We hebben aangetoond dat er maar drie mogelijke relatie types zijn tussen de drie betrokken punten van een transformatie van atoompatronen van twee universa. Twee ervan drukken een simultaneïteitsrelatie uit, de derde drukt uit dat er geen simultaneïteit is.
We tonen nu aan dat die drie relaties een causale structuur genereren tussen de atoompatronen. De vertaling van de relaties P (precedence), C (chronology), H (horismos) die door Kronheimer en Penrose (1967) geïntroduceerd werden om een causale structuur te definiëren worden in de volgende tabel gegeven als haakuitdrukking. De eerste zes kolommen hernemen datgene wat reeds bekend is, de laatste kolom definieert de nieuwe relaties in de vertaling van het haakformalisme.
|
Haakuitdrukking |
Transformatie |
f |
g |
DOMf (of CODg) |
CODf (of DOMg) |
Causaliteit |
|
xi<yj> |
xi↔xiyj |
xi→xiyj |
xiyj→xi |
xi |
xiyj |
xiPyj |
|
<<xi>yj> |
<yj>↔xiyj |
<yj>→xiyj |
xiyj→<yj> |
<yj> |
xiyj |
xiCyj |
|
<<xi<yj>><<xi>yj>> |
yj↔xi |
yj→xi |
xi→yj |
yj |
xi |
xiHyj |
Aangezien er geen menging van indexen optreedt zullen we de indexen weglaten wat de volgende eenvoudiger te noteren tabel oplevert:
|
Haakuitdrukking |
Transformatie |
f |
g |
DOMf (of CODg) |
CODf (of DOMg) |
Causaliteit |
|
x<y> |
x↔xy |
x→xy |
xy→x |
x |
xy |
xPy |
|
<<x>y> |
<y>↔xy |
<y>→xy |
xy→<y> |
<y> |
xy |
xCy |
|
<<x<y>><<x>y>> |
y↔x |
y→x |
x→y |
y |
x |
xHy |
Volgens beide auteurs heeft een causale ruimte de volgende eigenschappen
1. xPx
2. if xPy and yPz, then xPz
3. if xPy and yPx, then x=y
4. not xCx
5. if xCy then xPy
6a. if xPy and yCz, then xCz
6b. if xCy and yPz, then xCz
7. xHy if and only if xPy and not xCy
We bewijzen nu achtereenvolgens alle aspecten van een causale ruimte:
Vertaling in het haakformalisme: x<x>
Reductie:
x<x>
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xPy: x<y>
yPz: y<z>
xPz: x<z>
xPy and yPz: <<x<y>><y<z>>>
if xPy and yPz, then xPz: <<<x<y>><y<z>>>>x<z>
Reductie:
<<<x<y>><y<z>>>>x<z>
<x<y>><y<z>>x<z>
<<y>><y>x<z>
y<y>x<z>
<>x<z>
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xPy and yPx: <<x<y>><<x>y>>
Dit is juist de definitie van gelijkwaardigheid
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xCx: <<x>x>
not xCx: <x>x
Reductie:
<x>x
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xCy: <<x>y>
xPy: x<y>
if xCy then xPy: <<<x>y>>x<y>
Reductie:
<<<x>y>>x<y>
<x>yx<y>
<x>xy<y>
<><>
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xPy: x<y>
yCz: <<y>z>
xCz: <<x>z>
xPy and yCz: <<x<y>><<<y>z>>>
if xPy and yCz, then xCz: <<<x<y>><<<y>z>>>><<x>z>
Reductie:
<<<x<y>><<<y>z>>>><<x>z>
<x<y>><y>z<<x>z>
<x><y>z<<x>>
<x><y>zx
x<x><y>z
<><y>z
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xCy: <<x>y>
yPz: y<z>
xCz: <<x>z>
xCy and yPz: <<<<x>y>><y<z>>>
if xCy and yPz, then xCz: <<<<<x>y>><y<z>>>><<x>z>
Reductie:
<<<<<x>y>><y<z>>>><<x>z>
<x>y<y<z>><<x>z>
<x>y<<z>><z>
<x>yz<z>
<x>y<>
<>
QED
Vertaling in het haakformalisme:
xHy: <<x<y>><<x>y>>
xPy: x<y>
xCy: <<x>y>
not xCy: <x>y
xPy and not xCy: <<x<y>><<x>y>>
Deze haakuitdrukking is niet te onderscheiden van xHy
QED