Het aantal basisvectoren die een volledige tralie opspannen wordt gegeven door de combinaties die mogelijk zijn in een bepaald universum. We geven de combinaties aan met C(n, k) waarin n het aantal onderscheidingen is in een universum en k het aantal dat hiervan in het vectorproduct gebruikt wordt. Zo is het aantal 2-vectoren in 3 onderscheidingen gelijk aan C(3, 2)=3. De C(n, k) getallen zijn de elementen van de driehoek van Pascal en met behulp van het haakformalisme kan aan dat patroon een betekenis gegeven worden.
We gaan stap voor stap te werk door onderscheidingen toe te voegen en de reeds bestaande basisvectoren te reconstrueren door het vectorproduct met de laatst toegevoegde onderscheiding.
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector |
1 |
<<>> |
1 |
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
1-vector |
1 |
a |
1 |
Constructie: 0-vector |
1 |
a•a=<<>> |
|
1+1=2 is het aantal van de 1-vectoren
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector wordt 1-vector |
1 |
b |
|
1-vector wordt 2-vector |
1 |
a•b |
1 |
Constructie: 1-vector |
1 |
a•b•b=a |
|
Constructie: 0-vector |
1 |
b•b=<<>> |
|
Herschikking geeft het patroon (1)-(2)-(1) of (<<>>)-(a, b)-(a•b)
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector |
1 |
<<>> |
|
1-vector |
2 |
a, b |
|
2-vector |
1 |
a•b |
1 |
1+2=3 en 2+1=3
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector wordt 1-vector |
1 |
c |
|
1-vector wordt 2-vector |
2 |
a•c, b•c |
|
2-vector wordt 3-vector |
1 |
a•b•c |
1 |
Constructie: 0-vector |
1 |
c•c=<<>> |
|
Constructie: 1-vector |
2 |
c•a•c=a, c•b•c=b |
|
Constructie: 2-vector |
1 |
c•a•b•c=a•b |
|
Als we de bijkomende 0-vector weglaten dan bevindt het hoogste vectorproduct zich juist halverwege.
Herschikking geeft het patroon (1)-(3)-(3)-(1) of (<<>>)-(a, b, c)-(a•b, a•c, b•c)-(a•b•c)
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector |
1 |
<<>> |
|
1-vector |
3 |
a, b, c |
|
2-vector |
3 |
a•c, b•c, a•b |
|
3-vector |
1 |
a•b•c |
1 |
1+3=4, 3+3=6 en 3+1=4
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector wordt 1-vector |
1 |
d |
|
1-vector wordt 2-vector |
3 |
a•d, b•d, c•d |
|
2-vector wordt 3-vector |
3 |
a•c•d, b•c•d, a•b•d |
|
3-vector wordt 4-vector |
1 |
a•b•c•d |
1 |
Constructie: 0-vector |
1 |
d•d=<<>> |
|
Constructie: 1-vector |
3 |
a•d•d=a, b•d•d=b, c•d•d=c |
|
Constructie: 2-vector |
3 |
a•c•d•d=a•c, b•c•d•d=b•c, a•b•d•d=a•b |
|
Constructie: 3-vector |
1 |
a•b•c•d•d=a•b•c |
|
Herschikking geeft het patroon (1)-(4)-(6)-(4)-(1) of (<<>>)-(a, b, c, d)-(a•b, a•c, b•c, a•d, b•d, c•d)-(a•b•c, a•c•d, b•c•d, a•b•d)-(a•b•c•d)
Soort vectorproduct |
Aantal |
Voorbeeld |
Hoogste vectorproduct |
|---|---|---|---|
0-vector |
1 |
<<>> |
|
1-vector |
4 |
a, b, c, d |
|
2-vector |
6 |
a•b, a•c, b•c, a•d, b•d, c•d |
|
3-vector |
4 |
a•b•c, a•c•d, b•c•d, a•b•d |
|
4-vector |
1 |
a•b•c•d |
1 |
Het patroon is hiermee duidelijk.
De omgekeerde richting (met steeds minder onderscheidingen) kan geconstrueerd worden door het hoogste vectorproduct de waarde <<>> te geven. Dit illustreren we in vier onderscheidingen: stel a•b•c•d=<<>>, dan geldt bijvoorbeeld dat d=a•b•c en dat heeft als gevolg dat alle vectorproducten in dubbel zullen aanwezig zijn, bijvoorbeeld a als a maar ook als b•c•d=b•c•a•b•c=a, en uiteindelijk zullen a, b en c overblijven.
Een volledige tralie kan dan opgebouwd worden door het aantal basisvectoren te verdubbelen, namelijk door ook de inbedding van elke basisvector te gebruiken.
De vectorproducten zijn ofwel zelfduaal of andersduaal, een onderscheiding inbedden resulteert ofwel in de inbedding van de oorspronkelijke welgevormde haakuitdrukking (dit noemen we zelfduaal), ofwel in de onveranderde oorspronkelijke welgevormde haakuitdrukking (dit noemen we andersduaal).
Er zijn altijd evenveel zelfduale als andersduale haakuitdrukkingen in één universum. Dit volgt uit de opbouw van de C(n,k) getallen. We geven een overzicht in de volgende tabel waarin de kolommen met kop A het aantal andersduale uitdrukkingen geeft en de kolommen met kop Z het aantal zelfduale uitdrukkingen geeft.
A |
Z |
A |
Z |
A |
Z |
A |
Som van A |
Som van Z |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
4 |
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
|
8 |
8 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
16 |
16 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
32 |
32 |
Een 2-vector a•b modelleert iets “van gelijke waarde versus tegengestelde waarde”, een exclusieve disjunctie.
De volgende stap kan geen exclusieve disjunctie meer zijn want er zijn maar twee waarden, geen drie. We bestuderen daarom de tabel van a•b•c
a |
b |
c |
a•b•c |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
Dus de 3-vector a•b•c ervaren betekent: een oneven aantal is ervaren, preciezer gezegd: de disjunctie “1 onderscheiding ervaren of 3 onderscheidingen ervaren” is ervaren. Hiermee wordt simultaneïteit gemodelleerd in één categorie van getallen: drie onderscheidingen ervaren impliceert één onderscheiding ervaren wanneer enkel oneven getallen beschouwd worden.
Dat betekent ook: de 3-vector a•b•c niet ervaren betekent: een oneven aantal is niet ervaren, preciezer gezegd: de disjunctie “1 onderscheiding niet ervaren of 3 onderscheidingen niet ervaren” is niet ervaren.
De 3-vector a•b•c is niet anders dan <a<b•c>><<a><<b•c>>> of dus (<b•c>⊗b•c)a∼<a<<b•c>>><<a><b•c>>∼(<a>⊗a)b•c en gelijkaardige uitdrukkingen voor de andere onderscheidingen en andere 2-vectoren. Dit maakt dan ook duidelijk dat alle basisvectoren, onafhankelijk van de grootte van het universum, rotaties zijn op centraal niveau: de bitstrings zijn permutaties van elkaar.
In de volgende stap bestuderen we nu de tabel voor a•b•c•d.
a |
b |
c |
d |
a•b•c•d |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
Dus: de 4-vector a•b•c•d ervaren betekent de disjunctie “1 onderscheiding niet ervaren of 3 onderscheidingen niet ervaren” is ervaren en dit is niet anders dan de disjunctie “1 onderscheiding ervaren of 3 onderscheidingen ervaren” is ervaren.
Dit volgt duidelijk uit de definitie van het vectorproduct, namelijk dit is in hybride notatie: <(a•b•c)<d>><<a•b•c>(d)>.
De tabel toont ook duidelijk dat de 4-vector zich op centraal niveau bevindt.
De volgende stap levert het patroon op voor de 5-vector a•b•c•d•e.
a |
b |
c |
d |
e |
a•b•c•d•e |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
Hieruit volgt de betekenis van het ervaren van a•b•c•d•e: de disjunctie “1 ervaren of 3 ervaren of 5 ervaren” is ervaren en dus ook: de disjunctie “1 niet ervaren of 3 niet ervaren of 5 niet ervaren” is niet ervaren. Dat is dan ook de betekenis van een 6-vector en hiervoor zal dan de symmetrische eigenschap ook gelden: de disjunctie “1 niet ervaren of 3 niet ervaren of 5 niet ervaren” is ervaren. De symmetrie demonstreren we door een andere tabel opbouw waarbij we de waarde van f als laatst toegevoegde selecteren uitgaande van de waarde van a•b•c•d•e. We geven slechts de waarde <> van a•b•c•d•e•f weer in deze tabel, de symmetrie is duidelijk genoeg.
a |
b |
c |
d |
e |
f |
a•b•c•d•e |
a•b•c•d•e•f |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
Enzovoort.
Het onderzoek naar de patronen in de betekenis van het vectorproduct leidt tot het volgende inzicht.
Wat ook de grootte is van het universum, met een even of oneven aantal onderscheidingen: het vectorproduct dat ervaren wordt is een disjunctie van een oneven aantal onderscheidingen met waarde <>. In een universum met een even aantal onderscheidingen bepaalt de waarde van de laatst toegevoegde onderscheiding de waarde van het hoogste vectorproduct.