We onderscheiden vier fundamentele relaties: vectorsom, vectorproduct, nevenschikking en creatief product. Met de vier binaire relaties kunnen we onderzoeken onder welke voorwaarden deze operaties zich niet onderscheiden van elkaar. Het belang hiervan is dat binaire operaties veel verschillende namen kunnen krijgen en dat ze enkel maar helder uit elkaar gehouden worden wanneer alle impliciete veronderstellingen onder woorden gebracht kunnen worden, en sommige van die veronderstellingen hebben niet te maken met de operatie zelf maar met eigenschappen van de betrokken aspecten die door de operatie gerelateerd worden met elkaar.

De procedure hiervoor is heel eenvoudig: we drukken uit wat we willen onderzoeken, namelijk de gelijkheid van twee operaties en leiden daaruit de voorwaarden af.

⊕ en • geven een identiek resultaat

Wanneer geldt dus: x⊕y=x•y

x⊕y⊕<x•y>=X en dus ook <x>⊕<y>⊕x•y=X

<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>=<<>> of <x><y>↔<<>>

<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<> of <<x><y>>↔<>

Dus enkel wanneer x en y beide de waarde <> hebben. Dit blijkt ook heel duidelijk als we alle mogelijkheden in tabelvorm noteren.

De tabel maakt ook duidelijk dat er geen verschil is tussen een ⊕ en een <•> onder de voorwaarde dat x en y dezelfde waarde hebben die deze maal <<>> moet zijn.

Dit geldt niet voor een som van drie termen. Neem bijvoorbeeld x⊕y⊕z, als de drie welgevormde haakuitdrukkingen dezelfde waarde hebben dan is hun som de nulvector en dus verschillend van x•y•z of <x•y•z>.

⊕ en * geven een identiek resultaat

x*y is <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>

Wanneer is <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>=x⊕y dus <<>>⊕<x•y>=<x>⊕<y>?

<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>=X

<<>>⊕x⊕y⊕<x•y> is <x><y> dus voor welgevormde haakuitdrukkingen x en y kan <x><y> nooit de nulvector zijn, zie tabel

Dat betekent dat bij een welgevormde x en y er altijd een verschil is tussen ⊕ en *.

We kunnen natuurlijk onderzoeken wanneer de vergelijking wel opgaat. Daarvoor moeten we aan x of y een waarde X geven.

Hieruit volgt dat er wel twee mogelijkheden zijn: de conjunctie van x=X en y=<> of de conjunctie van y=X en x=<>. Dit is niet anders dan de conjunctie van <>⊕x=<> en y=<> of de conjunctie van <>⊕y=<> en x=<>. Maar de gelijkheid van <x•y> en <<>>⊕x⊕y⊕<x•y> geldt niet als zowel x als y gelijk zijn aan de nulvector.

De disjunctie van conjuncties is natuurlijk ook een haakvector die we als volgt berekenen.

De eerste conjunctie is <>⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕(<>⊕x)•y en dit is <x>⊕y⊕x•y

De tweede conjunctie is: x⊕<y>⊕x•y

De disjunctie van beide is:

<<>>⊕x⊕<y>⊕<x•y>⊕<x>⊕y⊕<x•y>⊕(<x>⊕y⊕x•y)•(<x>⊕y⊕<x•y>)

<<>>⊕x•y⊕<<>>⊕<x•y>⊕y⊕<x•y>⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕x⊕<>

<>⊕<x•y>

Dit kan enkel maar ervaringswaarde <> hebben als x•y=X. Dit zien we inderdaad in onderstaande tabel, in de kolom met kop <>⊕<x•y> komt <> niet voor:

De inbedde variant geldt ook voor ⊕ en <*>. Inderdaad, we bewijzen dat op een andere manier: <x*y> is <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y. We zoeken de voorwaarde waaronder <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=x⊕y dus <>⊕x•y=<x>⊕<y>. Uit de tabel blijkt dat dit onmogelijk is.

Gevolgen

Hieruit volgt onmiddellijk dat de projectoren van x en y niet simultaan nul kunnen zijn, wat we ook als volgt kunnen bewijzen:

Stel dat x en y projectoren zijn, noem ze <>⊕x’ en <>⊕y’ met de accenten welgevormde haakuitdrukkingen.

Eerst het product berekenen om daarmee de nevenschikking te kunnen berekenen: (<>⊕x’)•(<>⊕y’)=<<>>⊕<x’>⊕<y’>⊕x’•y’

(<>⊕x’)*(<>⊕y’) is <<>>⊕<(<>⊕x’)>⊕<(<>⊕y’)>⊕<(<>⊕x’)•(<>⊕y’)>

<<>>⊕<<>>⊕<x’>⊕<<>>⊕<y’>⊕<>⊕x’⊕y’⊕<x’•y’>

<>⊕<x’•y’>

Wanneer is <>⊕<x’•y’> gelijk aan (<>⊕x’)⊕(<>⊕y’)?

<>⊕<x’•y’>=<<>>⊕x’⊕y’

<<>>⊕<x’>⊕<y’>⊕<x’•y’>=X en dat kan dus niet omdat

<<>>⊕<x’>⊕<y’>⊕<x’•y’> is x’y’ en x’y’ kan nooit nul zijn. Dus beide kunnen geen projectoren zijn.

De conjunctie van <>⊕x=<> en y=<> geven we nu de naam Term₁. De conjunctie van <>⊕y=<> en x=<> geven we nu de naam Term₂.

Term₁ is <>⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕(<>⊕x)•y en dit is <x>⊕y⊕x•y

Term₂ is <>⊕<<>>⊕<y>⊕<x>⊕(<>⊕y)•x en dit is x⊕<y>⊕x•y

Term1•Term2 is (<x>⊕y⊕x•y)•(x⊕<y>⊕x•y)=<>⊕x•y⊕<y>⊕x•y⊕<>⊕x⊕y⊕<x>⊕<<>>=<>⊕<x•y>

De conjunctie van beide termen is

<>⊕<Term₁>⊕<Term₂>⊕Term₁•Term₂

<>⊕x⊕<y>⊕<x•y>⊕<x>⊕y⊕<x•y>⊕<>⊕<x•y>=<<>> en dit bleek ook uit de tabel.

De disjunctie van beide termen is

<<>>⊕<Term₁>⊕<Term₂>⊕<Term₁•Term₂>

<<>>⊕x⊕<y>⊕<x•y>⊕<x>⊕y⊕<x•y>⊕<<>>⊕x•y=<>⊕<x•y> en dit is een voorbeeld van het feit dat er geen verschil is tussen disjunctie en exclusieve disjunctie (Term1•Term2 is immers <>⊕<x•y>) wanneer de conjunctie waarde <<>> heeft.

Uitbreiding

De conjunctie van <>⊕x=<> en y=<> of de conjunctie van <>⊕y=<> en x=<> is dus niet anders dan de haakuitdrukking <>⊕<x•y>. Dit is een gecollapste haakuitdrukking. Deze uitdrukking herkennen we als het patroon van één van beide termen (neem bijvoorbeeld <x•y> als x), dus we kunnen als volgt uitbreiden: de disjunctie: “de conjunctie van <>⊕<x•y>=<> en z=<>” of “de conjunctie van <>⊕z=<> en <x•y>=<>” is niet anders dan de haakuitdrukking <>⊕x•y•z.

Willen we dat <>⊕x•y•z ervaren is, dan is het voldoende dat één van de x, y, z niet verschillend is van de nulvector. Dat betekent dat we dit als standpunt kunnen veronderstellen. Daarenboven hebben we al aangetoond dat maar één van de projectoren kan ervaren zijn. We kunnen dus maar één standpunt innemen, er is maar één nul, hoeveel symbolen we die ook zouden willen geven, nul en <nul> zijn niet onderscheiden van elkaar.

Het verband tussen ⊕ en • is opvallend en we zouden als interpretatie kunnen geven dat de 2-vector die verschillend is van de nulvector de intensiteit geeft van nul.

Uitbreiding naar een nieuwe operator

Noteer dat we voor gecollapste haakuitdrukkingen in hun bitstring voorstelling een relatie gedefinieerd hebben tussen som en unie (unie is niet hetzelfde als disjunctie).

⊕ en ⊗ geven een identiek resultaat

Er geldt (x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

Wanneer is nu x⊕y=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

<x>⊕<y>=<a•x>⊕a•y

Enerzijds:

<x>⊕<y>=a•(<x>⊕y) en dit kan alleen maar als minstens één van de termen van de som een nulvector is en a een waarde heeft.

Anderzijds:

<x>⊕a•x=y⊕a•y

x•(<>⊕a)=y•(<<>>⊕a)

De tabel duidt aan dat dit onder geen enkele voorwaarde mogelijk is voor welgevormde haakuitdrukkingen x, y en a:

De voorwaarde <x>⊕a•x=y⊕a•y of x•(<>⊕a)=y•(<<>>⊕a) toont waarom: de termen (van het creatief product en van de som) moeten gecollapste haakuitdrukkingen zijn als projectoren van de toegevoegde onderscheiding.

Stel x=(<<>>⊕a) en y=(<>⊕a) dan geldt dat (<<>>⊕a)•(<>⊕a)=(<>⊕a)•(<<>>⊕a)=X wat uitdrukt dat x en y orthogonaal zijn.

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y wordt dan ((<<>>⊕a)⊗(<>⊕a))_a=<>⊕<a>⊕<<>>⊕<a>⊕<>⊕<a>⊕<<>>⊕<a>=<a>

Dus dat betekent dat (x⊕y)=<a> en (x⊕<y>)=<> en die voorwaarden kunnen alleen voldaan worden als zowel x als y in a uitgedrukt worden en ze orthogonaal zijn.

Er geldt dan enerzijds

(x⊗y)_<a>=(x⊗y)_(x⊕y)=<x>⊕<y>⊕(<x>⊕<y>)•<x>⊕(<x>⊕<y>)•y=<x>⊕<y>⊕<<>>⊕x•y⊕<x•y>⊕<>=<x>⊕<y>=a

en anderzijds

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a>•(x⊕<y>)=<x>⊕<y>⊕a=<a>

Dus er is geen verschil tussen (x⊕y) en (x⊗y)_a wanneer (x⊗y)_<a>=a of (x⊗y)_a=<a> onder de voorwaarden van orthogonaliteit x=(<<>>⊕a) en y=(<>⊕a).

Er is nog een mogelijkheid: (x⊕y)=<a>=X en dat levert dus twee mogelijkheden.

Dus van deze hele tabel blijft enkel over dat zowel x⊕y als a gelijk zijn aan de nulvector:

• en * geven een identiek resultaat

Dit is gekend en bewezen met het haakmodel: de voorwaarde is dat x en y elkaar moeten uitsluiten. In tabelvorm is duidelijk dat minstens één de waarde <<>> moet hebben.

x*y is <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>. We zoeken de voorwaarden waaronder <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>=x•y

De tabel maakt ook duidelijk dat de voorwaarde voor gelijkheid van de operaties <•> en x*y is dat x en y elkaar moeten insluiten, minstens één van de twee moet waarde <> hebben.

Gevolg

Als x en y dezelfde waarde hebben en deze is <<>>, dan geldt dat er geen verschil is tussen een ⊕ en een <•> en dan geldt ook dat er geen verschil is tussen de operaties • en x*y.

Als x en y dezelfde waarde hebben en deze is <>, dan geldt dat er geen verschil is tussen een ⊕ en een • en dan geldt ook dat er geen verschil is tussen de operaties <•> en x*y.

Noteer dat we voor gecollapste haakuitdrukkingen in hun bitstring voorstelling een relatie gedefinieerd hebben tussen product en doorsnede (doorsnede is niet hetzelfde als conjunctie).

• en ⊗ geven een identiek resultaat

Er geldt

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y, heeft a waarde <>, dan volgt de uitdrukking de waarde van y, heeft a waarde <<>>, dan volgt de uitdrukking de waarde van x.

Wanneer is nu x•y=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y.

Aangezien in het rechterlid x•y niet voorkomt, kan dat enkel als a zich niet onderscheidt van x of y.

Stel a=x dan wordt de gelijkheid x•y=<x>⊕<y>⊕<x•x>⊕x•y, en de voorwaarde dus <x>⊕<y>=<<>>

Stel a=<x> dan wordt de gelijkheid x•y=<x>⊕<y>⊕x•x⊕<x•y>, en de voorwaarde dus <x>⊕<y>⊕<<>>=<x•y> of <x>⊕<y>⊕x•y=<>

Stel a=y dan wordt de gelijkheid x•y=<x>⊕<y>⊕<x•y>⊕y•y, en de voorwaarde dus <x>⊕<y>⊕<<>>=<x•y>

Stel a=<y> dan wordt de gelijkheid x•y=<x>⊕<y>⊕x•y⊕<>, en de voorwaarde dus <x>⊕<y>=<<>>

De conjunctie van x en y is <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y en als x en y elkaar uitsluiten dan geldt de voorwaarde <x>⊕<y>⊕x•y=<>. Als de conjunctie echter niet verschillend is van het vectorproduct dan geldt de andere voorwaarde: <x>⊕<y>=<<>>.

We kunnen nu de gelijkheid uitdrukken van <x<y>><<x>y> en <a<x>><<a><y>>, dit blijkt uit de tabel (<y>⊗<x>)_a=y⊕x⊕a•y⊕<a•x>=<> te zijn (heeft a waarde <>, dan volgt de uitdrukking de waarde van <x>, heeft a waarde <<>>, dan volgt de uitdrukking de waarde van <y>).

Het gevolg hiervan is dat het vectorproduct niet verschillend is van het creatief product wanneer x en y de waarde <<>> hebben en dit is onafhankelijk van de waarde van a. Dit is een voldoende voorwaarde, niet nodig, de andere mogelijke voorwaarden zijn afhankelijk van de waarde van a.

We kunnen nu ook de gelijkheid uitdrukken van <<x<y>><<x>y>> en <a<x>><<a><y>>, dit blijkt uit de tabel (<y>⊗<x>)_a=y⊕x⊕a•y⊕<a•x>=<<>> te zijn:

Het gevolg hiervan is dat de transformatie niet verschillend is van het creatief product wanneer x en y de waarde <> hebben en dit is onafhankelijk van de waarde van a. Dit is een voldoende voorwaarde, niet nodig, de andere mogelijke voorwaarden zijn afhankelijk van de waarde van a.

* en ⊗ geven een identiek resultaat

Er geldt dan

x*y=<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

We drukken de gelijkheid uit:

<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

<<>>⊕<x•y>=<a•x>⊕a•y

<<>>⊕<x•y>⊕a•x⊕<a•y>=X

<>⊕<x•y>⊕a•x⊕<a•y>=<<>>

<<a•x>a•y>=<<>>

Dit wordt duidelijk in de tabel:

Dit betekent dus dat deze gelijkheid geldt als x en y dezelfde waarde hebben en de waarde van a speelt dan helemaal geen rol.

Het is nuttig dit ook te contrasteren met de inbedding, we doen dat in de volgende paragraaf: <*> en ⊗ geven een identiek resultaat

Er geldt dan

<x*y>=<>⊕x⊕y⊕x•y

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

We drukken de gelijkheid uit:

<>⊕x⊕y⊕x•y=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

<>⊕x•y=x⊕y⊕<a•x>⊕a•y

De enige rijen die voldoen zijn x en y hebben tegengesteld teken maar de waarde van a speelt nu wel een rol, a moet de waarde hebben van de linker term van het creatief product, zo niet is het creatief product het tegengestelde van de som: