We hebben al een proces met een constante eigenwaarde onderzocht. Binnen één overkoepelend systeem zullen we nu simuleren dat meerdere processen (met eventueel verschillende eigenwaarden resulterend in zowel positieve als negatieve feedback) de intensiteit veranderen en dat dit resulteert in een (simulatie van) gedrag dat waarneembaar is in het overkoepelend systeem.

Door de studie van één proces blijkt dat de intensiteit van een entiteit bij elke processtap (bijvoorbeeld in de tijd) exponentieel verandert. De berekende intensiteit (1±k)ⁿ is niet anders is dan een product van n dezelfde termen, dus Π_n(1±k). We willen daarom eerst het model van het getalproduct zelf beter begrijpen.

Betekenis van het product model

We starten de analyse door te veronderstellen dat na het bereiken van stap 2 de factor k gewijzigd wordt naar k' en dan stabiel blijft tot n. We bouwen terug de tabel op voor de positieve feedback.

Hieruit volgt dat (1+k)^m zich zal gedragen als een constante voor alle stappen groter dan m tot de stap n. In het voorbeeld is m=2. We merken ook op dat dit compatibel is met (1+k)^m ∝(1-k)^-m.

In deze redenering hebben we niets verondersteld over k', dus deze kan evenzeer kleiner zijn dan nul, waarmee dan negatieve feedback gemodelleerd wordt. In de limiet kan men dan ook voor elke stap een andere k veronderstellen en op stap n wordt dan (x-x₀)Π_n(1+k_m)^m’ bereikt waarbij k_m zowel positief als negatief kan zijn. Het product is dus een product van n termen en m’ is kleiner dan of gelijk aan n, en de som van verschillende m is gelijk aan n. We merken dus op dat (x-x₀)(1+k)ⁿ voor een bepaalde k en n ook kan geïnterpreteerd worden als de evaluatie van de relatie (x-x₀)Π_ν(1+κ) op het punt n en k, waarbij zowel ν als κ variabelen zijn en -1<κ<+1. Dit toont dus het meest algemene product model.

Dit is een opmerkelijk resultaat voor een interpretatie van de processtappen n als “stappen in de tijd”. Het geeft aan dat “de chronologie” van het proces in dit model geen rol hoeft te spelen, enkel het aantal stappen (de intensiteit van de eenheid “stap”) en de betrokken eigenwaarden. Dit wordt duidelijk met een voorbeeld: veronderstel 8 stappen en drie eigenwaarden k, k’ en k’’. Veronderstel dat er bij stap 8 de volgende relatie geldt: (x-x₀)(1+k)²(1+k’)(1+k'’)^8-3. We kunnen ons nu voorstellen dat deze relatie op verschillende manieren chronologisch ontstaan kan zijn. Laten we de veronderstelde chronologie als de nevenschikking van de termen na (x-x₀) weergeven, met een uitbreiding van de nevenschikking geïnterpreteerd als een volgende stap in de tijd. Bijvoorbeeld: de chronologie (x-x₀)(1+k)(1+k’)(1+k'’)⁵(1+k) is gelijkwaardig met de chronologie (x-x₀)(1+k'’)³(1+k’)(1+k)(1+k'’)²(1+k) enz.… Dit impliceert ook dat er geen andere stap is dan de stap van het proces, dus bij één stap kan er simultaan een (1±k), een (1±k’), een (1±k'’)², …, een (1±k^m’)ⁿ een invloed uitoefenen. Inderdaad: simultaneïteit in een tralie die gebouwd wordt in het getallendomein hebben we kunnen modelleren als het getalproduct dat een eenheid vormt op een dieper niveau dan het atoom niveau.

Hieruit volgt dus ook dat (x-x₀)(1±k)ⁿ voor een bepaalde k en n ook kan geïnterpreteerd worden als de simultane invloed van n aspecten (1±k) en dat is uiteraard compatibel met de simultaneïteit van (x-x₀)(1±k)^n-m met (x-x₀)(1±k)ⁿ voor m<n.

Met een product zullen we dus simultane interacties van eigenwaarden modelleren, in tegenstelling met een som (die enkel zin heeft als de elementen van de som elkaar uitsluiten). Zoals we aantoonden ligt simultaneïteit aan de basis van causaliteit. Dit toont aan wat de relatie van “de klassieke tijd” is met het aantal stappen n.

Beschrijving en interpretatie met één eigenwaarde

Het onderzoek naar de interpretatie van simultane interacties beginnen we met de relaties van de intensiteit van het verschil dat een verschil maakt (getal) met de stappen grafisch voor te stellen. Dit doen we voor de vier mogelijke feedback processen. Hierbij kunnen we al onmiddellijk een eerste gevolg afleiden: zowel k speelt een rol, maar daarenboven speelt evenzeer een constante factor een rol (waarvoor we hieronder het getal 0 kiezen). Bij de negatieve feedback speelt de constante een rol als doel dat nooit bereikt wordt maar dat geanticipeerd kan worden, bij de positieve feedback speelt de constante de rol van startpunt waarvan nooit vertrokken wordt maar dat achteraf gereconstrueerd kan worden.

In de voorbeelden in de onderstaande tabel is k=0,2 en zijn 30 stappen weergegeven, we kunnen de stappen interpreteren als tijd of niet, essentieel is dat de stappen elkaar uitsluiten:

Wat vanuit de grafische voorstelling onmiddellijk opvalt is dat de positieve feedback steeds verder divergeert naar verschilwaarden die verder toenemen (het verschil van de intensiteiten op stap n en stap n+1 wordt steeds groter) en dat de negatieve feedback steeds verder convergeert naar verschilwaarden die verder afnemen (het verschil van de intensiteiten op stap n en stap n+1 wordt steeds kleiner).

Dit heeft grote praktische gevolgen voor elke waarnemend agens. Deze is immers beperkt in waarnemingsresolutie, wat we kunnen modelleren als het “venster”, het interval dat op de as van de intensiteiten overeenkomt met een interval op de as van de stappen. Aan dit venster kunnen we twee karakteristieken toekennen: het interval is een verschil (eerste karakteristiek) op een bepaald verschil van een nulpunt (tweede karakteristiek). Bijvoorbeeld: er kan maar een intensiteitsverschil waargenomen worden van een minimale grootte van 10⁰ en maximale grootte van 10⁵ (bijvoorbeeld tussen 10² en 10⁷) vanaf een intensiteit van minimaal 10^-3 tot maximaal 10¹⁰. Bijvoorbeeld: ziende agentia stellen hun sensor in op een gemiddelde lichtintensiteit en kunnen dan slechts een beperkt aantal intensiteitsverschillen waarnemen. Wat buiten die grenzen valt is geen verschil meer dat een verschil maakt.

Voor de positieve feedback is er een stap waarbij er niets meer waarneembaar is omdat de maximaal (minimaal) waarneembare intensiteit overschreden wordt of het verschil tussen de stappen het maximaal verschil overstijgt. Als we de stappen als tijd interpreteren komt dit overeen met een moment in de toekomst, interpreteren we de stappen niet als tijd dan komt dit overeen met een grotere schaal. Een positieve feedback proces explodeert of dooft uit en daarna “is er geen proces meer” omdat er geen output meer waarneembaar is. Een positieve feedback proces “begint nooit” (is met grote onzekerheid te reconstrueren) en eindigt in een big bang of big crunch. Wat ook de toestand op stap n was, voor de positieve feedback is het resultaat altijd verschillend van nul (wat we kunnen interpreteren als "ooit waarneembaar") omdat gelijk welk, eventueel onwaarneembaar of niet relevant geacht, verschil (in het verleden bijvoorbeeld, of op een bepaalde schaal) in de loop van het proces uitvergroot wordt (en dan waarneembaar en relevant kan worden).

Voor de negatieve feedback is er een stap (bijvoorbeeld een moment in het verleden, of een kleinere schaal) waarbij er niets waarneembaar is, een proces wordt plots waargenomen met een bepaalde intensiteit van output en blijft output genereren, hoe ver men ook in de toekomst of in de ruimte gaat: de output bereikt een attractor gebied waarbij de attractor evenwel nooit bereikt wordt. Een negatieve feedback proces begint in een big bang of big crunch (bijvoorbeeld een plots inzicht) en eindigt nooit hoewel de waarneming ervan onder de waarnemingsresolutie kan zakken. Voor de negatieve feedback geldt dat wanneer de toestand op stap n niet verschillend waargenomen wordt van de huidige toestand die het referentiepunt is, het resultaat nul is (wat we kunnen interpreteren als "niet waarneembaar") en nul blijft. Het is duidelijk dat een verschil dat geen verschil maakt niet anders is dan de waarnemingsresolutie van het agens. Een verschil dat geen verschil maakt geeft ook de logische onderbouwing die de nul genereert en die dus de volle wiskundige modellering zinvol maakt. De kwantitatieve meting van relevante verschillen is dus gemakkelijk te simuleren (te anticiperen) door een hedendaags computer proces te gebruiken, maar geeft tezelfdertijd de grens aan van elke simulatie: de huidige toestand bevat alle informatie om de volgende toestand grotendeels te anticiperen (hoewel in werkelijkheid ook een niet te anticiperen gebeurtenis zal optreden). Een simulatie is in een beperkte mate relevant voor het werkelijk optredend proces maar is bijvoorbeeld zeer waardevol om aan te geven hoe lang het agens wil en kan wachten om een volgende actie uit te voeren.

Laten we het inzicht iets specifieker met processen in de tijd illustreren. De constructie van zowel positieve als negatieve feedback (re)construeert het verleden: bij positieve feedback hoeft er in het verleden geen doel gekozen te zijn, er kan gebeuren wat er gebeurt en er is steeds meer dat er kan gebeuren, in die zin is sturen op positieve feedback geen doelgerichte sturing maar vergroot een initieel eventuele kleine afwijking (een eventueel klein verschil dat "nog" geen verschil maakt). Het proces verwijdert zich meer en meer van een startpunt dat nooit “aanwezig was” maar als anti-doel kan beschouwd worden. Positieve feedback is dus het mechanisme waarmee het mogelijk wordt “iets anders” te bereiken of iets (bijvoorbeeld een ongewenste entiteit) volledig te vernietigen of onwaarneembaar te maken. Daarentegen moet bij negatieve feedback een doel niet alleen in het verleden maar ook in de toekomst beschikbaar zijn: iets moet waarneembaar zijn maar ook blijvend waarneembaar zijn in het proces hoewel het pas op één bepaald moment “uit het niets opduikt” en hoewel het na verloop van tijd buiten de waarnemingsresolutie zal vallen en dus niet meer waargenomen zal worden. Als negatieve feedback gebruikt wordt om te sturen dan is dit "bewust gewilde" doel een attractor van het gestuurde proces. Het mechanisme van de negatieve feedback is de anticipatie hoe een intensiteit naar een bepaalde waarde kan gestuurd worden, dus hoe het verschil ten opzichte van die waarde gereduceerd kan worden zonder dat het volledig verdwijnt hoewel het onwaarneembaar kan worden. Indien er enkel het mechanisme van de negatieve feedback beschikbaar zou zijn, dan zou er nooit iets kunnen veranderen. Ondanks het feit dat de getalmatige formulering in dezelfde vorm kan uitgedrukt worden, toch is er een zeer groot verschil voor operationeel verifieerbare uitspraken. Positieve en negatieve feedback zullen altijd samen voorkomen, al was het maar omdat ze in elkaar uit te drukken zijn ((1+k)ⁿ ∝(1-k)^-n).

Positieve feedback kan zorgen voor een niet te voorspellen verrassing eens het proces van de exponentiële groei een waarneembare toestand bereikt (in positieve zin) of volledig verdwijnt (in negatieve zin) en nog niet het waarneembare interval overschrijdt. Positieve feedback is bijvoorbeeld te zien bij de groei van cellen of bacteriën: hun aantal zal blijven groeien zolang materiaal en energie beschikbaar is (aangevoerd kan worden), tot een bepaalde grens bereikt is waarbij niet genoeg materiaal en energie op de plaats van de transformatie meer beschikbaar is en verdere groei onmogelijk wordt. Positieve feedback kan zowel gewenst zijn (verandering is nodig) als gevaarlijk zijn (verandering moet vermeden worden) en met de aanvoer van materiaal en energie kan dat gestuurd worden (dit is dan de negatieve feedback). Dit moet blijken in werkelijkheid, enkel het explosief karakter is voorspelbaar, wat in werkelijkheid zal bereikt worden is niet te anticiperen, hangt onvermijdelijk samen met negatieve feedback, is een dynamisch gegeven, en eens een evenwicht bereikt is zal elke "afwijking van het evenwicht" dan onmogelijk worden door het bestaan van de negatieve feedback.

Het relatief verschil tussen twee eigenwaarden

We kunnen nu k variëren en op die manier gedragseigenschappen van deelprocessen in een groter geheel met zelfde tijdstap ten opzichte van elkaar onderscheiden. In de voorbeelden in de onderstaande tabel is k=0,8 en zijn 30 stappen in de tijd weergegeven en houden we de constante factor nog steeds op 0:

We kunnen nu de volgende kwalitatieve uitspraak doen: hoe groter k (hoe kleiner de verdubbelingstijd/halveringstijd) hoe langer de intensiteit zich in een heel klein gebied bevindt ten opzichte van het hele intensiteitsbereik, zodanig dat de intensiteitsverschillen bij de verschillende stappen in dat gebied misschien niet meer groter zijn dan de waarnemingsresolutie van het "agens met een grotere k". Dan kan het agens de verschillende tijdstappen niet meer onderscheiden omdat het gerelateerde intensiteitsverschil buiten zijn waarnemingsgevoeligheid ligt. Het doel dat nooit bereikt kan worden maar dat geanticipeerd kan worden, wordt dus door het "agens met een grotere k" beschouwd als "bereikt" (negatieve feedback) omdat het geen verschil meer waarneemt. Het startpunt (positieve feedback) waarvan nooit vertrokken wordt maar dat gereconstrueerd kan worden wordt door het "agens met een grotere k" met een veel grotere onnauwkeurigheid achteraf ge(re)construeerd: het kan in een heel gebied van mogelijke stappen liggen. Hierbij moeten we goed beseffen dat dit een kwalitatieve uitspraak is ten opzichte van een intensiteitsbereik van deze specifieke "agens met een grotere k". Om dit te illustreren tonen we in de onderstaande tabel een vergelijking tussen een curve voor k=0,3 en voor k=0,2 (we kiezen een relatief klein verschil om het effect waarneembaar te maken (!) op de resolutie van de grafiek). De waarden voor k=0,3 zijn met een vierkant symbool aangegeven, de waarden voor k=0,2 zijn met een ruitsymbool aangegeven.

Dit maakt duidelijk dat ten opzichte van elkaar het "agens met een grotere k" sneller het geanticipeerde gedrag realiseert, of het nu positieve of negatieve feedback is. Toch zien we een duidelijk verschil tussen positieve en negatieve feedback als we de waarden in ordinaat bekijken. De intensiteit is bij negatieve feedback per definitie begrensd in absolute waarden tussen 0 en 1, bij positieve feedback is de intensiteit in dit voorbeeld begrensd in absolute waarden tussen 0 en 3000, maar die afstand is natuurlijk willekeurig groot te maken. Beide effecten samen kunnen we als volgt verwoorden: hoewel het "agens met een grotere k" sneller het geanticipeerde gedrag realiseert is dit misschien voor zichzelf niet waarneembaar voor de positieve feedback als zijn waarnemingsresolutie beperkt wordt door het veel grotere bereik dat moet gerealiseerd worden om waarneembaar te zijn (een verschil te maken dat een verschil maakt). Deze agens moet immers toestanden onderscheiden die elkaar uitsluiten om enige zin te kunnen geven aan het begrip “stap”. Aangezien we nu veronderstellen dat beide agentia deelprocessen vertegenwoordigen van een globaal proces (waaraan ze dus beide onderhevig aan zijn, een proces met k=1) dan kunnen we dit interpreteren dat het "agens met een kleinere k" veel gevoeliger kan zijn voor verandering bij opeenvolgende tijdstappen, verandering die voor deze agens als elkaar uitsluitend kunnen gewaardeerd worden terwijl ze voor het "agens met een grotere k" nog niet binnen zijn resolutiebereik ligt (het verschil dat moet waargenomen kunnen worden). We tonen aan dat de grootte van de k gerelateerd is met de waarschijnlijkheid dat het agens actie zou ondernemen, een grotere k en dus een kleinere verdubbelingstijd of halveringstijd, zou dan een agens meer tot actie bewegen. Dit is dan een eerste indicatie voor het belang van de verscheidenheid binnen een systeem van waarnemende deelsystemen omdat verscheidenheid hoe dan ook gerelateerd is met “een verschil dat een verschil maakt”. Elk waarnemend deelsysteem dat zich van een ander deelsysteem onderscheidt, zal onvermijdelijk in een ander gebied gevoelig zijn en vroeger of later uitgedaagd of aangespoord worden tot het nemen van actie. En het meest opmerkelijke is dat dit geldt voor de positieve feedback en op een “genormaliseerde” manier (“tussen 0 en 1”) geldt voor de negatieve feedback! Negatieve feedback (of doelgerichtheid naar een te anticiperen attractor die nooit bereikt wordt) heeft voldoende aan eenzelfde soort waarnemingsgevoeligheid voor alle deelsystemen en het deelsysteem met kleinere k (en dan een grotere halveringstijd realiseert en dus trager naar het doel evolueert) zal langer een onzekerheid verdragen dan een deelsysteem met grotere k. Deze laatste zal sneller actie ondernemen bij een afwijking van de geanticipeerde attractor.

We kunnen nog een andere belangrijk verschil beklemtonen dat het duidelijkst is bij de positieve feedback in positieve zin en de negatieve feedback in negatieve zin. Bij de positieve feedback (in absolute waarde) impliceert de intensiteit van de grotere k deze van de kleinere k, maar bij de negatieve feedback (in absolute waarde) impliceert de intensiteit van de kleinere k deze van de grotere k. Implicatie is hier gebruikt als de interpretatie van simultaneïteit: de grotere intensiteit van een eenheid impliceert een kleinere intensiteit van dezelfde eenheid. Met een voorbeeld: als er vier koeien in de weide staan impliceert dat dat er ook drie staan, en als een koe 600kg weegt dan impliceert dat dat ze ook 200kg vlees kan opleveren.

Eenzijdige begrenzing en som

De som ±C±(1±k)ⁿ is eenzijdig begrensd door de keuze van k. De eigenwaarde hebben we moeten kiezen tussen 0 en 1. Bij de keuze k=0 is er geen feedback, bij de keuze k=1 is er enkel positieve feedback en geen negatieve feedback. We kiezen nu een ±k als start punt.

We veronderstellen nu een coëfficiënt voor (1±k)ⁿ. Dit modelleert een som van een aantal (namelijk c) van dezelfde (1±k)ⁿ die de dynamiek genereert. Aangezien ±c(1±k)ⁿ voor een bepaalde n niet meer kan onderscheiden worden van de intensiteit (1±k)^m zal de keuze voor een intensiteit c (die we dan kunnen schrijven als (1±k)^m-n) niets veranderen aan het patroon. We kunnen dus ook schrijven:

Er is dus een samenspel te modelleren van de constante term c (het doel of anti-doel) en de variabele term (1±k) in de som ±ck±c(1±k)^m. Het ligt nu voor de hand om de constante term ook door een variabele term te vervangen zodanig dat ook positieve feedback en negatieve feedback met elkaar gesommeerd kunnen worden binnen één systeem (met dezelfde eenheid).

De interpretatie hiervan is de volgende: een som van twee variabele termen (die de intensiteit geven van een eenheid in een proces) is slechts gedefinieerd als beide processen onafhankelijk zijn. Ze zullen dan voor elkaar als een referentiepunt functioneren. Een som van (1+k) en (1-k), dus met zelfde k zal geen evenwicht bereiken, beide processen evolueren in dezelfde zin, een verschil van (1+k) en (1-k) (dus met zelfde k) bereikt evenmin een evenwicht, maar een intensiteit die evenredig is met de eigenwaarde.

Een klassiek voorbeeld hiervan is een badkuip met een kraan om water toe te voeren en een kraan om water af te voeren, waarbij het debiet van beide kranen “op dezelfde manier” (met zelfde eigenwaarde k) afhankelijk is van de hoeveelheid water in de badkuip maar waarbij beide kranen onafhankelijk van elkaar bediend worden. De bediening is het proces en dat kan een positief feedback proces zijn of een negatief feedback proces. De praktische toepassing voor het beheerst vullen van de badkuip is dat de toevoer een negatief feedback proces is: hoe meer water in het bad, hoe minder water toegevoegd wordt. Weinig mensen zijn bezorgd over de modellering van de afvoer van een bad, tenzij deze ongewild zou ontstaan (bijvoorbeeld door een lek), maar op dezelfde manier zou ook een bad beheerst kunnen geledigd worden. De afvoer zou dan met een positief feedback proces kunnen gebeuren: hoe meer water in het bad, hoe groter de afvoer, hoe minder water in het bad, hoe kleiner de afvoer. Noteer dat de niet veranderende eenheid een volume is, en dat volume is relevant voor het bad, de eenheid: het bad heeft een maximaal en minimaal volume.

We kunnen nu de vier feedback processen door symbolen vervangen: <<+>> voor (1+k)ⁿ, <+> voor -(1+k)ⁿ, <<->> voor (1-k)ⁿ en <-> voor -(1-k)ⁿ. Sommen van telkens twee verschillende van deze vier leiden tot zes mogelijkheden. In de grafiek is de keuze gemaakt van k=0,2 voor beide deelaspecten en 30 stappen in het proces. We introduceren hierbij twee coëfficiënten c₁ en c₂. We kiezen voor c₁=1 en c₂ is zodanig gekozen dat er drie verbanden te zien zijn op de resolutie van de grafiek: de datapunten die als driehoek aangegeven zijn geven het gedrag van de uitdrukking die in de eerste kolom weergegeven is, de datapunten met vierkant en ruit geven het gedrag van de twee onafhankelijke factoren van die uitdrukking.

Behalve de reeds goed gekende patronen van exponentiële toename en afname worden nu ook een S-patroon en een U-patroon gegenereerd wanneer de twee elementen van de som ±c₁(1±k)ⁿ±c₂(1±k)ⁿ een tegengestelde karakteristiek hebben, de ene (1+k), de andere (1-k). Dit zijn de elementen die de dynamiek genereren. Ze modelleren namelijk de onzekerheid dat wat door het agens geanticipeerd wordt ook ervaren kan worden, waardoor ze de waarschijnlijkheid modelleren dat er na n stappen actie ondernomen zal worden door het betrokken agens.

De twee voorbeelden die geen S-patroon of U-patroon vertonen maken de interpretatie duidelijk. Wat we modelleren is de intensiteit van een eenheid die “gevuld” wordt (positieve of negatieve feedback in de positieve zin) of die “geledigd” wordt (positieve of negatieve feedback in de negatieve zin). In de voorbeelden wordt het vullen en ledigen uitgevoerd met een proces met zelfde eigenwaarde. Enkel voor de twee voorbeelden die geen S-patroon of U-patroon vertonen kunnen we zeggen dat dit overeenkomt met dezelfde verdubbelingstijd (respectievelijk halveringstijd) want enkel dan geeft dezelfde eigenwaarde een zelfde verdubbelingstijd voor een positieve feedback als voor een negatieve feedback. Het verschil merken we goed aan de grootte van de coëfficiënten en dit maakt de volgende interpretatie mogelijk: om het S of U patroon waar te nemen heeft men een groot verschil nodig van <<de gelijkaardige (zelfde k) positieve feedback processen>> en <<de gelijkaardige (zelfde k) negatieve feedback processen>>, processen die in parallel een entiteit groter of kleiner maken. Dit maakt dan de volgende interpretatie mogelijk: het product van eigenwaarden met de coëfficiënten modelleert een aantal gelijkaardige entiteiten (entiteiten met zelfde eigenwaarde) die in parallel ageren. Als we twee coëfficiënten onderscheiden dan zijn beide referentiepunt voor elkaar. Dat betekent dat voor elke soort entiteit het doel (negatieve feedback) of het anti-doel (positieve feedback) ook tijdens de loop van het proces kan veranderen afhankelijk van een aantal gelijkaardige entiteiten die in parallel ageren. We zullen “gelijkaardige entiteiten” ook als een soort modelleren en de toename of afname van populaties die elkaar beïnvloeden kunnen onderzoeken.

De voorbeelden maken ook duidelijk dat S-patroon en U-patroon enkel op de schaal van de grafiek verschijnen als de negatieve feedback een grotere intensiteit heeft dan de positieve feedback. Door variëren van de intensiteit is het mogelijk om een ongeveer symmetrisch ogende curve te bekomen, toch is de curve, noch naar links, noch naar rechts, begrensd. De stappen zijn enkel begrensd door de keuze van start en eind.

Algemeen som gedrag

Beide nieuwe patronen kunnen beter bestudeerd worden door de relatie verder te veralgemenen. We merken op dat elke genererende term ±c(1±k)ⁿ de intensiteit c is van een som van de intensiteit n van producten. De eenheid is dan (1±k). De intensiteit van die eenheid kunnen we in zijn algemeenheid noteren als ±c(1±k)^±d(n±m), inderdaad de som in de exponent codeert een vermenigvuldiging van een aantal (1±k) elementen. De sommen (1±k) en (n±m) worden gewogen met een eigen coëfficiënt (terug een product). Indien we veronderstellen dat bij elke stap ook de coëfficiënten kunnen variëren, dan is (n±m) ook in de vorm (1±k) te schrijven. Elk van deze product termen is dan in een vorm gebracht van een getal dat de rol van intensiteit kan spelen voor elke operatie (som, product, machtsverheffing en tetratie), waarbij enkel een dubbelgetal de kan rol van eenheid spelen voor elk van de volgende operaties: som, product, machtsverheffing en tetratie. Het “laatst toegevoegde getal” vinden we dan in de exponent.

Het S-patroon of het U-patroon wordt enkel gegenereerd door een keuze van de k_i met tegengesteld teken, n en m met tegengesteld teken, en de coëfficiënt van de exponent met zelfde teken. Het verschil tussen een S-patroon of een U-patroon wordt bepaald door het tegengesteld teken (voor S) of het zelfde teken (voor U) van de coëfficiënten c_i. Het teken van de coëfficiënt in de exponenten bepaalt de richting van het patroon. De algemene getalmatige relatie van een enkelvoudige combinatie van spontane gedragingen kunnen we dan voorstellen als c₁(1-k₁)^f(d-n)-c₂(1+k₂)^g(e-n) waarin enkel de n gemeenschappelijk is in de twee termen, verwijzend naar de stap in het globale proces. Het bepalen van acht getallen (c₁, c₂, k₁, k₂, d, e, f, g) op basis van de waarneming (en dus van de waarde van de feedback na de anticipatie) maakt het dus mogelijk de relevante (globale) stap te bepalen in het proces en omgekeerd: de globale stap genereert minstens 8 (telbare) entiteiten in het proces. De bestudeerde patronen zijn intensiteiten van dezelfde eenheid. Het is belangrijk om dit te beklemtonen aangezien we ook kunnen modelleren dat verschillende soorten (eenheden) elkaar zouden kunnen beïnvloeden. De afhankelijkheid van het aantal stappen van een eigen eigenwaarde kunnen we ook afzonderlijk modelleren en onderzoeken (een aantal entiteiten hebben dan een veranderende eigenwaarde als bijkomend proces).

S patroon

Als eerste voorbeeld geven we de grafiek die overeenkomt met het volgende verband: (1-k)^f(d-n)-(1+k)^f(e-n) in de loop van de stappen op de horizontale as, waarbij k=0,2 f=1,5 d=35, e=5 en n tussen 0 en 40. Merk op dat er een quasi lineair verband bestaat tussen stap 13 en stap 27, de verandering wordt in die periode (of in dat volume of schaalverschil) blijkbaar in een duidelijk bepaald gebied gebufferd, het verschil dat een verschil maakt is amper groter dan de resolutie van de ordinaat as.

De S-curve is natuurlijk een duidelijke S of Z bij het wisselen van de assen.

Dit illustreert ook mooi de dualiteit van tijd of ruimte en de waarneming van een veranderende intensiteit. We kunnen immers de waarneembare intensiteiten als tijdstap interpreteren en de tijdstap als intensiteit en zo wordt duidelijk dat op één moment, tussen het waarnemen van 0-x en 0+x “plots” een intensiteitstoename bereikt wordt, of een nieuwe situatie die daarvoor onbereikbaar geacht werd (niet kon geanticipeerd worden). Hierbij hangt x enkel af van onze waarnemingsresolutie.

De getalwaarde van d en e zijn gerelateerd aan de getalwaarde van de stappen dus aan simultaneïteit. Kiest men (voor de gemaakte keuze van c₁ en c₂) het gemiddelde van d en e ongeveer in het midden van het geanticipeerde traject (dus waar in de voorbeelden de nullijn overschreden wordt) dan genereert dit een symmetrische curve. Hoe groter het verschil tussen de twee getallen, hoe kleiner de waarde van de uitdrukking (de intensiteit van het verschil dat een verschil maakt). De getalwaarde van f, dus de grootte van het product van eigenwaarden, zal dan de vlakheid van het centraal gedeelte bepalen: hoe groter f hoe vlakker het centraal gedeelte, hoe langer dus de intensiteit van het verschil dat een verschil maakt in een zeer beperkt gebied blijft. Als voorbeeld geven we de grafiek die overeenkomt met het volgende verband: (1-k)^f(d-n)-(1+k)^f(e-n) in de loop van de stappen op de horizontale as, waarbij k=0,2 f=7 d=45, e=-5 en n tussen 0 en 40.

De omslagpunten zijn hiermee duidelijker weergegeven.

U patroon

Als tweede voorbeeld geven we de grafiek die overeenkomt met het volgende verband: (1-k)^f(d-n)+(1+k)^f(e-n) in de loop van de stappen op de horizontale as, waarbij k=0,2 f=3 d=45, e=-5 en n tussen 0 en 40.

Uiteraard zijn hier de omslagpunten evenzeer duidelijk.

Een S-patroon of een U-patroon wordt dikwijls waargenomen in spontane processen. Het S-patroon vinden we dikwijls bij een plotse toename of afname van een parameter in het proces, waarna het proces op een ander niveau schijnt te stabiliseren (het exponentieel gedrag wordt goed door een lineair gedrag benaderd). Een U-patroon of “badkuip kromme” vinden we in een proces dat enkel afwijkend gedrag aan het begin en aan het einde vertoont zoals bij de introductie van een nieuw product dat in het begin kinderziekten vertoont en op het einde niet meer functioneert zoals gewenst.

De stabiliteit gedurende een langere tijd voedt op het eerste zicht de overtuiging dat het gedrag in een attractor beland is en hier dus niet weg kan. Er is blijkbaar evenwicht bereikt. Niets blijkt minder waar te zijn, want hier zijn ook twee omslagpunten of kantelpunten te zien (“tipping points”) waarbij dat evenwicht plots verbroken wordt. Die omslagpunten zijn dus anticipeerbaar, ze hoeven niet het gevolg te zijn van een willekeurige beslissing. Door deze manier van modelleren als een universeel som gedrag kunnen we dus modelleren dat sommige processen pas na een zekere tijd “reageren” op veranderingen. Het zal niet eenvoudig zijn om de coëfficiënten hiervoor met voldoende grote resolutie te bepalen.

Er zijn veel voorbeelden van omslagpunten en uitgestelde reacties die verrasten (die niet konden geanticipeerd worden zelfs al werd vermoed dat ze zouden kunnen waargenomen worden). Pas achteraf kon er dan een causale betekenis aan verbonden worden. Bijvoorbeeld:

• de faseovergang (vast-vloeibaar-gas) van water op het einde van een vlak stabiel gedrag in de loop van een geleidelijke toename/afname van moleculaire beweging (warmte)

• de plotse magnetisatie als dipolen zich spontaan organiseren

• de plotse omslag van een stabiel geachte organisatie naar een andere vorm (zoals bij het plotse instorten van de Sovjetunie in 1989, de bankencrisis in 2008, of bij de “arabische lente” in 2010) waarbij plots een vicieuze cirkel doorbroken werd van de wederzijdse beïnvloeding van individuele agentia die geloven dat andere agentia geloven in de toekomst van die organisatievorm maar er zelf niet in geloven (en dat terwijl andere agentia geloven dat de individuele agentia dat wel doen, zich daarnaar gedragen en zo de indruk geven dat elke individuele agens alleen staat). Dit voorbeeld laat ook de noodzaak zien van een grote hoeveelheid parallelle processen om de doelgerichtheid van negatieve feedback de overhand te kunnen geven in een proces.

• het plotse inzicht in het sprookje van Andersen over de nieuwe kleren van de keizer, toen een kind uitriep dat de keizer geen kleren aan had (terwijl niemand dat durfde te zeggen omdat juist niemand anders dat durfde te zeggen). Hier wordt het kind gebruikt om aan te geven dat het zo moeilijk is om ons iets voor te stellen zonder duidelijk oorzakelijk verband.

• bistabiele schakelaars die pas plots schakelen als er eerst voldoende energie gebufferd werd

• het onvoorspelbare van catastrofale gebeurtenissen, een plotse emotionele omslag, de verspreiding van “urban legends” en andere “besmettelijke patronen” (memes), ...

Verder onderzoek

We hebben de som van twee termen onderzocht die enkel als product te schrijven zijn. Elke term is dus een deelproces, een entiteit die enkel van intensiteit verandert. Elke term is dus van het type h•g en is dus een specifieke invulling van een welgevormde haakuitdrukking met getalcoëfficiënten. De coëfficiënten modelleren een som van dezelfde eenheid. Het is dus te verwachten dat elke dynamische anticipatie (die dus een “indien..., dan..., zoniet...” is) als een som van vier van deze termen, als minimaal aantal verschillende eenheden kan geschreven worden waarvan er drie hetzelfde teken hebben (aangezien dat eveneens geldt voor welgevormde haakuitdrukkingen die eveneens een “indien..., dan..., zoniet...” zijn). Het resultaat zal dan kunnen beschouwd worden als een som van één U-curve (twee maal een positieve coëfficiënt) met één S-curve (een maal een positieve coëfficiënt, eenmaal een negatieve coëfficiënt), meer dan deze twee soorten relaties is er niet nodig.