokken punten vormen een tralie

Hier zijn geen invarianten, het is dus een basistralie

Daarenboven vormen het creatief product en zijn gecommuteerde vorm eveneens een triade en dus viergroep van Klein met <<>> onder de vector vermenigvuldiging.

Bewijs:

We veronderstellen (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>∼<a<x>>•<<a><y>> en zijn invers (y⊗x)_a∼<a<y>><<a><x>>∼<a<y>>•<<a><x>>

We berekenen (x⊗y)_a•(y⊗x)_a:

<<a<x>><<a><y>><<a<y>><<a><x>>>><<<a<x>><<a><y>>><a<y>><<a><x>>>

<<<<a<x>><<a><y>>a<y>><<a<x>><<a><y>><a><x>>>><<<<a<y>><<a><x>>a<x>><<a<y>><<a><x>><a><y>>>>

<<<xa<y>><y<a><x>>>><<<ya<x>><x<a><y>>>>

<xa<y>><y<a><x>><ya<x>><x<a><y>>

<xa<y>><ya<x>><y<a><x>><x<a><y>>

<<<xa<y>><ya<x>>>><<<y<a><x>><x<a><y>>>>

<a<<x<y>><y<x>>>><<a><<y<x>><x<y>>>>

<<<a<<x<y>><y<x>>>><<a><<y<x>><x<y>>>>>>

<<<a><<a>>><<y<x>><x<y>>>>

<<<y<x>><x<y>>>>

<y<x>><x<y>>

x•y

QED

We berekenen (x⊗y)_a•x•y:

<a<x>><<a><y>>XOR<<x>y><x<y>>

<<a<x>><<a><y>><<<x>y><x<y>>>><<<a<x>><<a><y>>><<x>y><x<y>>>

<<<<a<x>><<a><y>><x>y><<a<x>><<a><y>>x<y>>>><<<<<x>y><x<y>>a<x>><<<x>y><x<y>><a><y>>>>

<<a<x>><<a><y>><x>y><<a<x>><<a><y>>x<y>><<<x>y><x<y>>a<x>><<<x>y><x<y>><a><y>>

<<a><x>y><ax<y>><<y>a<x>><<x><a><y>>

<<<<a><x>y><<x><a><y>>>><<<ax<y>><<y>a<x>>>>

<<a><<<x>y><<x><y>>>><a<<x<y>><<y><x>>>>

<<a><<<<<x>y>x><<<x>y>y>>>><a<<<<x<y>>y><<x<y>>x>>>>

<<a><<<x><xy>>>><a<<<y><yx>>>>

<<a><x>><a<y>>

(y⊗x)_a

QED

Het resultaat is dus een gesloten groep, de viergroep van Klein, wat in de volgende Cayley tabel tot uiting komt:

Er is geen simultaneïteit in de triade x•y, (y⊗x)_a, (x⊗y)_a

(x⊗y)_a wordt gegeven door <a<x>><<a><y>>

(y⊗x)_a wordt gegeven door <a<y>><<a><x>>

AND van de twee

<<<a<x>><<a><y>>><<a<y>><<a><x>>>>

<<<a<x><<a<y>><<a><x>>>><<a><y><<a<y>><<a><x>>>>>>

<a<x><y>><<a><y><x>>

<<x><y><<a><<a>>>>

<<x><y>>

Dit is verschillend van <<>>

<a<x>><<a><y>>ANDx•y

<<<a<x>><<a><y>>><<x<y>><<x>y>>>

<<<a<x><<x<y>><<x>y>>>><<a><y><<x<y>><<x>y>>>>>

<<<a<x>y>><<a><y>x>>>

Dit is verschillend van <<>>

(x⊗y)_a wordt gegeven door <a<x>><<a><y>>

<<a<x>><<a><y>>><x<y>><<x>y>

<<a<x><x<y>><<x>y>><<a><y><x<y>><<x>y>>>

<<a<x><y>><<a><x><y>>>

<x><y><<a><<a>>>

<x><y>

Maar

<a<x>><<a><y>><x<y>><<x>y>

<<<a><x<y>><<x>y>><x<x<y>><<x>y>>><<a<x<y>><<x>y>><y<x<y>><<x>y>>>

<<<a<xy>><x<y><xy>><<x>y<xy>>>><<a<x<y>><<x>y>><xy>>

<<<a<xy>><x<y>><<x>y>>><<a<x<y>><<x>y>><xy>>

enz...